-
Notifications
You must be signed in to change notification settings - Fork 0
/
Copy pathform_ruimtemeetk.tex
145 lines (130 loc) · 6.27 KB
/
form_ruimtemeetk.tex
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
\section{RUIMTEMEETKUNDE} \label{ruimtemeetkunde}
\hypertarget{ruimtemeetkunde}{}
\subsection{Inhoud en oppervlakte van ruimtefiguren} \label{inhoud_ruimtefiguren}
\hypertarget{inhoud_ruimtefiguren}{}
\subsubsection{Prisma} \label{prisma}
\hypertarget{prisma}{}
Stel $G$ de oppervlakte van het grondvlak.\newline
%\docLink[tekening]{prisma.jpg}{\includegraphics{tekening.gif}}\newline
\includegraphics{prisma.jpg}
$I=G\cdot h$
\subsubsection{Piramide} \label{piramide}
\hypertarget{piramide}{}
Stel $G$ de oppervlakte van het grondvlak.\newline
%\docLink[tekening]{piramide.jpg}{\includegraphics{tekening.gif}}\newline
\includegraphics{piramide.jpg}
$I=\ds\Frac{1}{3}G\cdot h$
\subsubsection{Cilinder} \label{cilinder}
\hypertarget{cilinder}{}
%\docLink[tekening]{cilinder.jpg}{\includegraphics{tekening.gif}}\newline
\includegraphics{cilinder.jpg}
$I=\pi r^2 h$\newline
De zijdelingse oppervlakte van een rechte cilinder: $O = 2\pi r h $
\subsubsection{Kegel} \label{kegel}
\hypertarget{kegel}{}
%\docLink[tekening]{kegel.jpg}{\includegraphics{tekening.gif}}\newline
\includegraphics{kegel.jpg}
$I=\ds\Frac{1}{3}\pi r^2 h$\newline
De zijdelingse oppervlakte van een rechte kegel: $O = \pi r \sqrt{h^2+r^2}$
\subsubsection{Bol} \label{bol}
\hypertarget{bol}{}
%\docLink[tekening]{bol.jpg}{\includegraphics{tekening.gif}}\newline
\includegraphics{bol.jpg}
$I=\ds\Frac{4}{3}\pi r^3$\newline
De oppervlakte: $O = 4\pi r^2$
\subsection{Vectoren}
Zie hoofdstuk over vectoren in Sectie~\ref{vectoren} op pagina~\pageref{vectoren}.
\subsection{Co\"ordinaten in de ruimte} \label{coordinaten_in_de_ruimte}
\hypertarget{coordinaten_in_de_ruimte}{}
\subsubsection{Richtingsvectoren-richtingsgetallen} \label{richtingsgetallen}
\hypertarget{richtingsgetallen}
\[\vec{pq} \,\mbox{is een {\bf richtingsvector} van de rechte}\, A \,\Leftrightarrow\, pq \| A\]
\vskip 0.5cm
\begin{center}
De co\"ordinaat van een richtingsvector van A noemen we een stel {\bf richtingsgetallen} van A.
\end{center}
\vskip 0.5cm
{\bf Voorbeeld:} \newline Zij $p(x_1, y_1, z_1)$ en $q(x_2, y_2, z_2)$ twee punten gelegen op de rechte A.\newline Dan is $\vec{pq}$ een richtingsvector van A en is co$(\vec{pq})=(x_2-x_1, y_2-y_1, z_2-z_1)$ een stel richtingsgetallen van $A$.
\subsubsection{Vergelijkingen van een rechte} \label{vergelijking_rechte}
\hypertarget{vergelijking_rechte}{}
\begin{itemize}
\item[*] Rechte bepaald door punt en richtingsvector:\vskip 0.5cm
Zij $p(x_1, y_1, z_1)$ een punt van de rechte en $\vec{q}(a_1, b_1, c_1)$ een richtingsvector, dan zijn de {\bf parametervergelijkingen}:
\begin{eqnarray*}
x & = & x_1 +ra_1 \\
y & = & y_1 +rb_1 \\
z & = & z_1 +rc_1 \\
\end{eqnarray*}
en de {\bf Cartesiaanse vergelijkingen }:
\[\ds\Frac{x-x_1}{a_1}=\Frac{y-y_1}{b_1}=\Frac{z-z_1}{c_1}\]\vskip 0.5cm
\item[*] Rechte bepaald door twee punten:\vskip 0.5 cm
Zij $p(x_1, y_1, z_1)$ en $q(x_2, y_2, z_2)$ twee punten van de rechte, dan zijn de {\bf parametervergelijkingen}:
\begin{eqnarray*}
x=x_1+r(x_2-x_1)\\
y=y_1+r(y_2-y_1)\\
z=z_1+r(z_2-z_1)\\
\end{eqnarray*}
en de {\bf Cartesiaanse vergelijkingen}:
\[\ds\Frac{x-x_1}{x_2-x_1}=\Frac{y-y_1}{y_2-y_1}=\Frac{z-z_1}{z_2-z_1}\]
\end{itemize}
\subsubsection{Vergelijking van een vlak} \label{vergelijking_vlak}
\hypertarget{vergelijking_vlak}{}
\begin{itemize}
\item[*] Vlak bepaald door een punt en twee onafhankelijke richtingsvectoren:\vskip 0.5 cm
Zij $p(x_1, y_1, z_1)$ een punt en $\vec{q}(a_1, b_1, c_1)$ en $\vec{r}(a_2, b_2, c_2)$ twee onafhankelijke richtingsvectoren van het vlak, dan is de {\bf parametervoorstelling}:
\begin{eqnarray*}
x=x_1+ka_1+la_2\\
y=y_1+kb_1+lb_2\\
z=z_1+kc_1+lc_2\\
\end{eqnarray*}
\item[*] {\bf Cartesiaanse vergelijking} van een vlak:
\[ux+vy+wz+t=0\] met $u, v, w, t \in \R$ en $\vec{n}\,(u, v, w)$ een normaalvector van dat vlak.
(Een normaalvector van een vlak is een vector die loodrecht staat op het vlak.)
\item[*] {\bf Determinantvergelijking} van een vlak:\vskip 0.5 cm
Zij $p(x_1, y_1, z_1)$ een punt en $q(a_1, b_1, c_1)$ en $r(a_2, b_2, c_2)$ twee onafhankelijke richtingsvectoren van het vlak, dan is de determinantvergelijking:
\begin{eqnarray*}\left|\begin{array}{cccc}
x & y & z & 1 \\
x_1 & y_1 & z_1 & 1 \\
a_1 & b_1 & c_1 & 0 \\
a_2 & b_2 & c_2 & 0 \\
\end{array} \right| & = & 0 \\
\end{eqnarray*}
Zij $p_1(x_1, y_1, z_1)$, $p_2(x_2, y_2, z_2)$ en $p_3(x_3, y_3, z_3)$ drie punten van het vlak, dan is de determinantvergelijking:
\begin{eqnarray*}\left|\begin{array}{cccc}
x & y & z & 1 \\
x_1 & y_1 & z_1 & 1 \\
x_2 & y_2 & z_2 & 1 \\
x_3 & y_3 & z_3 & 1 \\
\end{array} \right| & = & 0\\
\end{eqnarray*}
\end{itemize}
\subsubsection{Middelpuntsvergelijking van een bol} \label{vergelijking_bol}
\hypertarget{vergelijking_bol}{}
Zij $\Sigma (m, r)$ een bol met middelpunt $m(x_1, y_1, z_1)$ en straal $r$, dan is de middelpuntsvergelijking:
\[\Sigma (m, r) \leftrightarrow (x-x_1)^2 + (y-y_1)^2 + (z-z_1)^2=r^2\]
\subsubsection{Cartesiaanse vergelijkingen van omwentelingslichamen} \label{vergelijking_omwentelingslichamen}
\hypertarget{vergelijking_omwentelingslichamen}{}
\begin{itemize}
\item[*] Bol met middelpunt in de oorsprong:\vskip 0.5cm
$\Sigma \,\leftrightarrow\, x^2+y^2+z^2=r^2$\newline
%\docLink[tekening]{bolanal.jpg}{\includegraphics{tekening.gif}}
\includegraphics{bolanal.jpg}
\item[*] Cilindervlak met rotatieas de Z-as:\vskip 0.5cm
$\mathcal{C} \,\leftrightarrow\, x^2+y^2=r^2$\newline
%\docLink[tekening]{cilinderanal.jpg}{\includegraphics{tekening.gif}}
\includegraphics{cilinderanal.jpg}
\item[*] Kegelvlak met rotatieas de Z-as:\vskip 0.5cm
$\mathcal{K} \,\leftrightarrow\, x^2+y^2=(z-h)^2tg^2\alpha$\newline
%\docLink[tekening]{kegelanal.jpg}{\includegraphics{tekening.gif}}
\includegraphics{kegelanal.jpg}
\item[*] Hyperbolo\"ide:\newline
\[\mathcal{H} \,\leftrightarrow\, x^2+y^2-z^2=1\]
\item[*] Parabolo\"ide:\newline
\[\mathcal{P}\, \leftrightarrow\, x^2+y^2=4z\]
%\includegraphics{para_klein.gif}
\end{itemize}
% Dit werk is gelicenseerd onder een Creative Commons
% Naamsvermelding-GelijkDelen 3.0 Unported.
% Bezoek http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/ om een kopie te zien
% van de licentie of stuur een brief naar Creative Commons, 444 Castro Street,
% Suite 900, Mountain View, California, 94041, USA.