综述

向量空间
- 纯量域 $\mathbb F$: 关于加法和乘法是封闭的。存在幺元和逆元。分配律。
- 向量空间 $V$：对加法封闭、存在单位元、存在逆元。对数乘封闭。有结合律
  - 约定向量都是列向量
- 子空间、真子空间
- 线性相关性
- 基
- 扩充（张）成基
- 维数、标准基
- 同构：关于函数$f.$
矩阵
- 超对角线
- 线性变换：对线性运算封闭
- 与线性变换相关的向量空间：
  - 零空间：${x\in\mathbb F : Ax = 0}.$
  - 零化度
  - 秩-零化度定理
- 迹
  - $tr(AA^*)=0\Leftrightarrow A=0$
- 矩阵运算
  - 加法
  - 乘法
  - 转置、共轭转置
- 特殊矩阵
  - 对称矩阵
    - 矩阵都可以分解成 对称部分和 斜对称部分
  - 斜对称矩阵：$A^T=-A.$
  - 斜Hermite矩阵：$A^*=A$
    - 每个复矩阵都可以分解成$B+i C$
    - Hermite 部分、斜Hermite部分：Toeplitz分解
    - 迷向向量：$x^Tx=0. $
- 列向量空间、行向量空间
行列式
- 积性
- 函数特征：
  - 关于行向量多重线性的
  - 交错性：交换两行会改变符号
  - 规范性：$f(I)=1$
秩
- 有关秩的等式与不等式**
  - Frobenius 不等式
  - Sylvester 不等式