clase-06

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jueves 12 septiembre 2024

unidad 4: dinámica y cinemática de cuerpo rígido

• supuestos para cuerpos puntuales
• supuestos para cuerpos rígidos
• movimiento angular
• torque
• torques nulos
• aplicaciones de torque: puerta y manilla
• aplicaciones de torque: palanca
• aplicaciones de torque: balancín

supuestos para cuerpos puntuales

hasta ahora, en cinemática, dinámica, energía y trabajo, hemos utilizado los siguientes supuestos:

• los cuerpos no tienen volumen
• los cuerpos pueden ser resumidos como su posición en el espacio, y su masa.
• aceleración de gravedad es constante en la tierra e igual a 10 metros / segundos cuadrados.
• no hay atmósfera y por lo tanto, no hay roce.

supuestos para cuerpos rígidos

primero definamos un cuerpo rígido: definición de cuerpo rígido: un cuerpo rígido tiene una masa constante y un volumen sólido e indeformable.

en la clase de hoy, veremos cuerpos rígidos por lo que los supuestos que usaremos son:

• los cuerpos tienen masa distribuida en un volumen
• aceleración de gravedad es constante en la tierra e igual a 10 metros / segundos cuadrados.
• no hay atmósfera y por lo tanto, no hay roce.

movimiento angular

como nuestros cuerpos ahora no son puntos, sino que son volúmenes, pueden rotar.

en vez de medir su desplazamiento lineal como una distancia metros, vamos a medir su desplazamiento angular en radianes.

una vuelta completa es 360 grados, lo que equivale a 2 por Pi radianes.

$$360^{\circ} = 2 \cdot \pi \cdot radianes$$

$$ángulo = \theta(t)$$

similarmente a la velocidad lineal, que es la diferencia de posición en el tiempo, la velocidad angular es la diferencia de posición angular en el tiempo y la anotamos con la letra griega omega minúscula.

$$\omega(t) = \frac{\Delta \theta}{\Delta t}$$

comparemos las ecuaciones de velocidad lineal y velocidad angular:

$$v(t) = v_0 + a \cdot t$$

$$\omega(t) = \omega_0 + \alpha \cdot t$$

notar que aceleración angular la anotamos con la letra griega alpha.

torque

el torque lo anotamos con la letra griega tau.

$$\tau = torque$$

el torque es el producto entre estos 3 términos:

• r = radio o distancia entre el punto y su centro de rotación, medida en metros.
• F = fuerza aplicada en el punto, medida en Newton.
• sin(ángulo) = ángulo entre r y F.

y la ecuación resulta:

$$\tau = r \cdot F \cdot sin(\theta)$$

la unidad en la que se mide torque es Newton por metro, lo que simboliza fuerza aplicada sobre un radio o brazo.

veamos los casos extremos cuando el torque es nulo (cero).

torques nulos

a partir de la ecuación de torque

$$\tau = r \cdot F \cdot sin(\theta)$$

distinguimos que en estos casos el torque es nulo:

• r = 0: la distancia entre la aplicación de la fuerza y su centro de rotación es cero.
• F = 0: la fuerza aplicada es nula.
• sin(ángulo) = 0, esto ocurre cuando el ángulo es 0 o 180 grados (Pi radianes), o múltiplos.

aplicaciones de torque: puerta y manilla

por qué la manilla de la puerta está en el extremo opuesto al centro de rotación?

• porque así maximizamos el torque, con el radio o distancia siendo máximo.
• si pusieramos la manilla al medio de la puerta, tendríamos que ejercer el doble de fuerza para lograr el mismo torque que en el extremo.
• si pusieramos la manilla en el eje de rotación, el brazo sería cero, y sin importar la fuerza, no habría torque y con eso no podríamos abrir la puerta.
• si hacemos la fuerza paralela a la distancia r, en vez de perpendicular, el ángulo entre ambos es 0 o 180 grados, y con eso sin(ángulo) es 0, y la puerta no gira en torno a su eje de rotación.

aplicaciones de torque: palanca

si tenemos una barra que usamos como palanca, y la barra mide 75 cm, y aplicamos en su extremo una fuerza de 25 N, en un ángulo de 45 grados, cuánto es el torque que aplicamos?

de la ecuación de torque

$$\tau = r \cdot F \cdot sin(\theta)$$

podemos reemplazar

$$\tau = 0.75 \cdot m \cdot 25 \cdot N \cdot sin(45^{\circ})$$

y calcular

$$\tau = \frac{3}{4} \cdot 25 \cdot \frac{\sqrt(2)}{2} \cdot N \cdot m $$

y aproximando:

$$\tau \approx 13.26 \cdot N \cdot m $$

aplicaciones de torque: balancín

en un balancín, tendremos una barra de un cierto largo L, que puede girar en torno a su punto medio, y podemos hacer fuerzas a ambos lados del punto medio, para hacerlo girar, y podemos revisar hacia dónde va a girar, o si va a estar equilibrado.

por ejemplo:

si tenemos un balancín de largo 10m, y hacemos a su lado izquierdo una fuerza perpendicular de 4N, a una distancia de 3m del centro de rotación, cuánto torque recibe el balancín?

de la ecuación de torque

$$\tau_1 = r \cdot F \cdot sin(\theta)$$

podemos reemplazar

$$\tau_1 = 3 \cdot m \cdot 4 \cdot N \cdot sin(90^{\circ})$$

y desarollando

$$\tau_1 = 12 \cdot N \cdot m$$

como esta fuerza ejerce este torque sobre el balancín, va a girar. si queremos contrarrestar ese torque para que quede en equilibrio, podemos hacer una fuerza al otro lado de la barra, que la haga girar en dirección contraria.

podemos preguntarnos, qué fuerza F se necesita hacer en ángulo 90 grados y a 1m del centro de rotación del otro lado del balancín para contrarrestar el torque de 12 Nm?

de la ecuación de torque

$$\tau_2 = r \cdot F \cdot sin(\theta)$$

podemos reemplazar:

$$12 \cdot N \cdot m = 1 \cdot m \cdot X \cdot N \cdot sin(90^{\circ})$$

dividimos a ambos lados por Nm:

$$12 = X \cdot sin(90^{\circ})$$

y como sin(90 grados) es igual a 1:

$$X = 12$$

con esto, necesitamos una fuerza de 12 N en 90 grados y a 1m del centro de rotación para contrarrestar el torque y que el sistema balancín quede en equilibrio y no gire.

notamos que esta fuerza de 12 N es mayor que la que está al otro lado del balancín que es de 4N, ya que el torque es directamente proporcional tanto a la distancia como a la fuerza.

$$\tau = r \cdot F \cdot sin(\theta)$$

entonces si distancia o fuerza aumentan, el torque también aumenta.

y si queremos mantener un torque constante, a mayor distancia menos fuerza, y viceversa, a menor distancia mayor fuerza.

referencias

• https://www.cliffsnotes.com/study-guides/physics/classical-mechanics/rotational-motion-of-a-rigid-body
• https://www.khanacademy.org/science/high-school-physics#torque-and-angular-momentum