-
Notifications
You must be signed in to change notification settings - Fork 0
/
info-f305.php
1096 lines (882 loc) · 46.2 KB
/
info-f305.php
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
416
417
418
419
420
421
422
423
424
425
426
427
428
429
430
431
432
433
434
435
436
437
438
439
440
441
442
443
444
445
446
447
448
449
450
451
452
453
454
455
456
457
458
459
460
461
462
463
464
465
466
467
468
469
470
471
472
473
474
475
476
477
478
479
480
481
482
483
484
485
486
487
488
489
490
491
492
493
494
495
496
497
498
499
500
501
502
503
504
505
506
507
508
509
510
511
512
513
514
515
516
517
518
519
520
521
522
523
524
525
526
527
528
529
530
531
532
533
534
535
536
537
538
539
540
541
542
543
544
545
546
547
548
549
550
551
552
553
554
555
556
557
558
559
560
561
562
563
564
565
566
567
568
569
570
571
572
573
574
575
576
577
578
579
580
581
582
583
584
585
586
587
588
589
590
591
592
593
594
595
596
597
598
599
600
601
602
603
604
605
606
607
608
609
610
611
612
613
614
615
616
617
618
619
620
621
622
623
624
625
626
627
628
629
630
631
632
633
634
635
636
637
638
639
640
641
642
643
644
645
646
647
648
649
650
651
652
653
654
655
656
657
658
659
660
661
662
663
664
665
666
667
668
669
670
671
672
673
674
675
676
677
678
679
680
681
682
683
684
685
686
687
688
689
690
691
692
693
694
695
696
697
698
699
700
701
702
703
704
705
706
707
708
709
710
711
712
713
714
715
716
717
718
719
720
721
722
723
724
725
726
727
728
729
730
731
732
733
734
735
736
737
738
739
740
741
742
743
744
745
746
747
748
749
750
751
752
753
754
755
756
757
758
759
760
761
762
763
764
765
766
767
768
769
770
771
772
773
774
775
776
777
778
779
780
781
782
783
784
785
786
787
788
789
790
791
792
793
794
795
796
797
798
799
800
801
802
803
804
805
806
807
808
809
810
811
812
813
814
815
816
817
818
819
820
821
822
823
824
825
826
827
828
829
830
831
832
833
834
835
836
837
838
839
840
841
842
843
844
845
846
847
848
849
850
851
852
853
854
855
856
857
858
859
860
861
862
863
864
865
866
867
868
869
870
871
872
873
874
875
876
877
878
879
880
881
882
883
884
885
886
887
888
889
890
891
892
893
894
895
896
897
898
899
900
901
902
903
904
905
906
907
908
909
910
911
912
913
914
915
916
917
918
919
920
921
922
923
924
925
926
927
928
929
930
931
932
933
934
935
936
937
938
939
940
941
942
943
944
945
946
947
948
949
950
951
952
953
954
955
956
957
958
959
960
961
962
963
964
965
966
967
968
969
970
971
972
973
974
975
976
977
978
979
980
981
982
983
984
985
986
987
988
989
990
991
992
993
994
995
996
997
998
999
1000
<h1>INFO-F305 - Modélisation et simulation</h1>
$\newcommand\ulbmatrix[1]{\left(\begin{matrix}#1\end{matrix}\right)}
\newcommand\ulbvector[1]{\left[\begin{matrix}#1\end{matrix}\right]}$
<h2>Résumé</h2>
<h3>Récapitulatif des différents cas</h3>
<style type="text/css">
div.centre {
text-align: center;
}
div.recap {
display: inline-block;
border: 0.005em rgba(60,60,60,0.2) solid;
width: 25em;
vertical-align: top;
margin: 0.2em;
padding: 0em 1em;
}
div.recap img {
max-width: 20em;
}
</style>
<div class="centre">
<div class="recap">
<div>Valeurs propres réelles et distinctes négatives</div>
<div><b>Système linéarisé</b> : noeud stable</div>
<div><b>Système original</b> : ?</div>
<figure>
<img src="images/info-f305/recap_cas_noeud_stable.svg" alt="noeud stable" />
</figure>
</div>
<div class="recap">
<div>Valeurs propres réelles et distinctes positives</div>
<div><b>Système linéarisé</b> : noeud instable</div>
<div><b>Système original</b> : ?</div>
<figure>
<img src="images/info-f305/recap_cas_noeud_instable.svg" alt="noeud instable" />
</figure>
</div>
<div class="recap">
<div>Valeurs propres réelles et distinctes positive et négative</div>
<div><b>Système linéarisé</b> : selle</div>
<div><b>Système original</b> : instable</div>
<figure>
<img src="images/info-f305/recap_cas_selle.svg" alt="selle" />
</figure>
</div>
<div class="recap">
<div>Une valeur propre nulle et une réelle négative</div>
<div><b>Système linéarisé</b> : non-simple stable</div>
<div><b>Système original</b> : impossible de déduire la stabilité</div>
<figure>
<img src="images/info-f305/recap_cas_sys_nonsimple_stable.svg" alt="système non-simple stable" />
</figure>
</div>
<div class="recap">
<div>Une valeur propre nulle et une réelle positive</div>
<div><b>Système linéarisé</b> : non-simple instable</div>
<div><b>Système original</b> : ?</div>
<figure>
<img src="images/info-f305/recap_cas_sys_nonsimple_instable.svg" alt="système non-simple instable" />
</figure>
</div>
<div class="recap">
<div>Valeurs propres réelles et non-distinctes avec matrice $A$ diagonalisable</div>
<div><b>Système linéarisé</b> : noeud singulier</div>
<div><b>Système original</b> : ?</div>
<figure>
<img src="images/info-f305/recap_cas_noeud_singulier.svg" alt="noeud singulier" />
</figure>
</div>
<div class="recap">
<div>Valeurs propres réelles et non-distinctes avec matrice $A$ non diagonalisable (un seul vecteur propre et une valeur propre négative)</div>
<div><b>Système linéarisé</b> : noeud dégénéré stable</div>
<div><b>Système original</b> : ?</div>
<figure>
<img src="images/info-f305/recap_cas_noeud_degenere_stable.svg" alt="noeud dégénéré stable" />
</figure>
</div>
<div class="recap">
<div>Valeurs propres réelles et non-distinctes avec matrice $A$ non diagonalisable (un seul vecteur propre et une valeur propre positive)</div>
<div><b>Système linéarisé</b> : noeud dégénéré instable</div>
<div><b>Système original</b> : ?</div>
<figure>
<img src="images/info-f305/recap_cas_noeud_degenere_instable.svg" alt="noeud dégénéré instable" />
</figure>
</div>
<div class="recap">
<div>Valeurs propres complexes conjuguées avec partie réelle nulle</div>
<div><b>Système linéarisé</b> : centre</div>
<div><b>Système original</b> : ?</div>
<figure>
<img src="images/info-f305/recap_cas_centre.svg" alt="centre" />
</figure>
</div>
<div class="recap">
<div>Valeurs propres complexes conjuguées avec partie réelle négative</div>
<div><b>Système linéarisé</b> : foyer stable</div>
<div><b>Système original</b> : asymptotiquement stable</div>
<figure>
<img src="images/info-f305/recap_cas_foyer_stable.svg" alt="foyer stable" />
</figure>
</div>
<div class="recap">
<div>Valeurs propres complexes conjuguées avec partie réelle positive</div>
<div><b>Système linéarisé</b> : foyer instable</div>
<div><b>Système original</b> : ?</div>
<figure>
<img src="images/info-f305/recap_cas_foyer_instable.svg" alt="foyer instable" />
</figure>
</div>
</div>
<h2>Examen</h2>
<h3>Écrit</h3>
<h4 class="question">Considérons le système non linéaire d'ordre 2. $$\left \{\begin{array}{r c l}\dot{x}_1 & = & (a-bx_1)^2\\\dot{x}_2 & = & (c-dx_1)^2\end{array}\right.$$ où $a, b, c$ et $d$ sont quatre constantes réelles L'étudiant devra<ol><li>calculer analytiquement le lieu des points tel que $\dot{x}_1 = \dot{x}_2$.</li><li>calculer analytiquement le(s) point(s) d'équilibre</li></ol>Pour les valeurs <ol class="alphabet"><li>$a=2$, $b=8$, $c=6$, $d=4$</li><li>$a=9$, $b=3$, $c=6$, $d=2$</li></ol><ol><li>étudier la stabilité du(des) point(s) d'équilibre (du système non linéaire) par linéarisation</li><li>tracer sur du papier millimétré<ol class="alphabet"><li>le portrait de phase avec les iscoclines du système</li><li>le comportement qualitatif des trois trajectoires dont les points initiaux sont: $(-2,2)$, $(0,2)$, $(3,2)$ et $(4,1)$.</li></ol></li><li>déterminer lesquelles parmi les trois évolutions temporelles suivantes sont compatibles avec le système pour les conditions initiales et les constantes $a,b,c$ et $d$ données (motivez la réponse).<figure><img src="images/info-f305/3evolutionstempo.svg" alt="Trois évolutions temporelles" /></figure></li></li></ol></h4>
<div class="answer">
<ol>
<li>
$$
\begin{array}{ccc}
\dot{x_1} &=& \dot{x_2}\\
(a-bx_1)^2 &=& (c-dx_1)^2\\
\pm (a-bx_1) &=& \pm(c-dx_1)
\end{array}
$$
$$
\begin{array}{c|c}
\begin{array}{ccc}
a-bx_1&=&c-dx_1\\
a-c&=&bx_1-dx_x\\
\dfrac{a-c}{b-d}&=&x_1
\end{array}&
\begin{array}{ccc}
a-bx_1&=&dx_1-c\\
a+c&=&dx_1+bx_1\\
\dfrac{a+c}{b+d}&=&x_1
\end{array}
\end{array}
$$
Donc $\left( \frac{a-c}{b-d},k\right)$ ou $\left( \frac{a+c}{b+d},k\right)$ avec $k\in \mathbb{R}$
</li>
<li>
$\bar{x}=\left(\frac{a}{b}=\frac{c}{d},k\right)$ avec $k\in \mathbb{R}$
</li>
</ol>
<ol>
<li>
<ol class="alphabet">
<li>
La matrice ne contiendra que des zéros →
On cherche la jacobienne pour $$\left \{\begin{array}{r c l c l}\dot{x}_1 & = & (2-8x_1)^2 &=& 64x_1^2-32x_1+4\\\dot{x}_2 & = & (6-4x_1)^2&=&16x_1^2-48x_1+36\end{array}\right.$$
$$\begin{array}{ccccc}
J&=&\left(
\begin{array}{cc}
\dfrac{\partial f_1}{\delta x_1}&\dfrac{\delta f_1}{\delta x_2}\\\dfrac{\partial f_2}{\delta x_1}&\dfrac{\delta f_2}{\delta x_2}
\end{array}\right)&=&
\left(
\begin{array}{cc}
\dfrac{(64x_1^2-32x_1+4)'}{\delta x_1}&\dfrac{(64x_1^2-32x_1+4)'}{\delta x_2}\\\dfrac{(16x_1^2-48x_1+36)'}{\delta x_1}&\dfrac{(16x_1^2-48x_1+36)'}{\delta x_2}
\end{array}\right)\\\\
&&&=&\left(\begin{array}{cc}128x_1-32&0\\32x_1-48&0
\end{array}\right)\\\\
&&&=&\left(\begin{array}{cc}128\dfrac{2}{8}-32&0\\32\dfrac{6}{4}-48&0
\end{array}\right)\\\\
&&&=&\left(\begin{array}{cc}0&0\\0&0
\end{array}\right)
\end{array}
$$
</li>
<li>
La matrice ne contiendra que des zéros →
On cherche la jacobienne pour
$$\begin{array}{ccccc}
J&=&\left(
\begin{array}{cc}
\dfrac{\partial f_1}{\delta x_1}&\dfrac{\delta f_1}{\delta x_2}\\\dfrac{\partial f_2}{\delta x_1}&\dfrac{\delta f_2}{\delta x_2}
\end{array}\right)&=&
\left(\begin{array}{cc}\dfrac{(9x_1^2-54x_1+81)'}{\delta x_1}&\dfrac{(9x_1^2-54x_1+81)'}{\delta x_2}\\\dfrac{(4x_1^2-24x_1+36)'}{\delta x_1}&\dfrac{(4x_1^2-24x_1+36)'}{\delta x_2}\end{array}\right)\\\\
&&&=&\left(\begin{array}{cc}18x_1-54&0\\8x_1-24&0
\end{array}\right)\\\\
&&&=&\left(\begin{array}{cc}18\frac{9}{3}-54&0\\8\frac{6}{2}-24&0
\end{array}\right)\\\\
&&&=&\left(\begin{array}{cc}0&0\\0&0
\end{array}\right)
\end{array}
$$
</li>
</ol>
</li>
<li>
<figure>
<img src="images/info-f305/a2b8c6d4.svg" alt="a2b8c6d4" />
<figcaption>$a=2$, $b=8$, $c=6$, $d=4$</figcaption>
</figure>
<figure>
<img src="images/info-f305/a9b3c6d2.svg" alt="a9b3c6d2" />
<figcaption>$a=9$, $b=3$, $c=6$, $d=2$</figcaption>
</figure>
</li>
<li>
Les trois sont faux car
<ul><li>Pour (a), $x_2$ ne converge pas alors que $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$ ;</li>
<li>Pour (b), $x_2$ converge alors que $\frac{a}{b}\neq\frac{c}{d}$ ;</li>
<li>Pour (c), $x_2$ croit plus vite que $x_1$ alors que $\dot{x}_1 = a^2<\dot{x}_2=c^2$.</li>
</li>
</ol>
</div>
<h4 class="question">
Considérons le système non linéaire continu suivant $$\left \{\begin{array}{r c l}\dot{x}_1 & = & x_2^2+x_1\\\dot{x}_2 & = & x_2^3+1\end{array}\right.$$ où $x_1\in[-6,6]$ et $x_2\in[-6,6]$. L'étudiant devra
<ol>
<li>calculer analytiquement le(s) point(s) d'équilibre</li>
<li>étudier la stabilité du(des) point(s) d'équilibre (du système non linéaire) par linéarisation</li><li>tracer sur du papier millimétré
<ol class="alphabet">
<li>le portrait de phase avec les iscoclines du système</li>
<li>le comportement qualitatif des trois trajectoires dont les points initiaux sont: $(0,0)$, $(3,5)$, $(-3,-2)$ et $(-3,1)$.</li>
</ol>
</li>
</ol>
</h4>
<div class="answer">
<ol>
<li>On part des équations de l'énoncé :
$$\begin{array}{ll}
&\left\{\begin{array}{rcl}x_2^2 +x_1& = & 0\\x_2^3+1 & = & 0\end{array}\right.\\
\Leftrightarrow&\left\{\begin{array}{rcl}x_2^2& = & -x_1\\x_2^3 & = & -1\end{array}\right.\\
\Leftrightarrow&\left\{\begin{array}{rcl}(-1)^2& = & -x_1\\x_2 & = & -1\end{array}\right.\\
\Leftrightarrow&\left\{\begin{array}{rcl}x_1& = & -1\\x_2 & = & -1\end{array}\right.\\
\end{array}$$
Solution: $[-1;-1]$
</li>
<li>On cherche la jacobienne :
$$J=\left(\begin{array}{cc}\dfrac{\partial f_1}{\delta x_1}&\dfrac{\delta f_1}{\delta x_2}\\\dfrac{\partial f_2}{\delta x_1}&\dfrac{\delta f_2}{\delta x_2}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}\dfrac{(x_2^2+x_1)'}{\delta x_1}&\dfrac{(x_2^2+x_1)'}{\delta x_2}\\\dfrac{(x_2^3+1)'}{\delta x_1}&\dfrac{(x_2^3+1)'}{\delta x_2}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1&2x_2\\0&3x^2_2\end{array}\right)$$
Autour du point $[-1;-1]$
$$J=\left(\begin{array}{cc}1&2(-1)\\0&3(-1)^2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1&-2\\0&3\end{array}\right)$$
Valeurs propres:
$$
\begin{array}{rcl}
0 &=& det(J-\lambda I)\\
&=& \left|\begin{array}{rr}1-\lambda&-2\\0&3-\lambda\end{array}\right|\\
&=& -(1-\lambda).-(3-\lambda)-(-2).0\\
&=& (-1+\lambda).(-3+\lambda)\\
&=& \lambda^2-4\lambda+3
\end{array}
$$
$$\Delta=16-4.1.3=16-12=4$$
Solution: $\left(\begin{array}{c}\dfrac{4+\sqrt{4}}{2}\\\dfrac{4-\sqrt{4}}{2}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}3\\1\end{array}\right)$
→ Les valeurs propres $ > 0$ → noeud instable!
</li>
<li>
<ol class="alphabet">
<li>$$\left\{\begin{array}{rcl}\dot{x}_1& = & 0\\\dot{x}_2 & = & 0\end{array}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{rcl}x_2^2+x_1& = & 0\\x_2^3+1 & = & 0\end{array}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{rcl}x_1& = & -x_2^2\\x_2^3 & = & -1\end{array}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{rcl}x_1& = & -1\\x_2 & = & -1\end{array}\right.$$</li>
<li>?</li>
</ol>
</li>
</ol>
</div>
<h4 class="question">Considérons le système $S$ à temps continu décrit par la connexion de deux sous-systèmes $S_1$ et $S_2$ illustrée ci-dessous.<figure><img src="images/info-f305/systemes1s2.svg" alt="Système S" /></figure>Soit le sous-système $S_1$ décrit par le modèle $$\left \{\begin{array}{r c l}\dot{x}_1 & = & -(a-1)^2x_1+u\\\dot{y}_1 & = & x_1\end{array}\right.$$ et le sous-système $S_2$ décrit par le modèle $$\left \{\begin{array}{r c l}\dot{x}_2&=&x_3\\\dot{x}_3 &=& -bx_3 - 2cx_2 + 3u\\y_2 &=& x_2\end{array}\right.$$ où $a\in\mathbb{R},b\in\mathbb{R},c\in\mathbb{R}$.<ol><li>Déterminer pour quelles valeurs de $a$, $b$, $c$, le système résultant est asymptotiquement
stable.</li><li> Est-ce que pour ces valeurs le système serait asymptotiquement stable en
cas de connexion en série ($S_1 \rightarrow S_2$ ou $S_2 \rightarrow S_1$) aussi ?</li></ol>
</h4>
<div class="answer">
Un système linéaire composé par la parallélisation de deux sous-systèmes linéaires est asymptotiquement stable si et seulement si les deux sous-systèmes sont asymptotiquement stables. Pour que $S_1$ soit asymptotiquement stable il suffit que $a \neq 1$. Pour que $S_2$ soit asymptotiquement stable il suffit que $b > 0$, $c > 0$.
</div>
<h4 class="question">Considérons le système linéaire d'ordre 2 $$\dot{x} = \left[ \begin{array}{rr}0&1\\-4&-5\end{array}\right]x$$ Calculer les valeurs de $x$ pour $t = 1$ et $t \rightarrow \infty$ pour les deux conditions initiales. $$x(0)=\left[\begin{array}{r}3\\3\end{array}\right]\ , \ x(0)=\left[\begin{array}{r}2\\0\end{array}\right]$$
</h4>
<div class="answer">
Les $\lambda_i$ sont les solutions de l'équation caractéristique :
$$det\left(\left[\begin{array}{rr}
0&1\\-4&-5
\end{array}\right]-\lambda I\right) = 0$$
$$\Leftrightarrow \lambda^2 + 5\lambda + 4 = 0$$
Valeurs propres :
$$ (\lambda_1, \lambda_2 ) = ( -4, -1 )$$
Calcul de $v_1 = -4$ :
$$\begin{array}{cccc}
\Leftrightarrow & (A - \lambda_1 I )v_1 &=& 0\\
\Leftrightarrow & (A + 4I )v_1 &=& 0\\
\Leftrightarrow & \ulbvector{4&1\\-4&-1}\ulbvector{x\\y} &=& \ulbvector{0\\0}\\
\Leftrightarrow & \ulbvector{x\\y} &=& k\ulbvector{1\\-4} \forall k\\
\Leftrightarrow & v_1 &=& \ulbvector{1\\-4}
\end{array}
$$
Calcul de $v_2 = -1$ :
$$\begin{array}{cccc}
\Leftrightarrow & (A - \lambda_2 I )v_2 &=& 0\\
\Leftrightarrow & (A + 1I )v_2 &=& 0\\
\Leftrightarrow & \ulbvector{-1&1\\-4&-4}\ulbvector{x\\y} &=& \ulbvector{0\\0}\\
\Leftrightarrow & \ulbvector{x\\y} &=& k\ulbvector{1\\1} \forall k\\
\Leftrightarrow & v_2 &=& \ulbvector{1\\1}
\end{array}
$$
Valeurs propres et vecteurs propres :
$$ (\lambda_1, \lambda_2 ) = ( -4, -1 )$$
$$ (v_1, v_2 ) = \left( \ulbvector{1\\-4},\ulbvector{1\\1} \right)$$
Solution générale :
$$x(t) = c_1e^{\lambda_1 t} v_1+ c_2e^{\lambda_2 t} v_2$$
$$x(t) = c_1e^{-4t}\ulbvector{1\\-4} + c_2e^{-t}\ulbvector{1\\1}= \left\{\begin{array}{lcr}x_1(t) &=& c_1e^{-4t} + c_2e^{-t} \\ x_2(t) &=& -c_1e^{-4t} + c_2e^{-t} \end{array}\right.$$
Une fois fixée la condition initiale $x(0)$, $c_1$ et $c_2$ doivent satisfaire :
$$c_1\ulbvector{1\\-4} + c_2 \ulbvector{1\\1} = x(0) = \ulbvector{x_1(0)\\x_2(0)}$$
Donc pour $x(0) = \ulbvector{3\\3}$
$$ \left\{\begin{array}{rcr}
c_1+c_2&=&3\\
-4c_1+c_2&=&3\end{array}\right.$$
$$ \left\{\begin{array}{rcr}
c_1&=&0\\
c_2&=&3\end{array}\right.$$
Donc
$$x(t) = 0 e^{-4t}\ulbvector{1\\-4} + 3 e^{-t} \ulbvector{1\\1}$$
d'où
$$ \left\{\begin{array}{lcr}
x_1(t) &=& 0 e^{-4t} + 3 e^{-t}\\
x_2(t) &=& -4*0 e^{-4t} + 3 e^{-t}
\end{array}\right.$$
Donc les valeurs de $x$ pour $t = 1$ et $t \rightarrow \infty$ avec la condition initiale $x(0)=\ulbvector{3\\3}$ sont $$x(1) = \ulbvector{3 e^{-1}\\3 e^{-1}}\ ,\ x(\infty) = \ulbvector{\infty\\\infty}$$
Et pour $x(0) = \ulbvector{2\\0}$
$$ \left\{\begin{array}{rcr}
c_1+c_2&=&2\\
-4c_1+c_2&=&0\end{array}\right.$$
$$ \left\{\begin{array}{rcr}
c_1&=&\dfrac{2}{5}\\
c_2&=&\dfrac{8}{5}
\end{array}\right.$$
Donc
$$x(t) = \dfrac{2}{5} e^{-4t}\ulbvector{1\\-4} + \dfrac{8}{5} e^{-t} \ulbvector{1\\1}$$
d'où
$$ \left\{\begin{array}{lcc}
x_1(t) &=& \dfrac{2}{5} e^{-4t} + \dfrac{8}{5} e^{-t}\\
x_2(t) &=& -4*\dfrac{2}{5} e^{-4t} + \dfrac{8}{5} e^{-t}
\end{array}\right.$$
Donc les valeurs de $x$ pour $t = 1$ et $t \rightarrow \infty$ avec la condition initiale $x(0)=\ulbvector{2\\0}$ sont $$x(1) = \ulbvector{0.595933\\0.559302}\ ,\ x(\infty) = \ulbvector{\infty\\\infty}$$
</div>
<h4 class="question">Considérons le système linéaire d'ordre 2 $$\dot{x} = \left[ \begin{array}{rr}1&3\\3&1\end{array}\right]x$$ Calculer les valeurs de $x$ pour la condition initiale $$x(0)=\left[\begin{array}{r}0.5\\0\end{array}\right]$$
</h4>
<div class="answer">
Les $\lambda_i$ sont les solutions de l'équation caractéristique :
$$det\left(\left[\begin{array}{rr}
1&3\\3&1
\end{array}\right]-\lambda I\right) = 0$$
$$\Leftrightarrow \lambda^2 - 2\lambda - 8 = 0$$
Valeurs propres :
$$ (\lambda_1, \lambda_2 ) = ( -2, 4 )$$
Calcul de $v_1 = -2$ :
$$\begin{array}{cccc}
\Leftrightarrow & (A - \lambda_1 I )v_1 &=& 0\\
\Leftrightarrow & (A + 2I )v_1 &=& 0\\
\Leftrightarrow & \ulbvector{3&3\\3&3}\ulbvector{x\\y} &=& \ulbvector{0\\0}\\
\Leftrightarrow & \ulbvector{x\\y} &=& k\ulbvector{1\\-1} \forall k\\
\Leftrightarrow & v_1 &=& \ulbvector{1\\-1}
\end{array}
$$
Calcul de $v_2 = 4$ :
$$\begin{array}{cccc}
\Leftrightarrow & (A - \lambda_2 I )v_2 &=& 0\\
\Leftrightarrow & (A - 4I )v_2 &=& 0\\
\Leftrightarrow & \ulbvector{-3&3\\3&-3}\ulbvector{x\\y} &=& \ulbvector{0\\0}\\
\Leftrightarrow & \ulbvector{x\\y} &=& k\ulbvector{1\\1} \forall k\\
\Leftrightarrow & v_2 &=& \ulbvector{1\\1}
\end{array}
$$
Valeurs propres et vecteurs propres :
$$ (\lambda_1, \lambda_2 ) = ( -2, 4 )$$
$$ (v_1, v_2 ) = \left( \ulbvector{1\\-1},\ulbvector{1\\1} \right)$$
Solution générale :
$$x(t) = c_1e^{\lambda_1 t} v_1+ c_2e^{\lambda_2 t} v_2$$
$$x(t) = c_1e^{-2t}\ulbvector{1\\-1} + c_2e^{4t}\ulbvector{1\\1}= \left\{\begin{array}{lcr}x_1(t) &=& c_1e^{-2t} + c_2e^{4t} \\ x_2(t) &=& -c_1e^{-2t} + c_2e^{4t} \end{array}\right.$$
Une fois fixée la condition initiale $x(0)$, $c_1$ et $c_2$ doivent satisfaire :
$$c_1\ulbvector{1\\-1} + c_2 \ulbvector{1\\1} = x(0) = \ulbvector{x_1(0)\\x_2(0)}$$
$$ \left\{\begin{array}{rcr} c_1+c_2&=&0.5\\-c_1+c_2&=&0\end{array}\right.\ \Leftrightarrow c_1=c_2=0.25$$
Donc
$$x(t) = 0.25 e^{-2t}\ulbvector{1\\-1} + 0.25 e^{4t} \ulbvector{1\\1}$$
d'où
$$ \left\{\begin{array}{lcr}
x_1(t) &=& 0.25 e^{-2t} + 0.25 e^{4t}\\
x_2(t) &=& -0.25 e^{-2t} + 0.25 e^{4t}
\end{array}\right.$$
</div>
<h4 class="question">Considérons le système non linéaire à temps discret décrit par l'itération $$x(k+1)=f(x(k))$$ où $x(k)\in[0,100]$ et la fonction $f$ est $$f(x)=\dfrac{1}{25}x(100-x)$$ L'étudiant devra<ol><li>calculer analytiquement $f^2(x)$ et tracer les graphiques respectifs de $f(x)$ et de $f^2(x)$ ;</li><li>trouver les points d'équilibre ;</li><li>étudier la stabilité des points d'équilibre ;</li><li>pour chaque point d'équilibre, simuler graphiquement et numériquement une trajectoire qui soit compatible avec l'analyse de stabilité ;</li><li>sur la base du graphique de $f^2(x)$ estimer les points du cycle d'ordre 2.</li></ol>
</h4>
<div class="answer">
<ol>
<li>
Le graphique de $f(x)$ est
<figure><img src="images/info-f305/answerfx.svg" alt="f(x)" /></figure>
alors que celui de $f^2(x)$ est
<figure><img src="images/info-f305/answerf2x.svg" alt="f^2(x)" /></figure>
</li>
<li>
Les points d'équilibre du système sont $\bar{x}^{(1)} = 0$ et $\bar{x}^{(2)} = 75$.
</li>
<li>
Puisque $f'(x)=\dfrac{1}{25}(100-2x)$ avec $f'(x_1)=4$ et $f'(x_2)=-2$ les deux points sont instables.
</li>
<li>
Il existe un cycle d'ordre 2 qui passe par les points d'équilibre de $f^2$ qui ne sont pas points d'équilibre de $f$, c.-à-d. les valeurs $\bar{x}^{(3)} \approx 35$ et $\bar{x}^{(4)} \approx 91$.
</li>
</ol>
</div>
<h4 class="question">Considérons le système non linéaire continu d'ordre 2 $$\left \{\begin{array}{r c l}\dot{x}_1 & = & x^2_1+x^2_2-4\\\dot{x}_2 & = & x^2_1-x_2-2\end{array}\right.$$ L'étudiant devra <ol><li>trouver analytiquement le(s) point(s) d'équilibre ;</li><li>étudier la stabilité du(des) point(s) d'équilibre (du système non linéaire) par linéarisation ;</li><li>tracer sur du papier millimétré<ol class="alphabet"><li>les iscoclines du système ;</li><li> le comportement qualitatif des trois trajectoires dont les points initiaux sont: $(1.5, 1.5)$,$(−1, −2)$ et $(0, −2)$.</li></ol></li><li>déterminer lesquelles parmi les quatre évolutions temporelles suivantes
sont compatibles avec le système et motiver la réponse.<figure><img src="images/info-f305/4evolutionstemporelles.svg" alt="4 évolutions temporelles" /></figure></li></ol></h4>
<div class="answer">
<ol>
<li>On recherche les points d'équilibres :
$$\begin{array}{ll}
&\left\{\begin{array}{rcl}x_1^2 +x_2^2-4& = & 0\\x_1^2-x_2 -2 & = & 0\end{array}\right.\\
\Leftrightarrow&\left\{\begin{array}{rcl}(x_2+2)+x_2^2-4& = & 0\\x_1^2 & = & x_2+2\end{array}\right.
\end{array}$$
On calcule le delta et on trouve deux points : $-2$ et $1$
$$\left\{\begin{array}{rcl}x_2& = & -2\\x_1 & = & 0\end{array}\right.$$
$$\left\{\begin{array}{rcl}x_2& = & 1\\x_1 & = &\pm\sqrt{3}\end{array}\right.$$
Le système a donc trois points d'équilibre: $\bar{x}^{(1)} = ( \sqrt{3},1)$, $\bar{x}^{(2)} = (-\sqrt{3},1)$ et $\bar{x}^{(3)} = (0,-2)$
</li>
<li>On utilise la jacobienne :
$$J=\left(\begin{array}{cc}\dfrac{\partial f_1}{\delta x_1}&\dfrac{\delta f_1}{\delta x_2}\\\dfrac{\partial f_2}{\delta x_1}&\dfrac{\delta f_2}{\delta x_2}\end{array}\right)=
\left(\begin{array}{cc}\dfrac{(x_1^2+x_2^2-4)'}{\delta x_1}&\dfrac{(x_1^2+x_2^2-4)'}{\delta x_2}\\\dfrac{(x_1^2-x_2-2)'}{\delta x_1}&\dfrac{(x_1^2-x_2-2)'}{\delta x_2}\end{array}\right)=
\left(\begin{array}{cc}2x_1&2x_2\\2x_1&-1\end{array}\right)$$
<ul>
<li>
La matrice en $\bar{x}^{(1)}$ est $\left(\begin{array}{rr}2\sqrt{3}&2\\2\sqrt{3}&-1\end{array}\right)$.
$$
\begin{array}{rcl}
0 &=& det(J-\lambda I)\\
&=& \left|\begin{array}{rr}2\sqrt{3}-\lambda&2\\2\sqrt{3}&-1-\lambda\end{array}\right|\\
&=& (2\sqrt{3}-\lambda).(-1-\lambda)-2.2\sqrt{3}\\
&=& -2\sqrt{3}+\lambda-2\sqrt{3}\lambda+\lambda^2-4\sqrt{3}\\
&=& \lambda^2+(1-2\sqrt{3})\lambda-6\sqrt{3}
\end{array}
$$
$$\Delta = (1-2\sqrt{3})^2-4.1.(-6\sqrt{3}) = 13+20\sqrt{3}$$
$$\lambda_{1,2} = \dfrac{-(1-2\sqrt{3}) \pm \sqrt{13+20\sqrt{3}}}{2} = \{4.683174;-2.219087\}$$
Le point $\bar{x}^{(1)}$ est une selle pour le système linéarisé car on a des valeurs propres positif et négatif, donc le point d'équilibre $\bar{x}^{(1)}$ est instable pour le système original.</li>
<li>
La matrice en $\bar{x}^{(2)}$ est $\left(\begin{array}{rr}-2\sqrt{3}&2\\-2\sqrt{3}&-1\end{array}\right)$.
$$
\begin{array}{rcl}
0 &=& det(J-\lambda I)\\
&=& \left|\begin{array}{rr}-2\sqrt{3}-\lambda&2\\-2\sqrt{3}&-1-\lambda\end{array}\right|\\
&=& (-2\sqrt{3}-\lambda).(-1-\lambda)-2.(-2\sqrt{3})\\
&=& 2\sqrt{3}+\lambda+2\sqrt{3}\lambda+\lambda^2+4\sqrt{3}\\
&=& \lambda^2+(1+2\sqrt{3})\lambda+6\sqrt{3}
\end{array}
$$
$$\Delta = (1+2\sqrt{3})^2-4.1.(6\sqrt{3}) = 13-20\sqrt{3}$$
$$\lambda_{1,2} = \dfrac{-(1+2\sqrt{3}) \pm \sqrt{13-20\sqrt{3}}}{2} = \{-reelle+imaginaire;-reelle-imaginaire\}$$
Le point $\bar{x}^{(2)}$ est un foyer asymptomatiquement stable pour le système linéarisé car les valeurs propres sont des nombres imaginaires dont la partie réelle est négative. Donc le point d'équilibre $\bar{x}^{(2)}$ est asymptotiquement stable pour le système original.
</li>
<li>
La matrice en $\bar{x}^{(3)}$ est $\left(\begin{array}{rr}0&-4\\0&-1\end{array}\right)$.
$$
\begin{array}{rcl}
0 &=& det(J-\lambda I)\\
&=& \left|\begin{array}{rr}0-\lambda&-4\\0&-1-\lambda\end{array}\right|\\
&=& (-\lambda).(-1-\lambda)-(-4.0)\\
&=& \lambda^2+\lambda
\end{array}
$$
$$\Delta = 1^2-4.1.0 = 1$$
$$\lambda_{1,2} = \dfrac{-1 \pm \sqrt{1}}{2} = \{0;-1\}$$
Système non-simple stable car une valeur propre nulle et valeur propre réelle négative. Nous ne pouvons rien déduire sur la stabilité du point $\bar{x}^{(3)}$ dans le système originale.
</li>
</ul>
</li>
<li>
<ol class="alphabet">
<li>Si on part de la première équation, on obtient une équation d'un cercle de rayon 4 :
$$\begin{array}{rrrr}
&x_1^2+x_2^2-4 &=& 0 \\
\Leftrightarrow &x_2^2 &=& -x_1^2+4\\
\Leftrightarrow &x_2 &=& \pm\sqrt{-x_1^2+4}
\end{array}$$
Si on part de la deuxième équation, on obtient une équation d'une parabole
$$\begin{array}{rrrr}
&x_1^2-x_2-2 &=& 0 \\
\Leftrightarrow &x_2 &=& -x_1^2-2
\end{array}$$
Le portrait de phase du système est affiché sur la figure :
<figure><img src="images/info-f305/portaitdephase.svg" alt="Portrait de phase" /></figure>
</li>
<li>Heuu help</li>
</ol>
</li>
<li>
Les évolutions temporelles a) et c).
</li>
</ol>
</div>
<h4 class="question">
Considerons le système à temps discret décrit par l'équation $$x(k+2)-5x(k+1)+6x(k)=3(4^k)$$ L'étudiant devra
<ol>
<li>Determiner la solution pour $x(0) = 0$, $x(1) = 0$.</li>
<li>Vérifier de manière numérique pour $k = 0, . . . , 7$ que la solution est correcte.</li>
<li>Determiner pour le système homogène, s'il existe, le point d'équilibre et, en cas d'existence, analyser sa stabilité.</li>
</ol>
</h4>
<div class="answer">
<ol>
<li>
Le polynome caractéristique de l'équation homogène est $$\lambda^2-5\lambda+6=0$$ qui a comme racines $\lambda_1=2$,$\lambda_2=3$. L'équation homogène est $$x^h(k)=c_12^k+c_23^k$$ La solution particulière aura une forme $c3(4^k)$, il suffit d'injecter cela dans l'équation de départ et on a
$$\begin{array}{crcl}&c3(4^{k+2})-5c3(4^{k+1})+6c3(4^k)&=&3(4^k)\\
\Leftrightarrow&c3(4^k)(4^2-5.4+6)&=&3(4^k)\\
\Leftrightarrow&c(16-20+6)&=&1\\
\Leftrightarrow&c&=&\dfrac{1}{2}\\
\Leftrightarrow&x^p(k)&=&\dfrac{3}{2}4^k
\end{array}$$
La solution générale est $$\begin{array}{crcl}&x(k)&=&x^h(k)+x^p(k)\\\Leftrightarrow&x(k)&=&c_12^k+c_23^k+\dfrac{3}{2}4^k\end{array}$$
Pour trouver solution particulière pour $x(0)=0$ et $x(1)=0$, il faut résoudre le système suivant afin de trouver $c_1$ et $c_2$ :
$$\left\{\begin{array}{rcl}c_1+c_2+\dfrac{3}{2}&=&0\\2c_1+3c_2+\dfrac{3}{2}4&=&0\end{array}\right.$$
Et l'on trouve $c_1=\dfrac{3}{2}$ et $c_2=-3$. La solution particulière est donc
$$x(k)=\dfrac{3}{2}2^k+(-3)3^k+\dfrac{3}{2}4^k$$
</li>
<li>
La solution numérique pour $k = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7$ est $[0,0,3,27,165,855,4053,18207]$
</li>
<li>
Le système homogène a l'origine comme point d'équilibre unstable.
</li>
</ol>
</div>
<h4 class="question">
Considerons le système à temps discret décrit par l'équation $$x(k+3)-4x(k+2)+8x(k)=\dfrac{3^k}{k+1}$$ L'étudiant devra
<ol>
<li>Determiner la solution générale de l'équation homogène (en justifiant votre réponse).</li>
<li>Donnez une solution particulière de l'équation de départ</li>
<li>Trouvez l'ensemble des constantes de la solution générale avec comme condition initiale : $x(0) = 1$, $x(1)=2$, $x(2)=3$</li>
</ol>
</h4>
<div class="answer">
<ol>
<li>
Le polynome caractéristique de l'équation homogène est
$$\lambda^3-4\lambda^2+8=0$$
qui a comme racines
$$\begin{array}{ccc}
0&=&\lambda^3-4\lambda^2+8\\
&=& (\lambda-2)(\lambda^2-2\lambda-4)
\end{array}$$
$\lambda_1=2$, $\lambda_2=1+\sqrt{5}$, $\lambda_3=1-\sqrt{5}$.\\
L'équation homogène est donc
$$x^h(k) = c_1 2^k + c_2 (1+\sqrt{5})^k + c_3 (1-\sqrt{5})^k$$
</li>
<li>
La solution particulière aura une forme $\dfrac{c3^k}{k + 1}$, il suffit d'injecter cela dans l'équation de départ et on a
$$\begin{array}{crcl}
&\dfrac{c3^k+3}{k + 3 + 1}+4\dfrac{c3^k+2}{k + 2+ 1}+8\dfrac{c3^k}{k + 1}&=&\dfrac{3^k}{k + 1}\\
\Leftrightarrow&\dfrac{c3^k+3}{k + 4} + 4\dfrac{c3^k+2}{k + 3} + 8\dfrac{c3^k}{k + 1}&=&\dfrac{3^k}{k + 1}\\
\Leftrightarrow& ???&ta&maman\\
\end{array}$$
La solution générale est $$\begin{array}{crcl}&x(k)&=&x^h(k)+x^p(k)\\\Leftrightarrow&x(k)&=& ? + ?\end{array}$$
</li>
<li>
</li>
</ol>
</div>
<h4 class="question">Considerons le système à temps discret décrit par l'équation $$x(k+4)+8x(k+2)=8(2^k)$$
<ol>
<li>Determiner la solution générale de l'équation homogène</li>
<li>Donnez une solution particulière de l'équation de départ</li>
<li>Donnez la solution générale de l'équation non-homogène sachant que $x(0)=\sin(a)$ et $x(1)=\sin(b)$ où $a\in\mathbb{R}$ et $b\in\mathbb{R}$</li>
<li>Sachant que $a=\pi$ et $b=0$, calculez la valeur de $x(k)$ pour $k\in\{0,1,2,3,4\}$.</li>
</ol>
</h4>
<div class="answer">
<ol>
<li>
$$\begin{array}{rrrrrr}
&x(k+4) &+& 8x(k+2) &=& 8(2^k)\\
\Leftrightarrow&\lambda^4 &+& 8\lambda^2 &=& 0
\end{array}$$
est le polynome caractéristique de l'équation homogène est qui a comme unique racine $\lambda=0$
L'équation homogène ($x^h(k)$) est alors
$$x^h(k)=c_10^k$$
</li>
<li>
La solution particulière ($x^p(k)$) aura la forme $c8(2^k)$, il suffit d'injecter cela dans l'équation de départ et on a
$$\begin{array}{rrrrrr}
&c8(2^{k+4}) &+& 8c8(2^{k+2}) &=& 8(2^k)\\
\Leftrightarrow&8(2^k) (c2^4 &+& 8c2^2) &=& 8(2^k)\\
\Leftrightarrow&c2^4 &+& 8c2^2 &=& 1\\
\Leftrightarrow&&&48c&=&1\\
\Leftrightarrow&&&c&=&\dfrac{1}{48}\\
\Leftrightarrow&&&x^p(k)&=&\dfrac{8}{48}2^k\\
\Leftrightarrow&&&x^p(k)&=&\dfrac{1}{16}2^k
\end{array}$$
</li>
<li>
La solution générale ($x(k)$) est
$$\begin{array}{rrrrr}
x(k) &=& x^h(k) &+& x^p(k)\\
&=& c_10^k&+&\dfrac{1}{16}2^k
\end{array}$$
Pour trouver solution particulière pour $x(0)=\sin(a)$ et $x(1)=\sin(b)$, il faut résoudre le système suivant afin de trouver $c_1$ :
$$\left\{\begin{array}{rrr}
c_10^k + \dfrac{1}{16}2^0 &=& \sin(a)\\
c_10^k + \dfrac{1}{16}2^1 &=& \sin(b)
\end{array}\right.
\Leftrightarrow
\left\{\begin{array}{rrc}
0&=&\sin(a)-\dfrac{1}{16}\\
0&=&\sin(b)-\dfrac{1}{8}
\end{array}\right.
$$
</li>
<li>
Mais donc au final on trouve $c_1=\mathbb{R}$. La solution particulière est donc
$$x(k) = \dfrac{1}{16}2^k$$
La solution numérique pour $k = 0, 1, 2, 3, 4$ est $[ \dfrac{1}{16} , \dfrac{1}{8} , \dfrac{1}{4} , \dfrac{1}{2} , 1 ]$
</li>
</ol>
</div>
<h4 class="question">Soit l'équation différentielle suivante $$\dot{x}=rx-x^3,\ x\in\mathbb{R},\ r\in\mathbb{R}$$<ol><li>Trouver les points d'équilibre du système et étudier leur stabilité en fonction de $r$ ;</li><li>Tracer le diagramme de bifurcation associé. Notez les points d'équilibres instables en pointillé ;</li><li>Etudier la nature des points d'équilibres de manière graphique pour $r = 1$ et $r = 36$ ;</li><li>Vérifier par linéarisation les résultats du point précédent ;</li><li>Tracer qualitativement l'évolution temporelle ($t \in [0, 10]$) de $x$ pour<ol class="alphabet"><li>$r = 1$, $x(0) = 8$</li><li>$r = 1/4$, $x(0) = 8$</li><li>$r = −1$, $x(0) = 8$
</li></ol>en tenant en considération la constante de temps.</li><li>Comparer les vitesses de convergence des trajectoires a), b) et c) et expliquer leur différence.</li></ol></h4>
<div class="answer">
<ol>
<li>
On cherche les points d'équilibre :
$$\begin{array}{ccc}
rx - x^3 &=& 0 \\
x^3 &=& rx\\
x^2 &=& r\\
x &=& \pm \sqrt{r}
\end{array}$$
$\bar{x}=0$,$\bar{x}=\sqrt{r}$ et $\bar{x}=-\sqrt{r}$
<ul>
<li>Si $r \leq 0$, il y a un équilibre stable $\bar{x}=0$</li>
<li>Si $r > 0$, il y a un équilibre instable $\bar{x}=0$ et deux équilibres stables $\bar{x}=\sqrt{r}$ et $\bar{x}=-\sqrt{r}$</li>
</ul>
</li>
<li>
?
</li>
<li>
Voici les diagrammes $( x, \dot{x} )$
<figure>
<img src="images/info-f305/diagrammespointequilibre.svg" alt="diagrammes point equilibre" />
</figure>
<ul>
<li>$r = 1 \Rightarrow \bar{x}^{(1)} = 1$, $\bar{x}^{(2)} = -1$, $\bar{x}^{(3)} = 0$. Les deux points $\bar{x}^{(1)}$ et $ \bar{x}^{(2)}$ sont stable</li>
<li>$r = 36 \Rightarrow \bar{x}^{(1)} = 6$, $\bar{x}^{(2)} = -1$, $\bar{x}^{(3)} = 0$. Les deux points $\bar{x}^{(1)}$ et $ \bar{x}^{(2)}$ sont stable</li>
</ul>
</li>
<li>
On utilise la jacobienne
$$J=\left(
\dfrac{\partial f}{\delta x}
\right)=\left(
\dfrac{ (rx-x^3)' }{\delta x}
\right)=r-3x^2$$
<ul>
<li>$\bar{x}^{(1)}$ et $\bar{x}^{(2)}$ ( $ = \pm \sqrt{r} \Rightarrow J = r-3r = -2r$ ) : Le système linéalisé autour de $\bar{x}^{(1)}$ et $\bar{x}^{(2)}$ est $\dot{x} = -2rx$. Négatif donc stable si $r$ est positif. Ceci confirme la stabilité pour $r$ positif.</li>
<li>$\bar{x}^{(3)}$ ( $ = 0 \Rightarrow J = r-3.0 = r$ ) : Le système linéalisé autour de $\bar{x}^{(3)}$ est $\dot{x} = rx$. Positif donc instable si $r$ est positif. Ceci confirme la stabilité pour $r$ positif.</li>
</ul>
</li>
<li>
Les trajectoires sont
<figure>
<img src="images/info-f305/trajectoire0.svg" alt="Trajectoire" />
</figure>
</li>
<li>
La constante de temps est $\dfrac{1}{2r}$ pour $r > 0$ et $\dfrac{-1}{r}$ pour $r < 0$.
</li>
</ol>
</div>
<h4 class="question">
Considérons le système non linéaire à temps discret décrit par l'itération $$x(k+1)=min\left(5,\dfrac{2^{x(k)}}{x(k)}\right)$$ où $x(k)\in[1,5]$. L'étudiant devra
<ol>
<li>tracer le graphique de $f(x)$</li>
<li>trouver la forme analytique et tracer le graphique de $f^2(x)$</li>
<li>trouver les points d'équilibre</li>
<li>étudier la stabilité des points d'équilibre</li>
<li>pour chaque point d'équilibre, simuler graphiquement et numériquement une trajectoire de 5 étapes qui soit compatible avec l'analyse de stabilité</li>
<li> trouver, s'il existe, un cycle d'ordre 2, donner les valeurs de ses composantes et montrer numériquement qu'il s'agit d'un cycle</li>
</ol>
</h4>
<div class="answer">
<ol>
<li>
Sur la figure 2, on voit le graphique de $f(x)$ (en rouge), de $f^2(x)$ (en bleu) et $y = x$ (en noir)
<figure><img src="images/info-f305/graphfx.svg" alt="answer" /></figure>
</li>
<li>$f^2(x) = min\left(5, 2^{\left(\dfrac{2^x}{x}-x\right)}x\right)$</li>
<li>Il y a 3 points d'équilibres $\bar{x}_1=2$, $\bar{x}_2=4$ et $\bar{x}_3=5$</li>
<li>
Nous avons $$f'(x)=-\dfrac{2^x(x\ln(2)-1)}{x^2}$$Le point d'équilibre $\bar{x}_1 = 2$ est localement asymptotiquement stable car $|f'(\bar{x}_2)|= 0.3863 < 1$ et le point $\bar{x}_2=4$ est instable car $|f'(\bar{x}_2)| = 1.7726 > 1$
</li>
<li>?</li>
<li>Il n'y a pas de cycles</li>
</ol>
</div>
<h4 class="question">
Considérons le système dynamique $x(k+1) = f(x(k))$ où
$$f(x) = 4x(1-x)$$
L'étudiant devra établir si le syst§me est chaotique dans le voisinage des points d'équilibre en utilisant les exposants de Lyapunov.
</h4>
<div class="answer">
Syllabus 7.6.2 Exposant de Liapounov (p. 158)
</div>
<h4 class="question">
Considérons les systèmes dynamique à temps continu d'ordre 1 $$\dot{x} = -3x, \ x \in \mathbb{R}$$
dont la condition x(0) à l'instant $t = 0$ est distrbuée selon la densité de probabilité sur la figure :
<figure><img src="images/info-f305/traj5etapes.svg" alt="answer" /></figure>
Soit $U = [\ 0.51\ ;\ 0.46\ ;\ 0.35\ ;\ 0.1\ ;\ 0.43\ ;\ 0.71\ ;\ 0.12\ ;\ 0.08\ ;\ 0.37\ ;\ 0.03\ ]$ une séquence de 10 nombres aleatoires tirées à partir d'une distribution uniforme entre 0 et 1. L'étudiant devra estimer en utilisant la séquence $U$ par Monte Carlo.
<ul>
<li>La moyenne de la solution $x(1)$</li>
<li>La probabilité que $x(1) > 0.3$</li>
</ul>
</h4>
<div class="answer">
<figure><img src="images/info-f305/distributionuniforme.svg" alt="Distribution uniforme" /></figure>
On cherche les $x(0)$ en fonction du graphique ( $e = 2.71$ )
$$\begin{array}{llllllll}
U = & 0.51 &\rightarrow& x(0) &= 5.05 &\rightarrow& x(1) = x(0).e^{-3} & = 0.253\\
& 0.46 &\rightarrow&&= 4.95 &\rightarrow&& = 0.248\\
& 0.35 &\rightarrow&&= 4.70 &\rightarrow&& = 0.234\\
& 0.10 &\rightarrow&&= 4.15 &\rightarrow&& = 0.207\\
& 0.43 &\rightarrow&&= 4.85 &\rightarrow&& = 0.241\\
& 0.71 &\rightarrow&&= 5.15 &\rightarrow&& = 0.256\\
& 0.12 &\rightarrow&&= 4.25 &\rightarrow&& = 0.212\\
& 0.08 &\rightarrow&&= 4.10 &\rightarrow&& = 0.204\\
& 0.37 &\rightarrow&&= 4.75 &\rightarrow&& = 0.236\\
& 0.03 &\rightarrow&&= 4.05 &\rightarrow&& = 0.202\\
\end{array}$$
<ul>
<li>On fait la moyenne des 10 nombres pour $x(1) = \dfrac{\sum_{i=0}^{10} x_i(1)}{10} = \dfrac{2.293}{10} = 0.2293$</li>
<li>On regarde la probabilité combien de nombre $ x(1) > 0.3 \rightarrow 0$</li>
</ul>
</div>
<h4 class="question">
Considérons l'équation aux différences non homogène suivante
$$x(k+2) + ax(k+1) + 2x(k) = 1$$
Déterminez et vérifiez numériquement (en effectuant trois étapes) la solution pour
<ul>
<li>$a=3,\ x(0) = 1/6,\ x(1) = 7/6$</li>
<li>$a=2,\ x(0) = 1/5,\ x(1) = 6/5$</li>
<li>$a=-3,\ x(0) = 0,\ x(1) = 0$</li>
</ul>
</h4>
<div class="answer">
<ul>
<li>
$a = 3$ : $\lambda_1 = -2$, $\lambda_2 = -1$. Puisque $x = 1/6$ est une solution particulière, la solution générale de l'équation est
$$x(k) = A(-1)^k + B(-2)^k + 1/6$$
En posant les conditions initiales nous trouvons $A=1$ et $B=-1$
</li>
<li>
$a=2$ : $\lambda_1 = -1+i$, $\lambda_2 = -1 -i$. Puisque $p=\sqrt{2}$ et $\delta = \dfrac{3\pi}{4}$ et $x=1/5$ est une solution particulière, la solution générale de l'équation est
$$x(k) = \sqrt{2^k}\left(A\cos\dfrac{3\pi k}{4} + B\sin\dfrac{3\pi k}{4}\right)+1/5$$
En posant les conditions initiales nous trouvons $A=1$ et $B=-1$
</li>
<li>
$a=-3$ : $\lambda_1 = 2$, $\lambda_2 = 1$. Puisque $x=-k$ est une solution particulière, la solution générale de l'équation est
$$x(k) = A2^k + B-k$$
En posant les conditions initiales nous trouvons $A=0$ et $B=1$.
</li>
</ul>
</div>
<h4 class="question">
Tracer le diagramme de bifurcation du système $$\dot{x} = x (4-x) -k$$ en fonction de $k\in\mathbb{R}$
</h4>
<div class="answer">
Pour $k \leq 4$, le système à comme points d'équilibre
$$ x^{(1)} = 2 - \sqrt{4-k}$$
et
$$ x^{(2)} = 2 + \sqrt{4-k}$$
Puisque $f'(x) = -2x +4$ il s'ensuit que pour $k \leq 4$, $x^{(1)}$ est instable alors que $x^{(2)}$ est asymptomatiquement stable. Le diagramme de bifurcation est donc
<figure><img src="images/info-f305/diagrammedebifurcation.svg" alt="answer" /></figure>
</div>
<h4 class="question">
Considérons les systèmes $$\dot{x} = -x^3$,\ \ \dot{x} = x^3$$
Pour chacun des deux systèmes, l'étudiant devra
<ul>
<li>Trouver le point d'équilibre et étudier la stabilité</li>
<li>Définir une fonction Lyapunov qui confirme le résultat précèdent</li>
</ul>
</h4>
<div class="answer">
Le seul point d'équilibre est l'origine (asymptomatiquement stable pour le premier système et instable pour le deuxième). Si nous considérons la fonction définie positive $V(x) = kx^2, \ \ k > 0 $ il s'ensuit que pour le premier système
$$\dot{V}(x) = -2kxx^3 = -2 k x^4$$et pour le deuxième $$\dot{V}(x) = 2kxx^3 = 2kx^4$$
<ul>
<li>Premier système : puisque la foncion est définie négative pour tout $x$ il s'ensuit que l'origine est asymptotiquement stable.</li>
<li>Deuxième système : puisque la fonction est définie positive pour tout $x$ il s'ensuit que l'origine est instable.</li>
</ul>
</div>
<h3>Orale</h3>
<h4>Définition de système dynamique</h4>
<h5 class="question">Énoncer les propriétés de la fonction de transition</h5>
<div class="answer">
La <fonction de transition> permet de passer d'un état au suivant. C'est généralement un calcul sur un intervalle de temps. Une fois qu'on a calculé l'état dont on a besoin, on s'en sert pour trouver la solution y du problème. La fonction de transition possède quelques propriétés :
<ol>
<li><b>Consistance</b> : Une même série d'entrées doit toujours donner la même solution (pas d'aléatoire) ;</li>
<li><b>Causalité</b> : Si on applique deux entrées $u_1$ et $u_2$ ( avec $u_1 = u_2$ ), la sortie doit être la même.</li>
</ol>
</div>
<h5 class="question">Définir un état d'équilibre.</h5>
<div class="answer">
Un <b>état d'équilibre</b> est un état vers lequel tend le système. S'il existe une fonction d'entrée qui ramène le système à un endroit de départ, cet état est un état d'équilibre, et la sortie y correspondante est la sortie d'équilibre. Dans le cas du réservoir, pour toutes les fonctions où le débit de sortie est supérieur au débit d'entrée, le réservoir se videra et restera vide, ce sera un état d'équilibre. Il y a d'autres états d'équilibres, comme celui où le débit d'entrée est égal au débit de sortie. N'importe quel niveau est alors un état d'équilibre.
</div>
<h5 class="question">Énoncer les définitions de accessibilité et observabilité.</h5>
<div class="answer">
<ol>
<li>Un état est <b>accessible</b> à partir d'un autre quand il existe $t_1$ et $t_2$, avec $t_1 \neq t_2$, tel que l'état de départ est l'état du système en $t_1$, et l'état "accessible" est l'état du système en $t_2$. Par exemple, si la température de la pièce ne peut qu'augmenter, l'état 25° n'est pas accessible par l'état 35°. Par contre, 35° peut être atteint après 25°. Un système est <b>connexe</b> s'il existe un chemin entre toute paire d'états dans le système. Où qu'on soit, on peut aller ailleurs en suivant un temps croissant ;</li>
<li>Un système <b>observarble</b> est un système dont on peut reconstuire le passé. S'il y a une équivalence entre deux états, on a un problème car il y aura plusieurs chemins menant au même endroit.</li>
</ol>
</div>
<h5 class="question">Discuter les notions de stabilité.</h5>
<div class="answer">
La notion centrale de ces systèmes est la stabilité. Il faut essayer de trouver les
endroits stables et les points d'équilibre. Si on perturbe l'équilibre, est-ce
qu'on obtient un chaos ou est-ce qu'on revient à l'équilibre ? Un état d'équilibre
s'exprime en disant qu'un mouvement est stable quand une perturbation epsilon de
l'entrée produit une perturbation de sortie delta du même ordre qu'epsilon
(préférablement plus petite). Si Roméo casse un verre et que Juliette romp pour ça,
c'est que le système est instable. Dans un système stable, Roméo peut être un salot
que Juliette l'aimera toujours.<br>