- 向量空间
- 纯量域
$\mathbb F$ : 关于加法和乘法是封闭的。存在幺元和逆元。分配律。 - 向量空间
$V$ :对加法封闭、存在单位元、存在逆元。对数乘封闭。有结合律- 约定向量都是列向量
- 子空间、真子空间
- 线性相关性
- 基
- 扩充(张)成基
- 维数、标准基
- 同构:关于函数$f.$
- 纯量域
- 矩阵
- 超对角线
- 线性变换:对线性运算封闭
- 与线性变换相关的向量空间:
- 零空间:${x\in\mathbb F : Ax = 0}.$
- 零化度
- 秩-零化度定理
- 迹
$tr(AA^*)=0\Leftrightarrow A=0$
- 矩阵运算
- 加法
- 乘法
- 转置、共轭转置
- 特殊矩阵
- 对称矩阵
- 矩阵都可以分解成 对称部分和 斜对称部分
- 斜对称矩阵:$A^T=-A.$
- 斜Hermite矩阵:$A^*=A$
- 每个复矩阵都可以分解成$B+i C$
- Hermite 部分、斜Hermite部分:Toeplitz分解
- 迷向向量:$x^Tx=0. $
- 对称矩阵
- 列向量空间、行向量空间
- 行列式
- 积性
- 函数特征:
- 关于行向量多重线性的
- 交错性:交换两行会改变符号
- 规范性:$f(I)=1$
- 秩
- 有关秩的等式与不等式**
- Frobenius 不等式
- Sylvester 不等式
- 有关秩的等式与不等式**