首先，我们考虑将问题转换成坐标系下求解。
设正方形位于坐标系中，左下角为原点 $(0, 0)$，正方形边长为 1。则圆的半径为 $r = 0.5$，圆心位于 $(0.5, 0.5)$。
点 A 是正方形顶边的中点，即 $A = (0.5, 1)$；
点 B 是正方形的左下角顶点，即 $B = (0, 0)$。
连接 AB，线段 AB 的方程是 $y = 2x$，因为它经过 $(0, 0)$ 和 $(0.5, 1)$。
圆的方程为：
$$
(x - 0.5)^2 + (y - 0.5)^2 = (0.5)^2
$$
将 $y = 2x$ 代入圆的方程，得到：
$$
(x - 0.5)^2 + (2x - 0.5)^2 = 0.25
$$
展开并整理，得到二次方程：
$$
5x^2 - 3x + 0.25 = 0
$$
解此二次方程，得到 $x = 0.1$ 和 $x = 0.5$，对应的 $y$ 分别为 $0.2$ 和 $1$。因此，线段 AB 与圆相交于两点 $(0.1, 0.2)$ 和 $(0.5, 1)$。
现在，我们需要计算圆心角 $\theta$，其中：
$$
\cos \theta = \frac{(v_1) \cdot (v_2)}{|v_1||v_2|} = \frac{(-0.4)(0) + (-0.3)(0.5)}{0.5 \times 0.5} = -0.6
$$
因此，$\theta = \arccos(-0.6)$。因为 $\arccos(-0.6) = \pi - \arccos(0.6)$，且 $\arccos(0.6) = \arccos\left(\frac{3}{5}\right)$。
同时，由于 $\sin \theta = \sin(\arccos(-0.6)) = \frac{4}{5}$。
圆弧面积计算公式为：
$$
\text{面积} = \frac{1}{2} r^2 (\theta - \sin \theta)
$$
将已知值代入，得到：
$$
\text{面积} = \frac{1}{2} \times (0.5)^2 \left[\pi - \arccos\left(\frac{3}{5}\right) - \frac{4}{5}\right] = \frac{1}{8}\left[\pi - \arccos\left(\frac{3}{5}\right) - \frac{4}{5}\right]
$$
这是弧形的精确面积。
答案：
$$
\boxed{\dfrac{1}{8}\left[,\pi\ -\ \arccos!\left(\dfrac{3}{5}\right)\ -\ \dfrac{4}{5},\right]}
$$