diff --git a/docs/assets/DCT-symmetries.svg b/docs/assets/DCT-symmetries.svg
new file mode 100644
index 0000000..7ef5cc9
--- /dev/null
+++ b/docs/assets/DCT-symmetries.svg
@@ -0,0 +1 @@
+
\ No newline at end of file
diff --git a/docs/assets/Opening.png b/docs/assets/Opening.png
new file mode 100644
index 0000000..f4e995b
Binary files /dev/null and b/docs/assets/Opening.png differ
diff --git a/docs/course/digital-image-processing.md b/docs/course/digital-image-processing.md
index 6c879c2..0ecb584 100644
--- a/docs/course/digital-image-processing.md
+++ b/docs/course/digital-image-processing.md
@@ -6,6 +6,10 @@ relevant:
# 数字图像处理
+$$
+\DeclareMathOperator\sinc{sinc}
+$$
+
## §1–§2 基础
### 成像方式
@@ -76,7 +80,7 @@ relevant:
用空间子图像掩模增强图像，邻域处理。
- 平滑：加权均值（模糊扩散），统计排序（不会模糊图像）。
-- 锐化：一阶微分（梯度模，斜坡），二阶微分（Laplacian，点、线），
+- 锐化：一阶微分（梯度模，斜坡），二阶微分（Laplacian，点、线）。
## §4 频率域
@@ -103,7 +107,7 @@ The multidimensional DFT expresses the input as a superposition of plane waves,
### 滤波
-> :material-clock-edit-outline: 2023年6月18日。
+> :material-clock-edit-outline: 2023年6月18–19日。
基本步骤如下。
@@ -113,12 +117,207 @@ The multidimensional DFT expresses the input as a superposition of plane waves,
4. 反变换。
5. 时域取结果实部，恢复频域中心化，丢弃之前补零多的部分。
+- 平滑：门（理想，振铃），Butterworth（仅高阶振铃明显），Gaussian。
+- 锐化：平滑滤波器的补，Laplacian（频谱数值数量级可能增大）。增强图像时高频提升（时域加常数）或高频加强（频域加常数），并结合直方图均衡化。
+
+### 同态滤波
+
+> :material-clock-edit-outline: 2023年6月19日。
+
+采用 illumination–reflectance 模型，希望去除照度分量的影响，压缩动态范围，增强对比度。
+
+时域取对数，改积为和，再滤波。
+
## §5 复原与重建
+> :material-clock-edit-outline: 2023年6月19日。
+
+退化模型：线性位置不变算子、加性噪声。物理上是获取图像时光的波动性、成像时运动、大气湍流等，和传输图像时的干扰。
+
+- **空间滤波抑制噪声**
+
+ - **均值**：算术、几何应对 Gaussian 或均匀噪声，几何均值不太模糊，但扩大黑物。反谐波 $g \mapsto \overline{g^{Q+1}} / \overline{g^Q}$ 应对 salt 或 pepper（不可兼）。
+
+ - **顺序统计量**：中值（重复使用会模糊）、最大（扩散亮部）、最小（扩散暗部）应对脉冲噪声。最值中点应对 Gaussian 或均匀噪声，且毫不模糊。修正α综合，可应对多种噪声混合。
+
+ - **自适应**：利用局部信息。
+ - 均值：用局部方差与噪声方差的比例（大则信号，小则噪声），在原值与局部均值间定比分点。
+ - 中值：判断中值是否为脉冲，若是，扩大窗重新计算。可处理更大概率的脉冲噪声。
+
+- **频率滤波抑制周期噪声**
+
+ - **带阻、带通**：旋转对称，$x \mapsto \abs{x} - \mu^2 / \abs{x}$，再代入低通或高通滤波器。
+
+ - **陷波**（notch）：中心对称，$x \mapsto \abs{x-\mu} \times \abs{x+\mu}$。所谓“最佳陷波”先带通选出噪声，按一定比例减去，系数由邻域内最小二乘法。
+
+- **抵消线性位置不变算子**
+
+ **估计**退化函数：强行观察（后验方法，利用图中点、线），试验点扩散函数，建立模型（大气湍流、运动模糊、光学散焦）。
+
+ !!! note "匀速运动模糊"
+
+ 设位移为 $2 \gamma (\alpha, \beta)$（$\alpha^2 + \beta^2 = 1$，$\gamma > 0$），则
+
+ $$
+ \eval{h}_{x,y} = \eval{\delta}_{\beta x - \alpha y} \eval{G_{2\gamma}}_{\alpha x + \beta y - \gamma}.
+ $$
+
+ 于是
+
+ $$
+ \begin{split}
+ \eval{H}_{u,v}
+ &= \iint \eval{h}_{x,y} e^{-j (u x + v y)} \dd{x} \dd{y} \\
+ &= 2\gamma \sinc(\gamma(\alpha u + \beta v)) \times e^{-j\gamma(\alpha u + \beta v)}.
+ \end{split}
+ $$
+
+ **复原**图像：
+
+ - **逆滤波**：信号弱的频率上，噪声影响不可控，还不如保持原貌或直接抑制。
+ - 改进有**Wiener最小均方误差**、约束最小二乘等。
+
## §6 彩色
+### 色彩模型
+
+> :material-clock-edit-outline: 2023年6月19日。
+
+面向硬件：
+
+- RGB (red, green, blue) ——加色
+- CMYK (cyan, magenta, yellow; black) ——减色
+
+面向应用：
+
+- HSI (hue, saturation, intensity) ——符合人的视觉，I可当作灰度图像处理
+- Lab ——亮度、色彩更分离
+
+### 伪彩色
+
+> :material-clock-edit-outline: 2023年6月19日。
+
+把灰度信号重映射为色彩，方便人理解。（人约40灰度，而数千色调、亮度）
+
+- 灰度分层
+- 向量的变换
+- 真彩色重映射
+
## §8 压缩
+### 冗余
+
+> :material-clock-edit-outline: 2023年6月19日。
+
+- 编码冗余——熵
+- 空间、时间相关——条件熵
+- 无关信息——心理视觉或噪声
+
+### 具体编码
+
+> :material-clock-edit-outline: 2023年6月19日。
+
+- **Huffman**
+
+ 依单个符号的概率分配变长码，低概率的分长码。
+
+- **算术**
+
+ 将累积联合概率表示为二进制小数。
+
+- **变换**
+
+ 变换集中信号，像素解相关，适应心理视觉。编码步骤为分块、正变换、量化、熵编码，解码反之。
+
+ DCT（discrete cosine transform）有多种，本课采用图中Ⅱ。
+
+
+ 
+ DCT 可采用多种对称性｜[Wikimedia Commons](https://en.wikipedia.org/wiki/File:DCT-symmetries.svg)
+
+
+ $$
+ \eval{X}_k = \sum_n \eval{x}_n \cos(\frac{\pi}{N} \qty(n + \frac12) k).
+ $$
+
+ > :material-eye-arrow-right: [Discrete cosine transform - Wikipedia](https://en.wikipedia.org/wiki/Discrete_cosine_transform#DCT-II).
+
+ Some authors (including this course) further multiply the $\eval{X}_{0}$ term by $\sqrt{1/N}$ and multiply the rest of the matrix by an overall scale factor of $\sqrt{2/N}$. This makes the DCT-II matrix orthogonal, but breaks the direct correspondence with a real-even DFT of half-shifted input.
+
## §9 形态学处理
+> :material-clock-edit-outline: 2023年6月19日。
+>
+> :material-eye-arrow-right: [Mathematical morphology - Wikipedia](https://en.wikipedia.org/wiki/Mathematical_morphology).
+
+形态学是 morphology。
+
+The erosion of the binary image A by the structuring element B is defined by $A \ominus B \coloneqq \qty{z | B_z \subset A} = \bigcap_{b \in B} A_{-b}$. Dilation $A \oplus B \coloneqq \bigcup_{b \in B} A_b$. 单独 erosion, dilution 会系统性地缩小或放大图形。
+
+
+ 
+ The opening of the dark-blue square by a disk, resulting in the light-blue square with round corners | [Wikimedia Commons](https://en.wikipedia.org/wiki/File:Opening.png)
+
+
+Opening $A \circ B \coloneqq (A \ominus B) \oplus B$, closing $A \bullet B \coloneqq (A \oplus B)\ominus B$.
+
+| 操作 | 作用 |
+| :---------------: | :----------------: |
+| erosion, opening | 清楚细物，断开窄桥 |
+| dilution, closing | 填充孔洞，连接断口 |
+
+若结构元光滑（如圆盘），则 opening, closing 也会让图形光滑，二者区别在于 opening 只对凸处有效，而 closing 只对凹处有效。（它们对偶）
+
## §10 分割
+
+### 概念
+
+> :material-clock-edit-outline: 2023年6月19日。
+
+- 目的：基本预处理。挑出感兴趣的区域，供后续分析属性。
+- 原理：灰度在区域内相似、连通，在边界处突变。
+- 手段：平滑噪声后，检测边缘，连接边缘（通常用形态学手段），划分区域。
+
+### 检测边缘
+
+> :material-clock-edit-outline: 2023年6月19日。
+
+- 一阶
+
+ - Roberts 四点差分。
+ - Prewitt 边界两排差分。
+ - Sobel 边界两排加权差分，边界比 Prewitt 略清晰。
+
+- 二阶
+
+ 会出双脉冲，可区分亮暗侧，但定界还要取零交叉点。
+
+ Laplacian 各向同性（无法检测边缘方向）
+
+ 对噪声很敏感，必须前平滑或等价地采用 Laplacian of Gaussian（Marr–Hildreth），也可用 Difference of Gaussian 近似。
+
+- Canny
+
+ > :material-eye-arrow-right: [Canny edge detector - Wikipedia](https://en.wikipedia.org/wiki/Canny_edge_detector).
+
+ 1. Gaussian 平滑。
+ 2. 检测梯度幅度、方向，其中方向可以分成几个扇区。
+ 3. Non-maximum suppression，在边缘法向上只保留梯度最强的点。（edge thinning technique）
+ 4. 用两个阈值挑出强、弱边缘点。强边缘点视作真正边缘，弱边缘点下面视情况而定。
+ 5. 按滞后阈值（hysteresis）跟踪边缘，将一些弱边缘点划入边缘。具体来说，与已知边缘相连的弱边缘点划入边缘，迭代至收敛。
+
+### Hough 变换
+
+> :material-clock-edit-outline: 2023年6月19日。
+
+这是种整体处理，可用于连接边缘。抗噪声能力较强。
+
+寻找参数空间的峰值。参数空间一点对应原空间集合，原空间一点也对应参数空间一集合。
+
+### 阈值分割
+
+> :material-clock-edit-outline: 2023年6月19日。
+
+用于划分区域。
+
+在直方图峰之间确定阈值。可利用各区域均值的算术平均迭代自动确定阈值。