帮助 Rita 建立 “赛题特征 / 数据特征
- 触发问法：方案优选、综合排名、质量评估、影响力评价、风险打分、指标赋权。
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选型决策树：
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需要确定指标权重：
- 主观赋权（专家打分/定性为主）
$\to$ 层次分析法 (AHP) - 客观赋权（数据离散度大，信息量大）
$\to$ 熵权法 (Entropy Weight Method) - 考虑指标间相关性与变异度
$\to$ CRITIC 法 / 变异系数法 - 降维综合赋权
$\to$ 主成分分析 (PCA) / 因子分析 (FA) - 组合赋权（最推荐高分写法）
$\to$ AHP 主观权重 + 熵权法客观权重（乘法归一化或博弈论组合赋权）
- 主观赋权（专家打分/定性为主）
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进行多方案排序打分：
- 多指标数值型打分排序
$\to$ TOPSIS 法 (优劣解距离法) - 评语模糊、边界不清（如好/较好/一般/差）
$\to$ 模糊综合评价 (FCE) - 小样本、序列发展趋势相似度
$\to$ 灰色关联分析 (GRA) - 多投入、多产出系统相对效率评价
$\to$ 数据包络分析 (DEA - CCR/BCC 模型) - 统计分档与等级排序
$\to$ 秩和比法 (RSR)
- 多指标数值型打分排序
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需要确定指标权重：
- 触发问法：未来趋势、数值外推、销量预测、气象/负荷预测、人口/疾病蔓延。
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选型决策树：
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单变量时间序列：
- 极少样本（4~10个点）、单调增长趋势
$\to$ 灰色预测 GM(1,1) - 样本充足、平稳或差分后平稳、有自相关性
$\to$ ARIMA / SARIMA - 强周期、节假日效应、趋势拐点
$\to$ Facebook Prophet
- 极少样本（4~10个点）、单调增长趋势
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因果/多变量回归预测：
- 变量线性关系强、需解释每个因子的边际影响
$\to$ 多元线性回归 (OLS / Ridge / Lasso) - 变量间有非线性映射、复杂交互
$\to$ SVR (支持向量回归) / 随机森林回归 / XGBoost / LightGBM - 状态随时间离散转移、满足无后效性
$\to$ 马尔可夫链 (Markov Chain) - 大规模时序/高维复杂依赖
$\to$ LSTM / GRU / Transformer 时序模型
- 变量线性关系强、需解释每个因子的边际影响
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基于机理的动力学预测：
- 人口饱和阻滞增长
$\to$ Logistic 模型 - 传染病传播扩散
$\to$ SIR / SEIR / SEIR-Q 微分方程动力学模型 - 捕食者与猎物生态平衡
$\to$ Lotka-Volterra 微分方程系统
- 人口饱和阻滞增长
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单变量时间序列：
- 触发问法：成本最低、利润最大、调度排班、路径最短、选址布局、资源分配。
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选型决策树：
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目标与约束为线性：
- 连续决策变量
$\to$ 线性规划 (LP) - 包含整数/0-1逻辑决策（选/不选、台数）
$\to$ 混合整数线性规划 (MILP)
- 连续决策变量
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目标或约束为非线性：
- 凸优化/连续光滑函数
$\to$ 非线性规划 (NLP) / 二次规划 (QP) - 多阶段序列决策
$\to$ 动态规划 (DP)
- 凸优化/连续光滑函数
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NP-Hard 复杂组合优化（传统求解器求解慢或不可行）：
- 路径规划 (TSP / VRP)
$\to$ 遗传算法 (GA) / 蚁群算法 (ACO) / 模拟退火 (SA) - 连续参数黑盒寻优/超参数调优
$\to$ 粒子群优化 (PSO) / 差分进化 (DE)
- 路径规划 (TSP / VRP)
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多个相互冲突的目标（如成本 vs 排放量 vs 客户满意度）
$\to$ 多目标规划 (MOP) / Pareto 前沿面 / NSGA-II 算法 -
网络与图论优化：
- 节点间最短距离
$\to$ Dijkstra (非负权) / Floyd-Warshall (全源) - 管网铺设最低成本
$\to$ Kruskal / Prim 最小生成树 - 物流/管网最大输送量
$\to$ 最大流 Dinic / 最小费用最大流 MCMF
- 节点间最短距离
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目标与约束为线性：
- 触发问法：客户分群、模式识别、异常检测、相关性分析、假设验证。
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选型决策树：
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无标签分组：
- 球状簇、已知簇数
$\to$ K-Means / K-Means++ - 层次聚类与树状分支
$\to$ 层次聚类 (Hierarchical Clustering) - 任意形状簇、抗噪离群点检测
$\to$ DBSCAN 密度聚类
- 球状簇、已知簇数
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特征降维与可视化：
- 线性正交降维、消除共线性
$\to$ 主成分分析 (PCA) - 寻找潜在公共因子与解释性
$\to$ 因子分析 (FA) - 高维数据二维流形可视化
$\to$ t-SNE / UMAP
- 线性正交降维、消除共线性
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监督分类与判别：
- 线性可分/几率解释
$\to$ 逻辑回归 (Logistic) / Fisher 判别 (LDA) - 非线性边界/高维稀疏特征
$\to$ 支持向量机 (SVM) - 表格数据极致精度
$\to$ XGBoost / LightGBM / CatBoost / Random Forest
- 线性可分/几率解释
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统计检验与推断：
- 均值差异比较
$\to$ 独立样本 t 检验 / 配对 t 检验 / 单因素方差分析 (ANOVA) - 类别变量独立性/拟合优度
$\to$ 卡方检验 ($\chi^2$ Test) - 变量相关程度
$\to$ Pearson (连续正态) / Spearman (非正态秩次) / Kendall - 随机性与风险估计
$\to$ 蒙特卡洛仿真 (Monte Carlo) / Bootstrap 重抽样
- 均值差异比较
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无标签分组：
| 赛题类型 | 核心领域 | 常见问题背景 | 推荐核心模型与工具 |
|---|---|---|---|
| 国赛 A 题 (机理物理/连续) | 微分方程、几何光学、动力学、连续最优控制 | 太阳能定日镜场、无人机协同定位、波浪能发电、嫦娥对接 | ODE/PDE 微分方程组、Runge-Kutta 数值解、三维空间解析几何、非线性规划、物理机理建模 |
| 国赛 B 题 (工程运筹/离散优化) | 生产调度、物流路径、智能制造、运筹规划 | 港口码头调度、卡车路径规划、导弹拦截、抽检质量控制 | 混合整数规划 (MIP)、遗传算法/PSO、图论网络流、排队论、Simio/Arena 离散事件仿真 |
| 国赛 C 题 (数据分析/经管决策) | 大数据挖掘、机器学习、预测统计、供应链决策 | 银行信贷风控、商超生鲜补货与定价、农作物种植策略 | 缺失值插补、特征工程、XGBoost/Random Forest、ARIMA/Prophet、多目标规划、TOPSIS |
| 美赛 MCM A 题 | 连续型 Continuous | 生态物种竞争、气候变化热力学、冰川消融 | 微分方程动力学、热传导 PDE、元胞自动机 CA、敏感性分析 |
| 美赛 MCM B 题 | 离散型 Discrete | 森林灭火无人机调度、水资源分配网络 | 整数规划、图论最短路与流网络、启发式算法 |
| 美赛 MCM C 题 | 数据型 Data Insights | 运动员表现评价、社交网络观点演化、商品舆情 | 文本挖掘/NLP、时序回归、分类与聚类、SHAP 特征归因 |
| 美赛 ICM D 题 | 运筹网络 Operations Research | 应急物资调度、交通网络韧性、电网防御 | 复杂网络分析 (Complex Networks)、网络鲁棒性、多阶段动态规划 |
| 美赛 ICM E 题 | 环境可持续 Sustainability | 碳中和路径、垃圾循环利用、海洋微塑料 | 投入产出模型 (Input-Output)、系统动力学 (System Dynamics)、生命周期评估 (LCA) |
| 美赛 ICM F 题 | 政策社会 Policy & Society | 难民危机政策、全球贫困治理、教育公平 | 主体建模 (ABM / NetLogo)、博弈论 (Game Theory)、马尔可夫决策 |
针对问题[问题编号]，其本质属于[问题类型：如多阶段带容量约束的车辆路径优化问题]。
考虑到数据具备[关键特征：如非线性、高维度、强随机性、小样本]，若采用传统的[对比算法/基础算法]，
容易导致[缺陷：如维度灾难、局部早熟收敛、忽视时序自相关]。
因此，本文构建了基于[所选算法/改进算法]的数学模型。
该方法的核心优势在于[优势：如能自适应捕捉复杂非线性关系并保证全局搜索能力]。
为进一步验证模型的稳健性与泛化能力，本文在求解后进行了[模型检验：如残差正态性检验 / 灵敏度分析 / 交叉验证]，
确保了最终决策建议在实际应用环境下的可靠性与可解释性。- 赛题背景：舞龙队沿螺距为 55cm 的等距阿基米德螺线盘入盘出，板凳间由把手铰接。
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数学建模框架：
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坐标与螺线方程：建立极坐标阿基米德螺线方程
$r(\theta) = a + b\theta$ ，其中螺距$d = 2\pi b = 55\text{cm}$ 。 -
运动学离散递推：龙头沿螺线以恒定速度
$v_0 = 1\text{m/s}$ 行进，第$i$ 节与第$i+1$ 节板凳长度为固定刚性约束$L_i$ 。建立位置关于时间的微分方程$\frac{ds}{dt} = v_0$ ，利用弧长参数化反解各关节极角$\theta_i(t)$ 。 -
碰撞检测模型（国一核心难点）：将每节板凳建模为具有厚度与宽度的矩形几何包围盒（Oriented Bounding Box, OBB）。利用点到线段最短距离算法或分离轴定理（SAT），计算内圈与外圈相邻/非相邻板凳间的最小欧氏距离。当最小间距
$< 0$ 时判定自碰撞。
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坐标与螺线方程：建立极坐标阿基米德螺线方程
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求解算法与工具：
- Python
scipy.optimize/numpy向量化极角递推求解。 - 调头空间路径规划：利用两段相切的相异曲率圆弧或 Clothoid 缓和曲线连接盘入与盘出螺线，使用粒子群算法 (PSO) 寻优最小调头空间。
- Python
- 灵敏度与论文亮点：分析把手孔径装配间隙误差对碰撞临界时间的影响；展示精美三维动态仿真与碰撞距离热力图。
- 赛题背景：企业从供应商采购零配件，经两级装配后生成最终成品。各阶段零配件和成品均存在次品率，检验、拆解、报废与市场召回均有不同成本。
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数学建模框架：
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抽样检测特性（问题 1）：建立基于二项分布与超几何分布的 操作特性曲线 (OC 曲线)。在给定标称次品率
$p_0$ 及显著性水平（犯第一类错误弃真$\alpha$ 与第二类错误存伪$\beta$ ）下，建立非线性整数规划确定最优抽样样本量$n$ 与合格判定数$c$ 。 - 多阶段决策树与期望成本（问题 2-3）：将“零配件是否检测”、“半成品是否检测”、“装配后是否检测”、“不合格品是否拆解”抽象为多阶段决策树。
- 目标函数：$\min E[\text{Total Cost}] = C_{\text{采购}} + C_{\text{检测}} + C_{\text{装配}} + C_{\text{拆解}} + C_{\text{次品调换损失}}$。
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抽样检测特性（问题 1）：建立基于二项分布与超几何分布的 操作特性曲线 (OC 曲线)。在给定标称次品率
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求解算法与工具：
- 动态规划逆向递归算法（Backward Dynamic Programming）求解最优决策链。
- 贝叶斯后验概率更新：利用前期抽检结果实时更新零部件真实次品率的 Beta-Binomial 共轭分布。
- 灵敏度与论文亮点：蒙特卡洛随机模拟市场退货波动的极端情景；绘制多维度临界成本分界线（成本平衡曲面）。
- 赛题背景：华北乡村 2024-2030 年在平旱地、梯田、水浇地和温室大棚上的农作物种植规划，需考虑豆类轮作、重茬障碍、滞销风险与产量价格波动。
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数学建模框架：
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决策变量：0-1 变量
$x_{ijt}$ 表示第$t$ 年地块$i$ 是否种植作物$j$ ；连续变量$A_{ijt}$ 表示种植面积。 - 硬性约束：地块面积上限约束、重茬禁止约束（三年内不能连作同一作物）、豆类轮作约束（每块地三年内至少种植一次豆类）、大棚季节性换茬约束。
- 目标函数：多目标加权，$\max \text{总净利润} - \lambda \cdot \text{风险方差}$。
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决策变量：0-1 变量
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求解算法与工具：
- 混合整数线性规划 (MILP)，使用 Python
PuLP/Gurobi/Cplex进行精确求解。 - 蒙特卡洛情景生成：设定价格波动与预期减产的 1000 组随机模拟情景，评估超额滞销损失。
- 混合整数线性规划 (MILP)，使用 Python
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灵敏度与论文亮点：分析不同风险厌恶系数
$\lambda$ 下的 Pareto 前沿解集；设计滚动视界规划（Rolling Horizon）以适应动态市场。
- 赛题背景：塔式太阳能热发电站定日镜场布局与光学吸收功率最大化。
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数学建模框架：
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太阳运行轨迹天文模型：准确计算太阳高度角
$\alpha_s$ 与太阳方位角$\gamma_s$ 。 -
光学效率四重分解：$\eta = \eta_{\text{cos}} \cdot \eta_{\text{sb}} \cdot \eta_{\text{trunc}} \cdot \eta_{\text{at}} \cdot \eta_{\text{ref}}$。
- 余弦效率
$\eta_{\text{cos}}$ ：入射光线向量与镜面法向量的点积。 - 阴影遮挡效率
$\eta_{\text{sb}}$ ：投影多边形重叠裁剪或网格微元遮挡判断。 - 截断效率
$\eta_{\text{trunc}}$ ：基于太阳光锥锥形发散角，使用蒙特卡洛光线追踪投点统计落入集热器圆柱面的能量占比。
- 余弦效率
- 双层布局优化模型：上层优化集热塔位置与同心环参数，下层优化每面镜子尺寸与安装俯仰角。
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太阳运行轨迹天文模型：准确计算太阳高度角
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求解算法与工具：
- 遗传算法 (GA) + 模拟退火 (SA) 混合全局寻优；Matlab / Python GPU 并行加速光线追踪矩阵计算。
- 灵敏度与论文亮点：风载荷与镜面安装误差的扰动分析；年均额定热功率 60MW 的经济性度电成本 LCOE 评估。
- 赛题背景：商超生鲜蔬菜品类繁多、保鲜期短、损耗率高，需根据销售流水与批发成本制定每日补货量与加成定价。
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数学建模框架：
- 品类聚类与关联挖掘：基于 Pearson 相关系数热力图与 K-Means 聚类，归纳 6 大蔬菜品类的销量季节性与周周期规律。
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价格需求弹性拟合：建立非线性需求曲线
$Q = a \cdot P^{-b}$ 或对数线性模型$\ln Q = \alpha - \beta \ln P + \epsilon$ 。 - 时序销量预测：使用 SARIMAX 考虑节假日外生变量预测未来各单品基准销量。
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优化模型：以日利润最大化为目标，考虑损耗率
$\alpha_k$ 、最小陈列量（2.5kg）及单品总数（27~33 种）等约束构建混合整数非线性规划 (MINLP)。
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求解算法与工具：
- Python
scipy.optimize.minimize(SLSQP / Trust-Region) 结合启发式遗传算法求解。
- Python
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灵敏度与论文亮点：损耗率在
$\pm 10%$ 波动下的鲁棒性检验；边际加成率对商超客流与净利润的敏感性拐点图。
- 赛题背景：银行根据 123 家有信贷记录与 302 家无信贷记录的中小微企业增值税发票数据，建立信用评级与 1 亿元信贷资金分配方案。
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数学建模框架：
- 多维指标特征工程：发票作废率、负数发票率、进销项稳定系数、上下游核心客户集中度等 16 项量化指标。
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信誉评级与违约率预测：采用 组合赋权 (AHP + 熵权法) + TOPSIS 计算综合得分，并利用 XGBoost / 逻辑回归预测违约概率
$P_i$ 。 -
客户流失率模型：拟合贷款利率
$r$ 与客户流失率$f(r)$ 的 S 型 Logistic 曲线。 - 收益最大化投资规划：$\max \sum_{i} [x_i r (1 - P_i) - x_i c_0 - x_i P_i] \quad \text{s.t. } \sum x_i \le C_{\text{total}}, , 0 \le x_i \le M_i$。
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求解算法与工具：
- Python
sklearn+xgboost预测 +PuLP规划求解。
- Python
- 灵敏度与论文亮点：宏观经济下行背景下整体违约率上升对银行信贷坏账准备金的压力测试。