带权网络的几何本质.md

quantify the level of coupling.

Our model accurately reproduces both their topology and their weights, and our results suggest that the formation of connections and the assignment of their magnitude are ruled by different processes.

In fact, our results unveil that in some systems these couplings are uncorrelated, which in turn suggests that the formation of connections and the assignment of their magnitude might be ruled by different processes.

摘要翻译

很多真实复杂网络的拓扑关系是在被插值到度量空间后才能得到的。在插值空间中，两点的距离～他们的邻接概率。这种对应关系的假设不光给出了一个自然的拓扑关系的几何表示，也有几个其他的实际应用：比如因特网routing流程、细胞内组织化学反应的层级结构、国际贸易的演化规律。

作者提出了一个基于经验的证据，来说明这种几何表示也可以用在加权复杂网络。

本文引入了一个一般的、普适性的模型，并用它量化两个点连接的强度（the level of coupling）、它们的权重、以及所在的度量空间。

这个模型准确地再现了真实网络的权重和拓扑。

我们的结果表明，连接关系的形成与连接关系的强弱是由不同的过程控制的。

思路

Topics

• Weights are coupled in a non-trivial way to the binary network topology.

  权重是与1-0网络拓扑不可分割的。

  • 例子：Rich-club effect （与high-degree结点连边更多（我理解：类似偏好依附机制））多极化环境中，“结盟”的形成，会对抗rich-club效应。
  • 例子：国际机场的传染病网络：与乘客数密切相关。

• 复杂网络：可以插值到几何空间。

• 加权网络

  • 权重与0-1拓扑有关：strength(权和) ～ $k^\eta$
  • 但是权重与几何之间的关系还没被搞清楚：是否有边虽然与与距离有关系，但是并不能说明距离也可以产生权重。（机场：是否有边决定于航空公司，而权重取决于个人决策之和。而这二者的cost function不一样。）

• 本文试图：

  • 创造一种机制，来生成双曲空间中的带权网络。

  • 说明：

    • 度-强度分布

      fix the degree–strength distribution independently of the coupling of the topology and weighted organization with the metric space.

    • 权与0-1拓扑之间的关系

      in some systems these couplings are uncorrelated, which in turn suggests that the formation of connections and the assignment of their magnitude might be ruled by different processes.

• 用途：

  • 社区探测
  • 网络补全
    • 补全0-1拓扑
    • 补全边的权重

Results

1. 权与$\Delta$的关系

• Clustering $\Leftrightarrow$ 三角不等式
  • 在度量空间中，如果结点A与B和C都很近，那么B与C也很近。所以三角形通常都存在于比较小的空间范围内。
  • 如果边权与（双曲空间中的）距离有关，那么这种关系应该与clustering的相关性不同（原因：它是clustering只存在于短程情形）
  • 但是权与clustering都与终点的度有强相关性。这样使得直接探测权的度量性质变成了不可能的事情。

所以作者定义了正规权： $$ \omega_{ij}^{norm} = \frac{\omega_{ij}}{\bar \omega(k_ik_j)} $$ 其中$\bar \omega(k_ik_j)$是degree之积$k_ik_j$的所有结点的权的平均值。

正规权的意义：解除了权与拓扑之间的相关关系。（？）而不同网络的正规权看起来是这样的：

图中黄色点是正规权。红色三角形是组成$\Delta$ 的结点的正规权。可见如果一个结点是$\Delta$的组成部分，那么它的权会偏大一些。

分析：从$\Delta$中采样相当于增加样本的multiplicity $m$ (the number of triangles to which a link participates). 因此，上图的结果显示，$\omega^{norm}$与$m$是正相关关系。（Pearson相关系数）

因为$\Delta$反映了度量空间的三角不等式，所以我们希望它的组分距离近一些。所以$\Delta$中正规权大与权重的度量性质有关。（非平凡的结论）

这让我们想要构建一个假设：权和拓扑背后是同一个度量空间，这个空间中，强集聚效应是空间中三角不等式的体现；也产生了$\omega^{norm}$和$m$之间的相关性。

为了证明这个想法，我们提出了一个带权的随机几何模型。有了这个模型，我们就可以估计真实网络中，权重与几何之间的耦合关系。

2. 加权网络的几何模型

传统的生成加权网络的模型：生长网络模型、最大熵模型。这些模型不能产生带权结构（都是建立在0-1拓扑之上）。

3.加权网络的度量空间

模型描述

这一段中，我要再仔细说说这个模型。

我的观点