S09_EstaticaParticulas.ipynb

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    "<h1 align=\"center\">Geometría Analítica y Vectorial</h1>\n",
    "<h1 align=\"center\">Estática de Partículas</h1>\n",
    "<h1 align=\"center\">2024</h1>\n",
    "<h1 align=\"center\">MEDELLÍN - COLOMBIA </h1>"
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    "*** \n",
    "|[![Outlook](https://img.shields.io/badge/Microsoft_Outlook-0078D4?style=plastic&logo=microsoft-outlook&logoColor=white)](mailto:calvarezh@udemedellin.edu.co)||[![Open In Colab](https://colab.research.google.com/assets/colab-badge.svg)](https://colab.research.google.com/github/carlosalvarezh/Geometria_Analitica_Vectorial/blob/main/S09_EstaticaParticulas.ipynb)\n",
    "|-:|:-|--:|\n",
    "|[![LinkedIn](https://img.shields.io/badge/linkedin-%230077B5.svg?style=plastic&logo=linkedin&logoColor=white)](https://www.linkedin.com/in/carlosalvarez5/)|[![@alvarezhenao](https://img.shields.io/twitter/url/https/twitter.com/alvarezhenao.svg?style=social&label=Follow%20%40alvarezhenao)](https://twitter.com/alvarezhenao)|[![@carlosalvarezh](https://img.shields.io/badge/github-%23121011.svg?style=plastic&logo=github&logoColor=white)](https://github.com/carlosalvarezh)|\n",
    "\n",
    "<table>\n",
    " <tr align=left><td><img align=left src=\"https://github.com/carlosalvarezh/Curso_CEC_EAFIT/blob/main/images/CCLogoColorPop1.gif?raw=true\" width=\"25\">\n",
    " <td>Text provided under a Creative Commons Attribution license, CC-BY. All code is made available under the FSF-approved MIT license.(c) Carlos Alberto Alvarez Henao</td>\n",
    "</table>\n",
    "\n",
    "***"
   ]
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    "## Estática de partículas"
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    "### Introducción al Concepto de Partícula"
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   "source": [
    "En el contexto de este capítulo, el término \"partícula\" se utiliza para referirse a cuerpos cuyo tamaño y forma no influyen significativamente en la solución de problemas mecánicos. Esto implica que todas las fuerzas actuantes sobre un cuerpo se consideran como si estuvieran aplicadas en un solo punto, independientemente del tamaño real del cuerpo. Por ejemplo, en un modelo mecánico de la Vía Láctea, estructuras tan grandes como el Sol y el sistema solar podrían ser representadas simplemente como una partícula.\n",
    "\n",
    "- **Descomposición y Resultante de Fuerzas:** El primer objetivo del capítulo es enseñar cómo se pueden combinar dos o más fuerzas que actúan sobre una partícula en una única fuerza resultante que tiene el mismo efecto que las fuerzas originales. Esta técnica es fundamental para simplificar el análisis de sistemas físicos complejos y para entender cómo las fuerzas combinadas afectan a un objeto.\n",
    "\n",
    "<p float=\"center\">\n",
    "  <img src=\"https://github.com/carlosalvarezh/Geometria_Analitica_Vectorial/blob/main/Images/Mecanica04_ResultanteFuerza.PNG?raw=true\" width=\"250\" />\n",
    "</p>\n",
    "\n",
    "- **Equilibrio de Fuerzas en un Plano:** La primera parte del capítulo se concentra en el estudio de fuerzas que actúan en un mismo plano, lo que es común en muchos problemas prácticos de la mecánica. Un ejemplo típico sería una caja suspendida por dos cadenas, donde las fuerzas en cada cadena y la gravedad interactúan para mantener la caja en equilibrio.\n",
    "\n",
    "$$R = \\sum F=0, \\sum F_x=0, \\sum F_y=0$$\n",
    "\n",
    "<p>&nbsp;</p>\n",
    "\n",
    "- **Fuerzas en el Espacio Tridimensional:** Posteriormente, el capítulo avanza hacia una situación más compleja analizando las fuerzas en un espacio tridimensional. Este análisis es crucial para aplicaciones reales donde las fuerzas no se limitan a un solo plano, como en el caso de estructuras que deben soportar cargas distribuidas de manera irregular o en diferentes direcciones.\n",
    "\n",
    "$$R = \\sum F=0, \\sum F_x=0, \\sum F_y=0, \\sum F_z=0$$\n"
   ]
  },
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   "source": [
    "### Tipos de Fuerzas"
   ]
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   "source": [
    "En la estática de partículas, es esencial entender los diferentes tipos de fuerzas que pueden actuar sobre un objeto. Estas fuerzas se clasifican según su origen y modo de aplicación. A continuación se presentan las definiciones y formulaciones matemáticas de las fuerzas más comunes, junto con algunas adicionales que son relevantes en el estudio de la mecánica.\n",
    "\n",
    "- ***Peso o Fuerza Gravitatoria:*** El peso es la fuerza con la que la gravedad atrae a un objeto hacia el centro de la Tierra. La magnitud de esta fuerza es directamente proporcional a la masa del objeto y la aceleración debida a la gravedad $ g $.\n",
    "\n",
    "<p float=\"center\">\n",
    "  <img src=\"https://github.com/carlosalvarezh/Geometria_Analitica_Vectorial/blob/main/Images/Mecanica05_Peso.png?raw=true\" width=\"250\" />\n",
    "</p>\n",
    "\n",
    "$$W = mg$$\n",
    "Donde:\n",
    "  - $ W $ es el peso del objeto (en Newtons, N).\n",
    "  - $ m $ es la masa del objeto (en kilogramos, kg).\n",
    "  - $ g $ es la aceleración debida a la gravedad (aproximadamente $ 9.81 \\, \\text{m/s}^2 $ en la superficie de la Tierra).\n",
    "<p>&nbsp;</p>\n",
    "  \n",
    "- ***Fuerza Normal:*** La fuerza normal es una fuerza de contacto que una superficie ejerce sobre un objeto que está en contacto con ella. Esta fuerza actúa perpendicularmente a la superficie y evita que el objeto penetre en ella.\n",
    "\n",
    "<p float=\"center\">\n",
    "  <img src=\"https://github.com/carlosalvarezh/Geometria_Analitica_Vectorial/blob/main/Images/Mecanica06_FuerzaNormal.gif?raw=true\" width=\"250\" />\n",
    "</p>\n",
    "\n",
    "$$N = F_{\\text{normal}}$$\n",
    "Donde:\n",
    "  - $ N $ es la fuerza normal (en Newtons, N).\n",
    "<p>&nbsp;</p>\n",
    "\n",
    "- ***Fuerzas de Rozamiento:*** El rozamiento es una fuerza que se opone al movimiento relativo entre dos superficies en contacto. Existen dos tipos principales de rozamiento: estático y cinético.\n",
    "\n",
    "<p float=\"center\">\n",
    "  <img src=\"https://github.com/carlosalvarezh/Geometria_Analitica_Vectorial/blob/main/Images/Mecanica07_FuerzaRozamiento.gif?raw=true\" width=\"250\" />\n",
    "</p>\n",
    "\n",
    "  - **Fuerza de Rozamiento Estático ($ F_s $):** Actúa cuando el objeto está en reposo.\n",
    "  $$\n",
    "  F_s \\leq \\mu_s N\n",
    "  $$\n",
    "  Donde:\n",
    "    - $ \\mu_s $ es el coeficiente de rozamiento estático.\n",
    "    - $ N $ es la fuerza normal.\n",
    "\n",
    "  - **Fuerza de Rozamiento Cinético ($ F_k $):** Actúa cuando el objeto está en movimiento.\n",
    "  $$\n",
    "  F_k = \\mu_k N\n",
    "  $$\n",
    "  Donde:\n",
    "    - $ \\mu_k $ es el coeficiente de rozamiento cinético.\n",
    "<p>&nbsp;</p>\n",
    "\n",
    "- ***Fuerza de Tensión:*** La tensión es una fuerza que se transmite a través de un cable, cuerda o cualquier objeto elástico cuando se estira. Esta fuerza actúa a lo largo del objeto y es igual en magnitud en ambos extremos.\n",
    "\n",
    "<p float=\"center\">\n",
    "  <img src=\"https://github.com/carlosalvarezh/Geometria_Analitica_Vectorial/blob/main/Images/Mecanica08_Tension.PNG?raw=true\" width=\"350\" />\n",
    "</p>\n",
    "\n",
    "$$\n",
    "T = F_{\\text{tensión}}\n",
    "$$\n",
    "Donde:\n",
    "  - $ T $ es la fuerza de tensión (en Newtons, N).\n",
    "<p>&nbsp;</p>\n",
    "\n",
    "- ***Fuerza Elástica:*** La fuerza elástica es la fuerza ejercida por un resorte u otro objeto elástico cuando se deforma. Esta fuerza sigue la ley de Hooke, que establece que la fuerza es proporcional a la deformación del objeto.\n",
    "\n",
    "<p float=\"center\">\n",
    "  <img src=\"https://github.com/carlosalvarezh/Geometria_Analitica_Vectorial/blob/main/Images/Mecanica09_Elastica.jpg?raw=true\" width=\"250\" />\n",
    "</p>\n",
    "\n",
    "$$F = -k x$$\n",
    "Donde:\n",
    "  - $ F $ es la fuerza elástica (en Newtons, N).\n",
    "  - $ k $ es la constante del resorte (en Newtons por metro, N/m).\n",
    "  - $ x $ es la deformación del resorte desde su posición de equilibrio (en metros, m).\n",
    "<p>&nbsp;</p>\n",
    "\n",
    "- ***Fuerza de Empuje:*** El empuje es una fuerza aplicada a un objeto para acelerarlo, generalmente relacionada con la tercera ley de Newton. Se manifiesta cuando una masa es acelerada, como en el caso de motores y propulsores.\n",
    "\n",
    "<p float=\"center\">\n",
    "  <img src=\"https://github.com/carlosalvarezh/Geometria_Analitica_Vectorial/blob/main/Images/Mecanica10_Empuje.jpeg?raw=true\" width=\"250\" />\n",
    "</p>\n",
    "\n",
    "$$F_{\\text{empuje}} = m a$$\n",
    "Donde:\n",
    "  - $ F_{\\text{empuje}} $ es la fuerza de empuje (en Newtons, N).\n",
    "  - $ m $ es la masa del objeto (en kilogramos, kg).\n",
    "  - $ a $ es la aceleración (en metros por segundo cuadrado, m/s²).\n",
    "<p>&nbsp;</p>\n",
    "\n",
    "- ***Fuerza Centrífuga:*** La fuerza centrífuga es una fuerza aparente que actúa sobre un objeto en un sistema de referencia en rotación, empujando al objeto hacia afuera del centro de rotación. Es proporcional a la masa del objeto y al cuadrado de su velocidad angular.\n",
    "\n",
    "<p float=\"center\">\n",
    "  <img src=\"https://github.com/carlosalvarezh/Geometria_Analitica_Vectorial/blob/main/Images/Mecanica11_Centrifuga.jpg?raw=true\" width=\"200\" />\n",
    "</p>\n",
    "\n",
    "$$F_c = m \\omega^2 r$$\n",
    "Donde:\n",
    "  - $ F_c $ es la fuerza centrífuga (en Newtons, N).\n",
    "  - $ m $ es la masa del objeto (en kilogramos, kg).\n",
    "  - $ \\omega $ es la velocidad angular (en radianes por segundo, rad/s).\n",
    "  - $ r $ es el radio de la trayectoria circular (en metros, m).\n",
    "<p>&nbsp;</p>\n",
    "\n",
    "- ***Fuerza Electroestática:*** La fuerza electrostática es la fuerza entre dos cargas eléctricas. La magnitud de esta fuerza está dada por la ley de Coulomb.\n",
    "\n",
    "<p float=\"center\">\n",
    "  <img src=\"https://github.com/carlosalvarezh/Geometria_Analitica_Vectorial/blob/main/Images/Mecanica12_Electrostatica.png?raw=true\" width=\"150\" />\n",
    "</p>\n",
    "\n",
    "$$F_e = k_e \\frac{|q_1 q_2|}{r^2}$$\n",
    "Donde:\n",
    "  - $ F_e $ es la fuerza electrostática (en Newtons, N).\n",
    "  - $ k_e $ es la constante de Coulomb ($8.9875 \\times 10^9 \\, \\text{N} \\cdot \\text{m}^2/\\text{C}^2 $).\n",
    "  - $ q_1 $ y $ q_2 $ son las magnitudes de las cargas (en Coulombs, C).\n",
    "  - $ r $ es la distancia entre las cargas (en metros, m)."
   ]
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   "source": [
    "### Equilibrio de una partícula"
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   "source": [
    "#### Definición de Equilibrio"
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   "source": [
    "Una partícula está en equilibrio cuando la resultante de todas las fuerzas que actúan sobre ella es cero. \n",
    "\n",
    "Esto significa que el efecto neto de las fuerzas es nulo y la partícula no experimenta aceleración. Matemáticamente, esto se expresa como:\n",
    "$$\n",
    "\\mathbf{R} = \\sum \\mathbf{F} = 0\n",
    "$$\n",
    "Donde:\n",
    "- $\\mathbf{R}$ es la resultante de todas las fuerzas.\n",
    "- $\\sum \\mathbf{F}$ es la suma vectorial de todas las fuerzas que actúan sobre la partícula.\n"
   ]
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    "#### Condición de Equilibrio con Dos Fuerzas"
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   "source": [
    "Una partícula sometida a dos fuerzas estará en equilibrio si ambas fuerzas tienen la misma magnitud, la misma línea de acción, pero sentidos opuestos. En este caso, la resultante de las dos fuerzas es cero.\n",
    "\n",
    "<p float=\"center\">\n",
    "  <img src=\"https://github.com/carlosalvarezh/Geometria_Analitica_Vectorial/blob/main/Images/Mecanica16_Equilibrio.PNG?raw=true\" width=\"100\" />\n",
    "</p>"
   ]
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   "source": [
    "#### Equilibrio con Múltiples Fuerzas"
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   "source": [
    "Para una partícula en equilibrio bajo la acción de varias fuerzas, como se muestra en la figura, la resultante de las fuerzas se determina por la regla del polígono. Si al disponer las fuerzas punta a cola, el polígono formado es cerrado, la partícula está en equilibrio.\n",
    "\n",
    "<p float=\"center\">\n",
    "  <img src=\"https://github.com/carlosalvarezh/Geometria_Analitica_Vectorial/blob/main/Images/Mecanica16a_Equilibrio.PNG?raw=true\" width=\"200\" />\n",
    "</p>"
   ]
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    "#### Representación Gráfica del Equilibrio"
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   "source": [
    "El polígono cerrado de fuerzas proporciona una representación gráfica del equilibrio. Cuando las fuerzas se acomodan punta a cola y forman un polígono cerrado, la partícula está en equilibrio.\n",
    "\n",
    "<p float=\"center\">\n",
    "  <img src=\"https://github.com/carlosalvarezh/Geometria_Analitica_Vectorial/blob/main/Images/Mecanica16b_Equilibrio.PNG?raw=true\" width=\"200\" />\n",
    "</p>"
   ]
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   "source": [
    "#### Representación Algebraica del Equilibrio"
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   "id": "c663d69a",
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   "source": [
    "Para expresar algebraicamente las condiciones de equilibrio de una partícula, se descomponen las fuerzas en sus componentes rectangulares:\n",
    "$$\n",
    "\\sum \\left( F_x \\mathbf{i} + F_y \\mathbf{j} \\right) = 0 \\quad \\text{o} \\quad \\left( \\sum F_x \\right) \\mathbf{i} + \\left( \\sum F_y \\right) \\mathbf{j} = 0\n",
    "$$\n",
    "Las condiciones necesarias y suficientes para el equilibrio de una partícula en términos escalares son:\n",
    "$$\n",
    "\\sum F_x = 0 \\quad \\text{y} \\quad \\sum F_y = 0\n",
    "$$"
   ]
  },
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   "source": [
    "#### Ejemplo de Equilibrio de una Partícula"
   ]
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   "source": [
    "Consideremos la partícula mostrada en la figura anterior con cuatro fuerzas actuando sobre ella. Las condiciones de equilibrio se verifican descomponiendo las fuerzas en sus componentes $x$ e $y$ y sumando cada componente por separado:\n",
    "$$\n",
    "\\begin{aligned}\n",
    "\\sum F_x & = 300 \\, \\text{lb} - (200 \\, \\text{lb}) \\sin 30^\\circ - (400 \\, \\text{lb}) \\sin 30^\\circ \\\\\n",
    "& = 300 \\, \\text{lb} - 100 \\, \\text{lb} - 200 \\, \\text{lb} = 0 \\\\\n",
    "\\sum F_y & = -173.2 \\, \\text{lb} - (200 \\, \\text{lb}) \\cos 30^\\circ + (400 \\, \\text{lb}) \\cos 30^\\circ \\\\\n",
    "& = -173.2 \\, \\text{lb} - 173.2 \\, \\text{lb} + 346.4 \\, \\text{lb} = 0\n",
    "\\end{aligned}\n",
    "$$\n"
   ]
  },
  {
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   "source": [
    "### Diagrama de cuerpo libre"
   ]
  },
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   "id": "c83012be",
   "metadata": {},
   "source": [
    "Un diagrama espacial es un esquema que muestra las condiciones físicas reales de un problema de ingeniería mecánica. Este diagrama es fundamental para entender el contexto y los elementos involucrados en el problema.\n",
    "\n",
    "Un **diagrama de cuerpo libre (DCL)** es una representación gráfica que muestra una partícula o un cuerpo aislado (libre de su entorno) y todas las fuerzas que actúan sobre él. Este enfoque simplifica el análisis y permite aplicar los métodos estudiados para determinar la resultante de varias fuerzas actuando sobre la partícula.\n",
    "\n",
    "Para aplicar las ecuaciones de equilibrio, debemos tomar en cuenta todas las fuerzas que actúan sobre una partícula; por tal motivo, no se debe exagerar la importancia de trazar primero un diagrama de cuerpo libre. Para construir un diagrama de cuerpo libre, se requiere llevar a cabo los siguientes tres pasos.\n",
    "\n",
    "- ***Trace un perfil delineado:*** Imagine que la partícula está aislada o \"liberada\" de su entorno, lo cual requiere eliminar todos los soportes y dibujar la forma bosquejada de la partícula.\n",
    "<p>&nbsp;</p>\n",
    "\n",
    "- ***Muestre todas las fuerzas:*** Indique sobre este bosquejo todas las fuerzas que actúan sobre la partícula. Aquéllas pueden ser fuerzas activas, que tienden a poner la partícula en movimiento; o fuerzas reactivas, que son el resultado de las restricciones o soportes que tienden a evitar el movimiento. Para tomar en cuenta todas esas fuerzas, puede resultar útil trazar los límites de la partícula y señalar con cuidado cada fuerza que actúa sobre ella.\n",
    "<p>&nbsp;</p>\n",
    "\n",
    "- ***Identifique cada una de las fuerzas:*** Las fuerzas que son conocidas deberían marcarse con sus propias magnitudes y direcciones. Para representar las magnitudes y las direcciones de las fuerzas desconocidas se usan letras."
   ]
  },
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   "id": "de38de70",
   "metadata": {},
   "source": [
    "- ***Ejemplo 01:*** Considere un embalaje de madera de $75 \\, \\text{kg}$ que se eleva hacia una plataforma de un camión, sostenido por un cable vertical unido en $A$ a dos cuerdas que pasan sobre poleas fijas en $B$ y $C$. El objetivo es determinar la tensión en las cuerdas $AB$ y $AC$.\n",
    "\n",
    "<p float=\"center\">\n",
    "  <img src=\"https://github.com/carlosalvarezh/Geometria_Analitica_Vectorial/blob/main/Images/Mecanica13_DiagramaCuerpoLibre.PNG?raw=true\" width=\"250\" />\n",
    "</p>\n",
    "\n",
    "  1. **Diagrama Espacial (Figura a):** Muestra el embalaje, el cable y las cuerdas en su disposición física.\n",
    "<p>&nbsp;</p>\n",
    " \n",
    "  2. **Diagrama de Cuerpo Libre (Figura b):** Se elige el punto $A$ como el cuerpo libre. Las fuerzas actuantes en $A$ son:\n",
    "     - El peso del embalaje, $W$:\n",
    "     $$W = mg = (75 \\, \\text{kg})(9.81 \\, \\text{m/s}^2) = 736 \\, \\text{N}$$\n",
    "     - Las tensiones en las cuerdas $AB$ y $AC$, representadas como $\\mathbf{T}_{AB}$ y $\\mathbf{T}_{AC}$, respectivamente.\n",
    "<p>&nbsp;</p>\n",
    " \n",
    "  3. **Triángulo de Fuerzas (Figura 2.24c):** Muestra que, para el equilibrio, las tres fuerzas deben formar un triángulo cerrado:\n",
    "   $$\\frac{T_{AB}}{\\sin 60^\\circ} = \\frac{T_{AC}}{\\sin 40^\\circ} = \\frac{736 \\, \\text{N}}{\\sin 80^\\circ}$$\n",
    "   Resolviendo las ecuaciones:\n",
    "   $$T_{AB} = 647 \\, \\text{N}, \\quad T_{AC} = 480 \\, \\text{N}$$\n"
   ]
  },
  {
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   "id": "b8f35ac2",
   "metadata": {},
   "source": [
    "- ***Ejemplo02:*** En la operación de descarga de un barco, un cable soporta un automóvil de $3500 \\mathrm{lb}$. Un operario ata una cuerda al cable en $A$ y jala de ella para centrar el automóvil en la posición deseada sobre el muelle. En la ilustración, el automóvil está estacionario, el ángulo entre el cable y la vertical es de $2^{\\circ}$, mientras que el ángulo entre la cuerda y la horizontal es de $30^{\\circ}$. ¿Cuáles son las tensiones en la cuerda y en el cable?\n",
    "\n",
    "<p float=\"center\">\n",
    "  <img src=\"https://github.com/carlosalvarezh/Geometria_Analitica_Vectorial/blob/main/Images/Mecanica14_Ejemplo02.PNG?raw=true\" width=\"250\" />\n",
    "</p>\n",
    "\n",
    "  - ***Estrategia:*** Este es un problema de equilibrio bajo tres fuerzas coplanares. Se puede considerar el punto $A$ como una partícula y resolver el problema mediante el triángulo de fuerzas.\n",
    "<p>&nbsp;</p>\n",
    "\n",
    "  - ***Modelar y analizar*** \n",
    "    - ***Diagrama de cuerpo libre:*** Se escoge el punto $A$ como la partícula y se dibuja el diagrama completo de cuerpo libre (figura 1). $T_{A B}$ es la tensión en el cable $A B$ y $T_{A C}$ es la tensión de la cuerda.\n",
    "    - ***Condición de equilibrio:*** Como sólo actúan tres fuerzas sobre el punto $A$, se dibuja un triángulo de fuerzas para expresar que éste se encuentra en equilibrio (figura 2). Con la ley de los senos se escribe\n",
    "    \n",
    "    $$\\frac{T_{AB}}{\\sin(120 ^\\circ{})}=\\frac{T_{AC}}{\\sin(2 ^\\circ{})}=\\frac{3500 \\text{ lb}}{\\sin(58 ^\\circ{})}$$\n",
    "    \n",
    "    Desarrollando los cálculos, se obtiene: $T_{AB}=3570 \\text{ lb}$, $T_{AC}=144 \\text{ lb}$"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "id": "c295606f",
   "metadata": {},
   "source": [
    "- ***Ejemplo 03:*** Como parte del diseño de un nuevo velero, se desea determinar la fuerza de arrastre que puede esperarse a cierta velocidad. Para hacerlo, se coloca un modelo del casco propuesto en un canal de prueba y se usan tres cables para mantener su proa en el eje del centro del canal. Las lecturas de los dinamómetros indican que para una velocidad dada la tensión es de $40 \\text{ lb}$ en el cable $AB$ y de $60 \\text{ lb}$ en el cable $AE$. Determine la fuerza de arrastre ejercida sobre el casco y la tensión en el cable $AC$.\n",
    "\n",
    "<p float=\"center\">\n",
    "  <img src=\"https://github.com/carlosalvarezh/Geometria_Analitica_Vectorial/blob/main/Images/Mecanica15_Ejemplo03.PNG?raw=true\" width=\"250\" />\n",
    "</p>\n",
    "\n",
    "***Solución:***\n",
    "\n",
    "Todos los cables se conectan en el punto $A$, de manera que se puede considerar como una partícula en equilibrio. Debido a que cuatro fuerzas actúan en $A$ (tensiones en los tres cables y la fuerza de arrastre), se deben usar las condiciones de equilibrio y la adición de fuerzas de las componentes para hallar las fuerzas desconocidas.\n",
    "\n",
    "- ***Determinación de los ángulos:*** En primer lugar se determinan los ángulos $\\alpha$ y $\\beta$ definiendo la dirección de los cables $A B$ y $A C$ :\n",
    "$$\n",
    "\\begin{aligned}\n",
    "\\tan \\alpha & =\\frac{7 \\text { pies }}{4 \\text { pies }}=1.75 & \\tan \\beta & =\\frac{1.5 \\text { pies }}{4 \\text { pies }}=0.375 \\\\\n",
    "\\alpha & =60.26^{\\circ} & \\beta & =20.56^{\\circ}\n",
    "\\end{aligned}\n",
    "$$\n",
    "$$\n",
    "\\begin{aligned}\n",
    "\\tan \\beta & =\\frac{1.5 \\text { pies }}{4 \\text { pies }}=0.375 \\\\\n",
    "\\beta & =20.56^{\\circ}\n",
    "\\end{aligned}\n",
    "$$\n",
    "\n",
    "- ***Diagrama de cuerpo libre:*** Se escoge el punto $A$ como cuerpo libre, se traza el diagrama del cuerpo libre (figura 1) que incluye las fuerzas ejercidas por los tres cables sobre el casco, así como la fuerza de arrastre $\\mathbf{F}_D$ ejercida por el flujo.\n",
    "\n",
    "<p float=\"center\">\n",
    "  <img src=\"https://github.com/carlosalvarezh/Geometria_Analitica_Vectorial/blob/main/Images/Mecanica15a_Ejemplo03.PNG?raw=true\" width=\"200\" />\n",
    "</p>\n",
    "\n",
    "- ***Condición de equilibrio:*** Debido a que el punto $A$ está en equilibrio, la resultante de todas las fuerzas es cero:\n",
    "$$\n",
    "\\mathbf{R}=\\mathbf{T}_{A B}+\\mathbf{T}_{A C}+\\mathbf{T}_{A E}+\\mathbf{F}_D=0\n",
    "$$\n",
    "\n",
    "Como aparecen más de tres fuerzas, se descomponen las fuerzas en sus componentes $x$ y $y$ (figura 2 ):\n",
    "\n",
    "<p float=\"center\">\n",
    "  <img src=\"https://github.com/carlosalvarezh/Geometria_Analitica_Vectorial/blob/main/Images/Mecanica15b_Ejemplo03.PNG?raw=true\" width=\"200\" />\n",
    "</p>\n",
    "\n",
    "\n",
    "$$\n",
    "\\begin{aligned}\n",
    "\\mathbf{T}_{A B} & =-(40 \\mathrm{lb}) \\operatorname{sen} 60.26^{\\circ} \\mathbf{i}+(40 \\mathrm{lb}) \\cos 60.26^{\\circ} \\mathbf{j} \\\\\n",
    "& =-(34.73 \\mathrm{lb}) \\mathbf{i}+(19.84 \\mathrm{lb}) \\mathbf{j} \\\\\n",
    "\\mathbf{T}_{A C} & =T_{A C} \\operatorname{sen} 20.56^{\\circ} \\mathbf{i}+T_{A C} \\cos 20.56^{\\circ} \\mathbf{j} \\\\\n",
    "& =0.3512 T_{A C} \\mathbf{i}+0.9363 T_{A C} \\mathbf{j} \\\\\n",
    "\\mathbf{T}_{A E} & =-(60 \\mathrm{lb}) \\mathbf{j} \\\\\n",
    "\\mathbf{F}_D & =F_D \\mathbf{i}\n",
    "\\end{aligned}\n",
    "$$\n",
    "\n",
    "Se sustituyen las expresiones obtenidas en la ecuación (1) y se factorizan los vectores unitarios $\\mathbf{i}$ y $\\mathbf{j}$, por lo que se obtiene\n",
    "$$\n",
    "\\left(-34.73 \\mathrm{lb}+0.3512 T_{A C}+F_D\\right) \\mathbf{i}+\\left(19.84 \\mathrm{lb}+0.9363 T_{A C}-60 \\mathrm{lb}\\right) \\mathbf{j}=0\n",
    "$$\n",
    "\n",
    "Esta ecuación se cumplirá si y sólo si los coeficientes de $\\mathbf{i}$ y $\\mathbf{j}$ son iguales a cero. Así se obtienen las siguientes dos ecuaciones de equilibrio, que expresan, respectivamente, que la suma de las componentes $x$ y la suma de las componentes $y$ de las fuerzas dadas debe ser cero.\n",
    "$$\n",
    "\\begin{array}{ll}\n",
    "\\Sigma F_x=0: & -34.73 \\mathrm{lb}+0.3512 T_{A C}+F_D=0 \\\\\n",
    "\\Sigma F_y=0: & 19.84 \\mathrm{lb}+0.9363 T_{A C}-60 \\mathrm{lb}=0\n",
    "\\end{array}\n",
    "$$\n",
    "\n",
    "De la ecuación (3) se encuentra\n",
    "$$\n",
    "\\begin{aligned}\n",
    "& T_{A C}=+42.9 \\mathrm{lb} \\\\\n",
    "& F_D=+19.66 \\mathrm{lb}\n",
    "\\end{aligned}\n",
    "$$\n",
    "y sustituyendo este valor en la ecuación (2) se obtiene\n",
    "\n",
    "Al dibujar el diagrama de cuerpo libre se supuso que había un sentido para cada fuerza desconocida. El signo positivo en la respuesta señala que el sentido supuesto era el correcto. Puede dibujarse el polígono de fuerzas completo (figura 3) y así comprobar los resultados.\n",
    "\n",
    "<p float=\"center\">\n",
    "  <img src=\"https://github.com/carlosalvarezh/Geometria_Analitica_Vectorial/blob/main/Images/Mecanica15c_Ejemplo03.PNG?raw=true\" width=\"200\" />\n",
    "</p>"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "id": "cf3c45ac",
   "metadata": {},
   "source": [
    "- ***Ejemplo 04:*** Determine la longitud requerida para el cable de corriente alterna de la figura, de manera que la lámpara de $8 \\text{ kg}$ esté suspendida en la posición que se muestra. La longitud no deformada del resorte $AB$ es $l'_{AB}= 0.4 \\text{ m}$, y el resorte tiene una rigidez de $k_{AB} = 300 \\text{ N/m}$.\n",
    "\n",
    "<p float=\"center\">\n",
    "  <img src=\"https://github.com/carlosalvarezh/Geometria_Analitica_Vectorial/blob/main/Images/Mecanica17_Ejemplo04.PNG?raw=true\" width=\"200\" />\n",
    "</p>\n",
    "\n",
    "Si se conoce la fuerza presente en el resorte $A B$, el alargamiento del resorte se puede encontrar mediante $F=k s$. A partir de la geometría del problema, es posible calcular la longitud requerida de $A C$.\n",
    "\n",
    "\n",
    "- ***Diagrama de cuerpo libre*** \n",
    "\n",
    "<p float=\"center\">\n",
    "  <img src=\"https://github.com/carlosalvarezh/Geometria_Analitica_Vectorial/blob/main/Images/Mecanica17a_Ejemplo04.PNG?raw=true\" width=\"200\" />\n",
    "</p>\n",
    "\n",
    "La lámpara tiene un peso $W=$ $8(9.81)=78.5 \\mathrm{~N}$ y entonces el diagrama de cuerpo libre del anillo en $A$ se muestra en la figura $3-8 b$.\n",
    "\n",
    "Ecuaciones de equilibrio. Si utilizamos $\\operatorname{los}$ ejes $x, y$,\n",
    "$$\n",
    "\\begin{array}{ll}\n",
    "\\xrightarrow{+} \\Sigma F_x=0 ; & T_{A B}-T_{A C} \\cos 30^{\\circ}=0 \\\\\n",
    "+\\uparrow \\Sigma F_y=0 ; & T_{A C} \\operatorname{sen} 30^{\\circ}-78.5 \\mathrm{~N}=0\n",
    "\\end{array}\n",
    "$$\n",
    "$\\mathrm{Al}$ resolver estas ecuaciones obtenemos\n",
    "$$\n",
    "\\begin{aligned}\n",
    "& T_{A C}=157.0 \\mathrm{~N} \\\\\n",
    "& T_{A B}=135.9 \\mathrm{~N}\n",
    "\\end{aligned}\n",
    "$$\n",
    "\n",
    "Entonces, el estiramiento del resorte $A B$ es\n",
    "$$\n",
    "T_{A B}=k_{A B} s_{A B}\n",
    "$$\n",
    "$$\n",
    "\\begin{aligned}\n",
    "135.9 \\mathrm{~N} & =300 \\mathrm{~N} / \\mathrm{m}\\left(s_{A B}\\right) \\\\\n",
    "s_{A B} & =0.453 \\mathrm{~m}\n",
    "\\end{aligned}\n",
    "$$\n",
    "y la longitud alargada es, por tanto\n",
    "$$\n",
    "\\begin{aligned}\n",
    "& l_{A B}=l_{A B}^{\\prime}+s_{A B} \\\\\n",
    "& l_{A B}=0.4 \\mathrm{~m}+0.453 \\mathrm{~m}=0.853 \\mathrm{~m}\n",
    "\\end{aligned}\n",
    "$$\n",
    "\n",
    "La distancia horizontal de $C$ a $B$, figura 3-8a, requiere que\n",
    "$$\n",
    "\\begin{aligned}\n",
    "2 \\mathrm{~m} & =l_{A C} \\cos 30^{\\circ}+0.853 \\mathrm{~m} \\\\\n",
    "l_{A C} & =1.32 \\mathrm{~m}\n",
    "\\end{aligned}\n",
    "$$\n",
    "\n",
    "\n"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "id": "d6d4f5e3",
   "metadata": {},
   "source": [
    "- ***Ejemplo 05:*** Un lanchón es arrastrado por dos remolcadores. Si la resultante de las fuerzas ejercidas por los remolcadores es una fuerza de $5000 \\text{ lb}$ dirigida a lo largo del eje del lanchón, determine: $a)$ la tensión en cada una de las cuerdas, sabiendo que $\\alpha =45^\\circ$, y $b)$ el valor de $\\alpha$ tal que la tensión en la cuerda 2 sea mínima.\n",
    "\n",
    "<p float=\"center\">\n",
    "  <img src=\"https://github.com/carlosalvarezh/Geometria_Analitica_Vectorial/blob/main/Images/Mecanica18_Ejemplo05.PNG?raw=true\" width=\"200\" />\n",
    "</p>\n",
    "\n",
    "Este es un problema de dos fuerzas coplanares. La primera parte se puede resolver en forma gráfica o analítica. En la segunda parte, la solución gráfica muestra la dirección necesaria de la cuerda 2 y se puede usar la solución analítica para completar la solución.\n",
    "\n",
    "Se puede usar la regla del paralelogramo o la regla del triángulo para resolver la parte $a$ ). Para la parte $b$ ) se usa una variante de la regla del triángulo.\n",
    "\n",
    "***a) Tensión para $\\alpha=45^{\\circ}$***\n",
    "\n",
    "- ***Solución gráfica:*** Se emplea la ley del paralelogramo; se sabe que la diagonal (resultante) es igual a $5000 \\mathrm{lb}$ y que está dirigida hacia la derecha; los lados se dibujan paralelos a las cuerdas (figura 1). \n",
    "\n",
    "<p float=\"center\">\n",
    "  <img src=\"https://github.com/carlosalvarezh/Geometria_Analitica_Vectorial/blob/main/Images/Mecanica18a_Ejemplo05.PNG?raw=true\" width=\"200\" />\n",
    "</p>\n",
    "\n",
    "Si el dibujo se hace a escala puede medirse\n",
    "\n",
    "$$T_1=3700 \\mathrm{lb} \\quad T_2=2600 \\mathrm{lb}$$\n",
    "\n",
    "- ***Solución trigonométrica:*** Puede usarse la regla del triángulo. Observe que el triángulo mostrado en la figura 2 representa la mitad del paralelogramo de la figura anterior. \n",
    "\n",
    "<p float=\"center\">\n",
    "  <img src=\"https://github.com/carlosalvarezh/Geometria_Analitica_Vectorial/blob/main/Images/Mecanica18b_Ejemplo05.PNG?raw=true\" width=\"200\" />\n",
    "</p>\n",
    "\n",
    "Si se emplea la ley de los senos, se escribe\n",
    "$$\\frac{T_1}{\\operatorname{sen} 45^{\\circ}}=\\frac{T_2}{\\operatorname{sen} 30^{\\circ}}=\\frac{5000 \\mathrm{lb}}{\\operatorname{sen} 105^{\\circ}}$$\n",
    "\n",
    "Con la calculadora, primero se calcula y se almacena el valor del último cociente. Al multiplicar este valor sucesivamente por sen $45^{\\circ}$ y sen $30^{\\circ}$ se obtiene\n",
    "$$T_1=3660 \\mathrm{lb} \\quad T_2=2590 \\mathrm{lb}$$\n",
    "\n",
    "b) Valor de $\\alpha$ para $T_2$ mínima. Para determinar el valor de $\\alpha$ tal que la tensión de la cuerda 2 sea mínima se usa otra vez la regla del triángulo. En la figura siguiente, la línea 1-1' es la dirección de $\\mathbf{T}_1$. \n",
    "\n",
    "<p float=\"center\">\n",
    "  <img src=\"https://github.com/carlosalvarezh/Geometria_Analitica_Vectorial/blob/main/Images/Mecanica18c_Ejemplo05.PNG?raw=true\" width=\"200\" />\n",
    "</p>\n",
    "\n",
    "Las líneas 2-2' indican varias direcciones posibles de $\\mathbf{T}_2$. Observe que el mínimo valor de $T_2$ ocurre cuando $\\mathbf{T}_1$ y $\\mathbf{T}_2$ son perpendiculares.\n",
    "\n",
    "<p float=\"center\">\n",
    "  <img src=\"https://github.com/carlosalvarezh/Geometria_Analitica_Vectorial/blob/main/Images/Mecanica18d_Ejemplo05.PNG?raw=true\" width=\"200\" />\n",
    "</p>\n",
    "\n",
    "El valor mínimo de $T_2$ es\n",
    "$$\n",
    "T_2=(5000 \\mathrm{lb}) \\operatorname{sen} 30^{\\circ}=2500 \\mathrm{lb}\n",
    "$$\n",
    "\n",
    "Los valores correspondientes de $T_1$ y $\\alpha$ son\n",
    "$$\n",
    "\\begin{aligned}\n",
    "T_1 & =(5000 \\mathrm{lb}) \\cos 30^{\\circ}=4330 \\mathrm{lb} & \\\\\n",
    "\\alpha & =90^{\\circ}-30^{\\circ} & \\alpha=60^{\\circ}\n",
    "\\end{aligned}\n",
    "$$\n",
    "\n",
    "La parte a) es una aplicación directa de la descomposición de vectores en sus componentes. La clave de la parte $b$ ) es reconocer que el valor mínimo de $T_2$ ocurre cuando $\\mathbf{T}_1$ y $\\mathbf{T}_2$ son perpendiculares."
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "id": "ffdd1859",
   "metadata": {},
   "source": [
    "- ***Ejemplo 06:*** \n",
    "\n",
    "<p float=\"center\">\n",
    "  <img src=\"https://github.com/carlosalvarezh/Geometria_Analitica_Vectorial/blob/main/Images/Mecanica20_Ejemplo07.PNG?raw=true\" width=\"200\" />\n",
    "</p>\n",
    "\n",
    "$a)$ Determine el estiramiento en cada resorte para lograr el equilibrio del bloque de $2 \\text{ kg}$. Los resortes se muestran en la posición de equilibrio.\n",
    "\n",
    "$b)$ La longitud sin estirar del resorte $AB$ es de $3 \\text{ m}$. Si el bloque se mantiene en la posición de equilibrio mostrada, determine la masa del bloque en $D$.\n",
    "\n",
    "***Datos Iniciales:***\n",
    "- Constantes de los resortes:\n",
    "  $$\n",
    "  k_{AC} = 20 \\, \\text{N/m}, \\quad k_{AB} = 30 \\, \\text{N/m}, \\quad k_{AD} = 40 \\, \\text{N/m}\n",
    "  $$\n",
    "- Longitud de los segmentos:\n",
    "  $$\n",
    "  AB = 4 \\, \\text{m}, \\quad AC = 3 \\, \\text{m}, \\quad AD = 3 \\, \\text{m}\n",
    "  $$\n",
    "- Bloque de masa:\n",
    "  $$\n",
    "  m_D = 2 \\, \\text{kg}\n",
    "  $$\n",
    "- Aceleración debido a la gravedad:\n",
    "  $$\n",
    "  g = 9.81 \\, \\text{m/s}^2\n",
    "  $$\n",
    "- Peso del bloque:\n",
    "  $$\n",
    "  W_D = m_D g = 2 \\, \\text{kg} \\times 9.81 \\, \\text{m/s}^2 = 19.62 \\, \\text{N}\n",
    "  $$\n",
    "\n",
    "***a): Determinar el Estiramiento en Cada Resorte para Lograr el Equilibrio***\n",
    "\n",
    "***Paso 1: Definir el Sistema de Coordenadas y Diagrama de Cuerpo Libre:*** Ubicamos el punto $ A $ en el origen del sistema de coordenadas $(0,0)$.\n",
    "\n",
    "***Paso 2: Posición de los Puntos:***\n",
    "\n",
    "- Punto $ B $ en $(4,3)$\n",
    "- Punto $ C $ en $(-3,3)$\n",
    "- Punto $ D $ en $(0, -3)$\n",
    "\n",
    "***Paso 3: Longitudes Naturales de los Resortes en Equilibrio***\n",
    "\n",
    "- **Longitud sin estirar del resorte $ AB $:** 3 m\n",
    "\n",
    "***Paso 4: Determinar las Deformaciones de los Resortes*** Utilizamos la ecuación de la longitud de un vector para determinar las longitudes actuales de los resortes:\n",
    "\n",
    "1. **Resorte $ AB $:**\n",
    "   $$\n",
    "   L_{AB} = \\sqrt{(4-0)^2 + (3-0)^2} = \\sqrt{16 + 9} = \\sqrt{25} = 5 \\, \\text{m}\n",
    "   $$\n",
    "   $$\n",
    "   \\Delta L_{AB} = L_{AB} - L_{AB,\\text{sin estirar}} = 5 \\, \\text{m} - 3 \\, \\text{m} = 2 \\, \\text{m}\n",
    "   $$\n",
    "\n",
    "2. **Resorte $ AC $:**\n",
    "   $$\n",
    "   L_{AC} = \\sqrt{(-3-0)^2 + (3-0)^2} = \\sqrt{9 + 9} = \\sqrt{18} = 3\\sqrt{2} \\, \\text{m}\n",
    "   $$\n",
    "   $$\n",
    "   \\Delta L_{AC} = L_{AC} - L_{AC,\\text{sin estirar}} = 3\\sqrt{2} \\, \\text{m} - 3 \\, \\text{m} = 3(\\sqrt{2} - 1) \\, \\text{m} \\approx 1.24 \\, \\text{m}\n",
    "   $$\n",
    "\n",
    "3. **Resorte $ AD $:**\n",
    "   $$\n",
    "   L_{AD} = \\sqrt{(0-0)^2 + (-3-0)^2} = \\sqrt{9} = 3 \\, \\text{m}\n",
    "   $$\n",
    "   $$\n",
    "   \\Delta L_{AD} = L_{AD} - L_{AD,\\text{sin estirar}} = 3 \\, \\text{m} - 3 \\, \\text{m} = 0 \\, \\text{m}\n",
    "   $$\n",
    "\n",
    "***Paso 5: Fuerzas en los Resortes:*** Las fuerzas en los resortes se calculan usando la ley de Hooke $ F = k \\Delta L $:\n",
    "\n",
    "1. **Resorte $ AB $:**\n",
    "   $$\n",
    "   F_{AB} = k_{AB} \\Delta L_{AB} = 30 \\, \\text{N/m} \\times 2 \\, \\text{m} = 60 \\, \\text{N}\n",
    "   $$\n",
    "\n",
    "2. **Resorte $ AC $:**\n",
    "   $$\n",
    "   F_{AC} = k_{AC} \\Delta L_{AC} = 20 \\, \\text{N/m} \\times 1.24 \\, \\text{m} = 24.8 \\, \\text{N}\n",
    "   $$\n",
    "\n",
    "3. **Resorte $ AD $:**\n",
    "   $$\n",
    "   F_{AD} = k_{AD} \\Delta L_{AD} = 40 \\, \\text{N/m} \\times 0 \\, \\text{m} = 0 \\, \\text{N}\n",
    "   $$\n",
    "   \n",
    "***b): Determinar la Masa del Bloque en $ D $ si el Bloque se Mantiene en la Posición de Equilibrio***\n",
    "\n",
    "Sabemos que en equilibrio la suma de las fuerzas en $ y $ debe ser igual al peso del bloque.\n",
    "\n",
    "***Fuerza Vertical del Resorte $ AD $***\n",
    "$$\n",
    "F_{AD} = k_{AD} \\Delta L_{AD}\n",
    "$$\n",
    "Donde $ \\Delta L_{AD} = \\frac{W_D}{k_{AD}} $\n",
    "$$\n",
    "W_D = k_{AD} \\Delta L_{AD} = 40 \\, \\text{N/m} \\times 0 \\, \\text{m} = 0 \\, \\text{N}\n",
    "$$\n",
    "\n",
    "***Resultados***\n",
    "\n",
    "- El estiramiento de cada resorte:\n",
    "  $$\n",
    "  \\Delta L_{AB} = 2 \\, \\text{m}, \\quad \\Delta L_{AC} \\approx 1.24 \\, \\text{m}, \\quad \\Delta L_{AD} = 0 \\, \\text{m}\n",
    "  $$\n",
    "\n",
    "- La fuerza $ P $ para mantener el equilibrio:\n",
    "  $$\n",
    "  F_{AB} = 60 \\, \\text{N}, \\quad F_{AC} = 24.8 \\, \\text{N}, \\quad F_{AD} = 0 \\, \\text{N}\n",
    "  $$\n",
    "\n",
    "- La masa del bloque en $ D $ en equilibrio es:\n",
    "  $$\n",
    "  m_D = 2 \\, \\text{kg}\n",
    "  $$"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "id": "b4ab32fa",
   "metadata": {},
   "source": [
    "### Ejercicios"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "id": "989b4260",
   "metadata": {},
   "source": [
    "Revisar los problemas desde la página $41$ a la $45$ del libro *Mecánica Vectorial para Ingenieros de Beer & Johnston, 11th Ed*."
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "id": "88a1b3c5",
   "metadata": {},
   "source": [
    "## Poleas"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "id": "a594f28d",
   "metadata": {},
   "source": [
    "### Introducción"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "id": "e9a67838",
   "metadata": {},
   "source": [
    "<p float=\"center\">\n",
    "  <img src=\"https://github.com/carlosalvarezh/Geometria_Analitica_Vectorial/blob/main/Images/Polea00.jpg?raw=true\" width=\"150\" />\n",
    "</p>\n",
    "\n",
    "Una polea es un mecanismo compuesto por una rueda acanalada que gira alrededor de un eje. La rueda tiene un canal en su contorno por donde corre una cuerda que sostiene un peso o resistencia. En el otro extremo de la cuerda se aplica una fuerza para levantar el peso. Las poleas se emplean en diversos contextos como pozos, grúas y aparatos de musculación. Existen diferentes tipos de poleas: fijas, móviles y compuestas, como el polipasto."
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "id": "a19a3836",
   "metadata": {},
   "source": [
    "### Polea Fija"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "id": "446d5cff",
   "metadata": {},
   "source": [
    "<p float=\"center\">\n",
    "  <img src=\"https://github.com/carlosalvarezh/Geometria_Analitica_Vectorial/blob/main/Images/Polea02.PNG?raw=true\" width=\"200\" />\n",
    "</p>\n",
    "\n",
    "Una polea fija se utiliza para levantar o bajar cargas con facilidad. Aunque no reduce el esfuerzo necesario, proporciona comodidad al permitir que el esfuerzo se haga utilizando todo el cuerpo. La ecuación de equilibrio para una polea fija es:  \n",
    "\n",
    "$$F = R$$\n",
    "\n",
    "Donde $F$ es la fuerza aplicada y $R$ es la resistencia o peso de la carga."
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "id": "57ae95af",
   "metadata": {},
   "source": [
    "### Polea Móvil"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "id": "48b589be",
   "metadata": {},
   "source": [
    "<p float=\"center\">\n",
    "  <img src=\"https://github.com/carlosalvarezh/Geometria_Analitica_Vectorial/blob/main/Images/Polea03.PNG\n",
    "?raw=true\" width=\"100\" />\n",
    "</p>\n",
    "\n",
    "Una polea móvil es una polea que no está fija en su posición y puede moverse con la carga. Este tipo de polea proporciona una ventaja mecánica al reducir la cantidad de fuerza necesaria para levantar la carga. Las poleas móviles son esenciales en sistemas de levantamiento como polipastos, donde se combinan con poleas fijas para maximizar la eficiencia.\n",
    "\n",
    "En un sistema de poleas móviles, la carga es soportada por varias secciones de la cuerda, lo que reduce la fuerza necesaria para levantarla. La ventaja mecánica de una polea móvil se deriva de la distribución de la carga entre estas secciones de cuerda.\n",
    "\n",
    "***Ecuación de Equilibrio:*** Para una polea móvil, la relación de equilibrio se puede demostrar de la siguiente manera:\n",
    "\n",
    "1. **Sistema con una Polea Móvil:**\n",
    "\n",
    "   - Consideremos una polea móvil que sostiene una carga $ R $. La cuerda pasa a través de la polea fija en el punto superior y la polea móvil sostiene la carga.\n",
    "   - En este sistema, la carga $ R $ es soportada por dos secciones de la cuerda.\n",
    "<p>&nbsp;</p>\n",
    "\n",
    "2. **Diagrama de Fuerzas:**\n",
    "   \n",
    "   - La polea móvil divide la carga $ R $ entre las dos secciones de la cuerda.\n",
    "   - La tensión en cada sección de la cuerda es $ T $.\n",
    "<p>&nbsp;</p>\n",
    "\n",
    "3. **Equilibrio de Fuerzas en la Polea Móvil:**\n",
    "\n",
    "   La suma de las fuerzas hacia arriba debe igualar la fuerza hacia abajo debido a la carga:\n",
    "   $$\n",
    "   2T = R\n",
    "   $$\n",
    "   Donde $ T $ es la tensión en la cuerda.\n",
    "<p>&nbsp;</p>\n",
    "\n",
    "4. **Relación entre Fuerza Aplicada y Tensión:**\n",
    "\n",
    "   En este sistema, la tensión $ T $ es igual a la fuerza aplicada $ F $, porque la cuerda es continua y la tensión es la misma en toda la cuerda. Por lo tanto:\n",
    "   $$\n",
    "   F = T\n",
    "   $$\n",
    "   Sustituyendo $ T $ en la ecuación de equilibrio:\n",
    "   $$\n",
    "   F = \\frac{R}{2}\n",
    "   $$\n",
    "\n",
    "***Extensión a Múltiples Poleas Móviles***\n",
    "\n",
    "Cuando se utilizan varias poleas móviles en un sistema, la carga se distribuye entre más secciones de cuerda, lo que reduce aún más la fuerza necesaria para levantar la carga.\n",
    "\n",
    "1. **Sistema con $ N $ Poleas Móviles:**\n",
    "\n",
    "   - En un sistema con $ N $ poleas móviles, la carga $ R $ se distribuye entre $ 2^N $ secciones de cuerda.\n",
    "   - La relación de equilibrio general se convierte en:\n",
    "     $$\n",
    "     2^N T = R\n",
    "     $$\n",
    "<p>&nbsp;</p>\n",
    "\n",
    "2. **Equilibrio General:**\n",
    "\n",
    "   De nuevo, $ T $ es igual a la fuerza aplicada $ F $:\n",
    "   $$\n",
    "   F = T\n",
    "   $$\n",
    "   Sustituyendo $ T $ en la ecuación de equilibrio general:\n",
    "   $$\n",
    "   F = \\frac{R}{2^N}\n",
    "   $$\n",
    "\n",
    "La ecuación $ F = \\frac{R}{2^N} $ demuestra que en un sistema con $ N $ poleas móviles, la fuerza necesaria para levantar una carga se reduce exponencialmente con el número de poleas móviles. Este principio subraya la eficiencia de los sistemas de poleas móviles, permitiendo levantar cargas pesadas con una fuerza significativamente menor. La comprensión de esta ecuación es fundamental para diseñar sistemas de levantamiento eficaces en diversas aplicaciones industriales y de construcción."
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "id": "252c9e06",
   "metadata": {},
   "source": [
    "### Polipasto"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "id": "a422bf5b",
   "metadata": {},
   "source": [
    "<p float=\"center\">\n",
    "  <img src=\"https://github.com/carlosalvarezh/Geometria_Analitica_Vectorial/blob/main/Images/Polea04.PNG\n",
    "?raw=true\" width=\"150\" />\n",
    "</p>\n",
    "\n",
    "Un polipasto es un dispositivo que consiste en un conjunto de poleas, donde la mitad de las poleas son fijas y la otra mitad son móviles. Es un dispositivo altamente eficiente para levantar cargas pesadas, distribuyendo el peso a través de múltiples secciones de cuerda y reduciendo significativamente la fuerza necesaria.\n",
    "\n",
    "***Características del Polipasto***\n",
    "\n",
    "- **Configuración:** En un polipasto, el número de poleas móviles ($ N $) es igual al número de poleas fijas.\n",
    "- **Distribución de Fuerzas:** La carga se distribuye entre múltiples secciones de cuerda, lo que reduce la fuerza necesaria para levantar la carga.\n",
    "\n",
    "***Ecuación de Equilibrio***\n",
    "\n",
    "1. **Sistema Básico:**\n",
    "   - En un polipasto con una polea fija y una polea móvil, la carga $ R $ se distribuye entre dos secciones de la cuerda que soportan la polea móvil.\n",
    "   - La tensión en cada sección de la cuerda es $ T $.\n",
    "<p>&nbsp;</p>\n",
    "\n",
    "2. **Equilibrio de Fuerzas:**\n",
    "   - Para una sola polea móvil:\n",
    "     $$2T = R$$\n",
    "   - La tensión $ T $ es igual a la fuerza aplicada $ F $:\n",
    "     $$F = \\frac{R}{2}$$\n",
    "<p>&nbsp;</p>\n",
    "\n",
    "3. **Extensión a Múltiples Poleas Móviles:**\n",
    "   - Si el polipasto tiene $ N $ poleas móviles, hay $ 2N $ secciones de cuerda soportando la carga.\n",
    "   - La relación de equilibrio general es:\n",
    "     $$2N T = R$$\n",
    "   - Resolviendo para $ T $ y recordando que $ T = F $:\n",
    "     $$F = \\frac{R}{2N}$$\n",
    "\n",
    "donde:\n",
    "- $ F $ es la fuerza aplicada.\n",
    "- $ R $ es la resistencia o peso de la carga.\n",
    "- $ N $ es el número de poleas móviles (igual al número de poleas fijas).\n"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "id": "7c1c8cb4",
   "metadata": {},
   "source": [
    "- ***Ejemplo 07:*** \n",
    "\n",
    "<p float=\"center\">\n",
    "  <img src=\"https://github.com/carlosalvarezh/Geometria_Analitica_Vectorial/blob/main/Images/Mecanica19_Ejemplo06.PNG?raw=true\" width=\"200\" />\n",
    "</p>\n",
    "\n",
    "El collarín $A$ se desliza sin fricción sobre una barra horizontal y está conectado a una carga de $50 \\text{ lb}$, como se muestra en la figura. Determine la magnitud de la fuerza $P$ requerida para mantener el collarín en equilibrio cuando $a)$ $x = 4.5 \\text{ pulg}$ y $b)$ $x = 15 \\text{ pulg}$.\n",
    "\n",
    "***Paso 1: Diagrama de Cuerpo Libre:*** Para resolver el problema, primero dibujamos el diagrama de cuerpo libre del sistema. Consideramos todas las fuerzas actuando en el collarín $ A $.\n",
    "\n",
    "Fuerzas actuantes en $ A $:\n",
    "1. Fuerza $ P $ en dirección horizontal (hacia la izquierda).\n",
    "2. Tensión en la cuerda, $ T $, que forma un ángulo con la barra horizontal.\n",
    "3. La fuerza de reacción de la barra, que no consideraremos porque el collarín está en equilibrio sin fricción.\n",
    "\n",
    "***Paso 2: Descomposición de Fuerzas:*** Descomponemos la tensión $ T $ en sus componentes horizontales y verticales:\n",
    "- Componente horizontal de $ T $: $ T_x = T \\cos \\theta $\n",
    "- Componente vertical de $ T $: $ T_y = T \\sin \\theta $\n",
    "\n",
    "***Paso 3: Determinación del Ángulo $ \\theta $:*** El ángulo $ \\theta $ puede determinarse usando la distancia horizontal $ x $ y la distancia vertical de 20 pulgadas:\n",
    "$$\\tan \\theta = \\frac{20}{x} \\quad \\Rightarrow \\quad \\theta = \\tan^{-1}\\left(\\frac{20}{x}\\right)$$\n",
    "\n",
    "***Paso 4: Condiciones de Equilibrio:*** Para que el collarín esté en equilibrio, la suma de las fuerzas horizontales y verticales debe ser cero.\n",
    "\n",
    "- **Eje Horizontal:**\n",
    "$$\\sum F_x = 0 \\quad \\Rightarrow \\quad P = T \\cos \\theta$$\n",
    "\n",
    "- **Eje Vertical:**\n",
    "$$\\sum F_y = 0 \\quad \\Rightarrow \\quad T \\sin \\theta = 50 \\, \\text{lb}$$\n",
    "\n",
    "***Paso 5: Solución para $ T $:*** Usamos la ecuación del eje vertical para encontrar $ T $:\n",
    "$$T = \\frac{50 \\, \\text{lb}}{\\sin \\theta}$$\n",
    "\n",
    "***Paso 6: Sustitución en la Ecuación Horizontal:*** Sustituimos $ T $ en la ecuación horizontal:\n",
    "$$P = \\left( \\frac{50 \\, \\text{lb}}{\\sin \\theta} \\right) \\cos \\theta = 50 \\, \\text{lb} \\cot \\theta$$\n",
    "\n",
    "***Cálculos para $ x = 4.5 $ pulgadas:***\n",
    "1. Determinación del ángulo $ \\theta $:\n",
    "$$\\theta = \\tan^{-1}\\left(\\frac{20}{4.5}\\right) = \\tan^{-1}(4.444) \\approx 77.47^\\circ$$\n",
    "\n",
    "2. Determinación de $ \\sin \\theta $ y $ \\cos \\theta $:\n",
    "$$\\sin \\theta \\approx 0.974 \\quad \\text{y} \\quad \\cos \\theta \\approx 0.225$$\n",
    "\n",
    "3. Determinación de $ T $:\n",
    "$$T = \\frac{50 \\, \\text{lb}}{\\sin 77.47^\\circ} \\approx \\frac{50 \\, \\text{lb}}{0.974} \\approx 51.34 \\, \\text{lb}$$\n",
    "\n",
    "4. Determinación de $ P $:\n",
    "$$P = 51.34 \\, \\text{lb} \\times \\cos 77.47^\\circ \\approx 51.34 \\, \\text{lb} \\times 0.225 \\approx 11.55 \\, \\text{lb}$$\n",
    "\n",
    "***Cálculos para $ x = 15 $ pulgadas:***\n",
    "1. Determinación del ángulo $ \\theta $:\n",
    "$$\\theta = \\tan^{-1}\\left(\\frac{20}{15}\\right) = \\tan^{-1}(1.333) \\approx 53.13^\\circ$$\n",
    "\n",
    "2. Determinación de $ \\sin \\theta $ y $ \\cos \\theta $:\n",
    "$$\\sin \\theta \\approx 0.8 \\quad \\text{y} \\quad \\cos \\theta \\approx 0.6$$\n",
    "\n",
    "3. Determinación de $ T $:\n",
    "$$T = \\frac{50 \\, \\text{lb}}{\\sin 53.13^\\circ} \\approx \\frac{50 \\, \\text{lb}}{0.8} \\approx 62.5 \\, \\text{lb}$$\n",
    "\n",
    "4. Determinación de $ P $:\n",
    "$$P = 62.5 \\, \\text{lb} \\times \\cos 53.13^\\circ \\approx 62.5 \\, \\text{lb} \\times 0.6 \\approx 37.5 \\, \\text{lb}$$\n",
    "\n",
    "***Resultados***\n",
    "- Para $ x = 4.5 $ pulgadas, la fuerza $ P $ requerida es aproximadamente $ 11.55 $ lb.\n",
    "- Para $ x = 15 $ pulgadas, la fuerza $ P $ requerida es aproximadamente $ 37.5 $ lb."
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "id": "93f8bd96",
   "metadata": {},
   "source": [
    "- ***Ejemplo 08:*** \n",
    "\n",
    "<p float=\"center\">\n",
    "  <img src=\"https://github.com/carlosalvarezh/Geometria_Analitica_Vectorial/blob/main/Images/Mecanica21_Ejemplo08.PNG?raw=true\" width=\"100\" />\n",
    "</p>\n",
    "\n",
    "Una caja de madera de $200 kg$ está sostenida por varios arreglos de poleas y cuerdas como se muestra en la figura. Determine la magnitud y dirección de la fuerza $P$ que debe ejercerse en el extremo libre de la cuerda para mantener al sistema en equilibrio. (Sugerencia: La tensión es la misma en ambos lados de una cuerda que pasa por una polea simple).\n",
    "\n",
    "\n",
    "***Datos Iniciales***\n",
    "- Masa de la caja de madera ($ m $): 200 kg\n",
    "- Aceleración debida a la gravedad ($ g $): 9.81 m/s²\n",
    "\n",
    "***Paso 1: Determinación del Peso de la Caja*** El peso de la caja ($ W $) se calcula como:\n",
    "$$\n",
    "W = m \\cdot g = 200 \\, \\text{kg} \\cdot 9.81 \\, \\text{m/s}^2 = 1962 \\, \\text{N}\n",
    "$$\n",
    "\n",
    "***Paso 2: Análisis del Sistema de Poleas*** La figura muestra un sistema de poleas que incluye una polea fija en $ B $ y una polea móvil en $ A $. La caja está suspendida de la polea móvil.\n",
    "\n",
    "***Paso 3: Fuerzas en la Polea Móvil*** En una polea móvil, la tensión en la cuerda es igual en ambos lados de la polea. Si $ T $ es la tensión en la cuerda, entonces la polea móvil experimenta una fuerza hacia arriba de $ 2T $ debido a las dos secciones de la cuerda que la sostienen. Esta fuerza debe equilibrar el peso de la caja.\n",
    "\n",
    "Para el equilibrio de la polea móvil:\n",
    "$$\n",
    "2T = W\n",
    "$$\n",
    "$$\n",
    "2T = 1962 \\, \\text{N}\n",
    "$$\n",
    "$$\n",
    "T = \\frac{1962 \\, \\text{N}}{2} = 981 \\, \\text{N}\n",
    "$$\n",
    "\n",
    "***Paso 4: Fuerza en el Extremo Libre de la Cuerda*** La cuerda pasa por la polea fija en $ B $, y la fuerza $ P $ aplicada en el extremo libre de la cuerda debe equilibrar la tensión en la cuerda.\n",
    "\n",
    "La tensión $ T $ en la cuerda es de 981 N. La fuerza $ P $ es igual a la tensión en la cuerda:\n",
    "$$\n",
    "P = 981 \\, \\text{N}\n",
    "$$\n",
    "\n",
    "***Paso 5: Dirección de la Fuerza $ P $*** La dirección de la fuerza $ P $ se puede determinar considerando el ángulo $ \\alpha $ que forma con la horizontal. Para mantener el equilibrio del sistema, la fuerza $ P $ debe aplicarse en la misma dirección que la cuerda que sale de la polea fija en $ B $.\n",
    "\n",
    "La longitud vertical entre $ A $ y $ B $ es de 2.4 m, y la distancia horizontal desde $ B $ hasta el punto donde la cuerda cambia de dirección es de 0.75 m.\n",
    "\n",
    "Para encontrar el ángulo $ \\alpha $:\n",
    "$$\n",
    "\\tan \\alpha = \\frac{\\text{altura}}{\\text{base}} = \\frac{2.4 \\, \\text{m}}{0.75 \\, \\text{m}} = 3.2\n",
    "$$\n",
    "$$\n",
    "\\alpha = \\tan^{-1}(3.2) \\approx 72.65^\\circ\n",
    "$$\n",
    "\n",
    "***Resultados***\n",
    "- La magnitud de la fuerza $ P $ requerida es:\n",
    "  $$\n",
    "  P = 981 \\, \\text{N}\n",
    "  $$\n",
    "- La dirección de la fuerza $ P $ es un ángulo de:\n",
    "  $$\n",
    "  \\alpha \\approx 72.65^\\circ \\text{ con respecto a la horizontal}\n",
    "  $$\n",
    "\n",
    "Por lo tanto, la fuerza $ P $ necesaria para mantener el sistema en equilibrio tiene una magnitud de 981 N y debe aplicarse en una dirección que forma un ángulo de 72.65° con la horizontal."
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "id": "db391c37",
   "metadata": {},
   "source": [
    "- ***Ejemplo 09:*** Una caja de madera de $600 \\text{ lb}$ está sostenida por varios arreglos de poleas y cuerdas, como se muestra en la figura. Determine la tensión en la cuerda para cada arreglo.\n",
    "\n",
    "<p float=\"center\">\n",
    "  <img src=\"https://github.com/carlosalvarezh/Geometria_Analitica_Vectorial/blob/main/Images/Mecanica22_Ejemplo09.PNG?raw=true\" width=\"300\" />\n",
    "</p>\n",
    "\n",
    "***Arreglo a):*** En este arreglo, la cuerda pasa por una polea fija en la parte superior y una polea móvil conectada a la caja. La tensión $ T $ en la cuerda es igual en ambos lados de la polea móvil.\n",
    "\n",
    "1. La polea móvil experimenta una fuerza hacia arriba de $ 2T $ debido a las dos secciones de la cuerda que la sostienen.\n",
    "2. Esta fuerza debe equilibrar el peso de la caja:\n",
    "\n",
    "$$2T = 600 \\, \\text{lb}$$\n",
    "\n",
    "Resolviendo para $ T $:\n",
    "\n",
    "$$T = \\frac{600 \\, \\text{lb}}{2} = 300 \\, \\text{lb}$$\n",
    "\n",
    "***Arreglo (b):*** En este arreglo, la cuerda pasa por una polea fija y luego por una polea móvil, similar a $(a)$.\n",
    "\n",
    "1. La polea móvil también experimenta una fuerza hacia arriba de $ 2T $.\n",
    "2. Esta fuerza debe equilibrar el peso de la caja:\n",
    "\n",
    "$$2T = 600 \\, \\text{lb}$$\n",
    "\n",
    "Resolviendo para $ T $:\n",
    "\n",
    "$$T = \\frac{600 \\, \\text{lb}}{2} = 300 \\, \\text{lb}$$\n",
    "\n",
    "***Arreglo (c):*** En este arreglo, la cuerda pasa por una polea fija en la parte superior y dos poleas móviles.\n",
    "\n",
    "1. Cada polea móvil reduce la tensión por un factor de dos.\n",
    "2. La tensión en la cuerda debe ser tal que la suma de las fuerzas $ 2T $ y $ 2T $ equilibre el peso de la caja:\n",
    "\n",
    "$$4T = 600 \\, \\text{lb}$$\n",
    "\n",
    "Resolviendo para $ T $:\n",
    "\n",
    "$$T = \\frac{600 \\, \\text{lb}}{4} = 150 \\, \\text{lb}$$\n",
    "\n",
    "***Arreglo (d):*** En este arreglo, la cuerda pasa por dos poleas fijas y dos poleas móviles.\n",
    "\n",
    "1. Cada polea móvil reduce la tensión por un factor de dos.\n",
    "2. La tensión en la cuerda debe ser tal que la suma de las fuerzas $ 2T $, $ 2T $, $ 2T $, y $ 2T $ equilibre el peso de la caja:\n",
    "\n",
    "$$4T = 600 \\, \\text{lb}$$\n",
    "\n",
    "Resolviendo para $ T $:\n",
    "\n",
    "$$T = \\frac{600 \\, \\text{lb}}{4} = 150 \\, \\text{lb}$$\n",
    "\n",
    "***Arreglo (e):*** En este arreglo, la cuerda pasa por tres poleas fijas y dos poleas móviles.\n",
    "\n",
    "1. Cada polea móvil reduce la tensión por un factor de dos.\n",
    "2. La tensión en la cuerda debe ser tal que la suma de las fuerzas $ 3T $ y $ 3T $ equilibre el peso de la caja:\n",
    "\n",
    "$$6T = 600 \\, \\text{lb}$$\n",
    "\n",
    "Resolviendo para $ T $:\n",
    "\n",
    "$$T = \\frac{600 \\, \\text{lb}}{6} = 100 \\, \\text{lb}$$\n",
    "\n",
    "***Resultados***\n",
    "- **Arreglo (a):** $ T = 300 \\, \\text{lb} $\n",
    "- **Arreglo (b):** $ T = 300 \\, \\text{lb} $\n",
    "- **Arreglo (c):** $ T = 150 \\, \\text{lb} $\n",
    "- **Arreglo (d):** $ T = 150 \\, \\text{lb} $\n",
    "- **Arreglo (e):** $ T = 100 \\, \\text{lb} $\n",
    "\n",
    "Estos valores de tensión permiten que la caja de $600 \\text{ lb}$ se mantenga en equilibrio en cada uno de los arreglos de poleas."
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "id": "6279ea95",
   "metadata": {},
   "source": [
    "- ***Ejemplo 10:*** ¿Qué fuerza crees que tenemos que aplicar como mínimo para elevar una carga de $50 \\text{ kg}$?. Y si aplicamos una fuerza de $30 \\text{ N}$, ¿qué resistencia podemos vencer? (haz los dibujos en cada caso) \n",
    "\n",
    "$a)$ ***En una polea fija***\n",
    "\n",
    "<p float=\"center\">\n",
    "  <img src=\"https://github.com/carlosalvarezh/Geometria_Analitica_Vectorial/blob/main/Polea07.png?raw=true\" width=\"200\" />\n",
    "</p>\n",
    "\n",
    "***Parte 1: Fuerza Mínima para Elevar una Carga de 50 kg***\n",
    "\n",
    "- ***Datos Iniciales***\n",
    "  - Masa de la carga ($ m $): 50 kg\n",
    "  - Aceleración debida a la gravedad ($ g $): 9.81 m/s²\n",
    "\n",
    "- ***Paso 1: Calcular el Peso de la Carga***\n",
    "El peso ($ R $) se calcula como:  \n",
    "\n",
    "$$R = m \\cdot g = 50 \\, \\text{kg} \\cdot 9.81 \\, \\text{m/s}^2 = 490.5 \\, \\text{N}$$\n",
    "\n",
    "- ***Paso 2: Sistema de Polea Simple***\n",
    "Asumimos que estamos usando una polea simple. En una polea simple, la fuerza necesaria para levantar una carga es igual al peso de la carga porque solo cambia la dirección de la fuerza, no la magnitud.\n",
    "\n",
    "Por lo tanto, la fuerza mínima ($ F $) necesaria para elevar la carga es:  \n",
    "\n",
    "$$F = R = 490.5 \\, \\text{N}$$\n",
    "\n",
    "***Parte 2: Resistencia que Podemos Vencer con una Fuerza de 30 N***\n",
    "\n",
    "- ***Paso 1: Relación de Fuerzas en una Polea***\n",
    "En una polea simple, la fuerza aplicada $ F $ debe igualar el peso de la carga $ R $ para elevar la carga.  \n",
    "\n",
    "- ***Paso 2: Calcular la Resistencia Vencida***\n",
    "Si aplicamos una fuerza de $ F = 30 \\, \\text{N} $, entonces la resistencia $ R $ que podemos vencer es:  \n",
    "\n",
    "$$R = F = 30 \\, \\text{N}$$\n",
    "\n",
    "$b)$ ***En una polea móvil (3 móviles y 1 fija)***\n",
    "\n",
    "<p float=\"center\">\n",
    "  <img src=\"https://github.com/carlosalvarezh/Geometria_Analitica_Vectorial/blob/main/Images/Polea08.png?raw=true\" width=\"100\" />\n",
    "</p>\n",
    "\n",
    "***Parte 1: Fuerza Mínima para Elevar una Carga de 50 kg***\n",
    "\n",
    "- ***Datos Iniciales***\n",
    "  - Masa de la carga ($ m $): 50 kg\n",
    "  - Aceleración debida a la gravedad ($ g $): 9.81 m/s²\n",
    "  - Número de poleas móviles ($ N $): 3\n",
    "\n",
    "- ***Paso 1: Calcular el Peso de la Carga***\n",
    "El peso ($ R $) se calcula como:\n",
    "$$R = m \\cdot g = 50 \\, \\text{kg} \\cdot 9.81 \\, \\text{m/s}^2 = 490.5 \\, \\text{N}$$\n",
    "\n",
    "- ***Paso 2: Calcular la Fuerza Necesaria en un Polipasto Exponencial***\n",
    "En un polipasto exponencial, la fuerza necesaria ($ F $) para levantar una carga se calcula con la fórmula:  \n",
    "\n",
    "$$F = \\frac{R}{2^N}$$  \n",
    "\n",
    "donde $ N $ es el número de poleas móviles.\n",
    "\n",
    "Para $ N = 3 $:  \n",
    "\n",
    "$$F = \\frac{490.5 \\, \\text{N}}{2^3} = \\frac{490.5 \\, \\text{N}}{8} = 61.3125 \\, \\text{N}$$\n",
    "\n",
    "***Parte 2: Resistencia que Podemos Vencer con una Fuerza de 30 N***\n",
    "\n",
    "- ***Paso 1: Calcular la Resistencia Vencida en un Polipasto Exponencial***\n",
    "Usamos la fórmula inversa para encontrar la resistencia que se puede vencer con una fuerza $ F $ aplicada en un polipasto exponencial:  \n",
    "\n",
    "$$R = F \\cdot 2^N$$\n",
    "\n",
    "Para $ F = 30 \\, \\text{N} $ y $ N = 3 $:  \n",
    "\n",
    "$$R = 30 \\, \\text{N} \\cdot 2^3 = 30 \\, \\text{N} \\cdot 8 = 240 \\, \\text{N}$$\n",
    "\n",
    "$c)$ ***En un polipasto (3 poleas móviles y 3 fijas)***\n",
    "\n",
    "<p float=\"center\">\n",
    "  <img src=\"https://github.com/carlosalvarezh/Geometria_Analitica_Vectorial/blob/main/Images/Polea09.png?raw=true\" width=\"150\" />\n",
    "</p>\n",
    "\n",
    "***Parte 1: Fuerza Mínima para Elevar una Carga de 50 kg***\n",
    "\n",
    "- ***Datos Iniciales***\n",
    "  - Masa de la carga ($ m $): 50 kg\n",
    "  - Aceleración debida a la gravedad ($ g $): 9.81 m/s²\n",
    "  - Número de poleas móviles ($ N $): 3  \n",
    "\n",
    "- ***Paso 1: Calcular el Peso de la Carga***  \n",
    "\n",
    "El peso ($ R $) se calcula como:  \n",
    "\n",
    "$$R = m \\cdot g = 50 \\, \\text{kg} \\cdot 9.81 \\, \\text{m/s}^2 = 490.5 \\, \\text{N}$$\n",
    "\n",
    "- ***Paso 2: Calcular la Fuerza Necesaria en un Polipasto***\n",
    "En un polipasto, la fuerza necesaria ($ F $) para levantar una carga se calcula con la fórmula:  \n",
    "\n",
    "$$F = \\frac{R}{2N}$$\n",
    "\n",
    "donde $ N $ es el número de poleas móviles.\n",
    "\n",
    "Para $ N = 3 $:  \n",
    "\n",
    "$$F = \\frac{490.5 \\, \\text{N}}{2 \\times 3} = \\frac{490.5 \\, \\text{N}}{6} = 81.75 \\, \\text{N}$$\n",
    "\n",
    "***Parte 2: Resistencia que Podemos Vencer con una Fuerza de 30 N***\n",
    "\n",
    "- ***Paso 1: Calcular la Resistencia Vencida en un Polipasto***  \n",
    "\n",
    "Usamos la fórmula inversa para encontrar la resistencia que se puede vencer con una fuerza $ F $ aplicada en un polipasto:  \n",
    "\n",
    "$$R = F \\cdot 2N$$  \n",
    "\n",
    "Para $ F = 30 \\, \\text{N} $ y $ N = 3 $:  \n",
    "\n",
    "$$R = 30 \\, \\text{N} \\cdot 2 \\times 3 = 30 \\, \\text{N} \\cdot 6 = 180 \\, \\text{N}$$\n",
    "\n",
    "***Análisis de Resultados:***\n",
    "\n",
    "A manera de conclusión se presenta la siguiente tabla resumen con los aspectos más importantes del ejercicio:\n",
    "\n",
    "| **Sistema de Poleas**                          | **Fuerza mínima para elevar 50 kg (N)** | **Resistencia vencida con 30 N (N)** | **Ventajas**                                                          | **Desventajas**                                    |\n",
    "|------------------------------------------------|----------------------------------------|-------------------------------------|-----------------------------------------------------------------------|----------------------------------------------------|\n",
    "| **Polea Fija**                                 | 490.5                                  | 30                                  | Simple de instalar y usar                                             | Sin ventaja mecánica, la fuerza necesaria es igual al peso de la carga |\n",
    "| **Polea Móvil (3 móviles y 1 fija)**           | 61.31                                  | 240                                 | Reducción significativa en la fuerza necesaria; vence grandes resistencias | Instalación más compleja y requiere más espacio |\n",
    "| **Polipasto (3 móviles y 3 fijas)**            | 81.75                                  | 180                                 | Buena reducción en la fuerza necesaria y capacidad para vencer resistencias | Instalación compleja, aunque menos eficiente que 3 móviles y 1 fija |\n"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "id": "34a05d5e",
   "metadata": {},
   "source": [
    "- ***Ejemplo 11:*** En el sistema constituido por la carretilla y el bloque de masas $m_1$ y $m_2$, determinar una expresión para: la aceleración de la carretilla, la tensión de la cuerda y la fuerza ejercida por la superficie sobre la carretilla. \n",
    "\n",
    "<p float=\"center\">\n",
    "  <img src=\"https://github.com/carlosalvarezh/Geometria_Analitica_Vectorial/blob/main/Images/Polea11.PNG?raw=true\" width=\"200\" />\n",
    "</p>\n",
    "\n",
    "Para resolver el problema del sistema constituido por la carretilla de masa $ m_1 $ y el bloque de masa $ m_2 $, seguiremos estos pasos:\n",
    "\n",
    "1. **Dibujar los diagramas de cuerpo libre para ambos objetos.**\n",
    "2. **Aplicar las leyes de Newton para cada objeto.**\n",
    "3. **Determinar las expresiones para la aceleración, la tensión de la cuerda y la fuerza ejercida por la superficie sobre la carretilla.**\n",
    "\n",
    "***Paso 1: Diagramas de Cuerpo Libre***\n",
    "\n",
    "- ***Carretilla (masa $ m_1 $)***\n",
    "  - **Fuerza de gravedad:** $ m_1 g $ (vertical hacia abajo).\n",
    "  - **Fuerza normal:** $ N $ (perpendicular a la superficie inclinada).\n",
    "  - **Fuerza de fricción:** $ f $ (paralela a la superficie inclinada, si hay fricción).\n",
    "  - **Tensión de la cuerda:** $ T $ (paralela a la superficie inclinada y hacia arriba por la cuerda).\n",
    "  - **Componente de la gravedad paralela a la pendiente:** $ m_1 g \\sin \\theta $.\n",
    "  - **Componente de la gravedad perpendicular a la pendiente:** $ m_1 g \\cos \\theta $.\n",
    "\n",
    "- ***Bloque (masa $ m_2 $)***\n",
    "  - **Fuerza de gravedad:** $ m_2 g $ (vertical hacia abajo).\n",
    "  - **Tensión de la cuerda:** $ T $ (hacia arriba por la cuerda).\n",
    "\n",
    "***Paso 2: Leyes de Newton para Cada Objeto***\n",
    "\n",
    "- ***Para la Carretilla (masa $ m_1 $):*** Aplicamos la segunda ley de Newton en la dirección paralela y perpendicular a la pendiente:\n",
    "\n",
    "- **Dirección paralela a la pendiente:**  \n",
    "\n",
    "  $$  m_1 a = T - m_1 g \\sin \\theta  $$\n",
    "\n",
    "- **Dirección perpendicular a la pendiente:**  \n",
    "\n",
    "  $$  N = m_1 g \\cos \\theta  $$\n",
    "\n",
    "- ***Para el Bloque (masa $ m_2 $):*** Aplicamos la segunda ley de Newton en la dirección vertical:  \n",
    "\n",
    "$$m_2 a = m_2 g - T$$\n",
    "\n",
    "***Paso 3: Resolver las Ecuaciones Simultáneamente***\n",
    "\n",
    "Sumamos las ecuaciones para eliminar $ T $:  \n",
    "\n",
    "$$m_1 a + m_2 a = m_2 g - m_1 g \\sin \\theta$$\n",
    "\n",
    "Simplificamos para obtener la aceleración $ a $:  \n",
    "\n",
    "$$a (m_1 + m_2) = m_2 g - m_1 g \\sin \\theta$$\n",
    "\n",
    "$$a = \\frac{m_2 g - m_1 g \\sin \\theta}{m_1 + m_2}$$\n",
    "\n",
    "- ***Tensión de la Cuerda $ T $:*** Usamos una de las ecuaciones de Newton para encontrar $ T $. Tomamos la ecuación para $ m_2 $:  \n",
    "\n",
    "$$T = m_2 g - m_2 a$$\n",
    "\n",
    "Sustituimos la expresión de $ a $:  \n",
    "\n",
    "$$T = m_2 g - m_2 \\left( \\frac{m_2 g - m_1 g \\sin \\theta}{m_1 + m_2} \\right)$$\n",
    "\n",
    "$$T = m_2 g \\left( 1 - \\frac{m_2 - m_1 \\sin \\theta}{m_1 + m_2} \\right)$$\n",
    "\n",
    "Simplificamos:  \n",
    "\n",
    "$$T = m_2 g \\left( \\frac{m_1 + m_2 - m_2 + m_1 \\sin \\theta}{m_1 + m_2} \\right)$$\n",
    "\n",
    "$$T = m_2 g \\left( \\frac{m_1 (1 + \\sin \\theta)}{m_1 + m_2} \\right)$$\n",
    "\n",
    "- ***Fuerza Normal $ N $:*** La fuerza normal se encuentra perpendicular a la pendiente y se obtiene directamente de la segunda ley de Newton en la dirección perpendicular para $ m_1 $:\n",
    "\n",
    "$$\n",
    "N = m_1 g \\cos \\theta\n",
    "$$\n",
    "\n"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "id": "9e222955",
   "metadata": {},
   "source": [
    "## Fricción seca"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "id": "e357ec6d",
   "metadata": {},
   "source": [
    "### Leyes de la Fricción Seca"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "id": "eea1f512",
   "metadata": {},
   "source": [
    "La fricción seca se observa en la interacción entre superficies en contacto sin lubricación. Para ilustrar este fenómeno, se puede considerar un bloque de peso $ \\mathbf{W} $ sobre una superficie horizontal plana. Las fuerzas que actúan sobre el bloque son:\n",
    "\n",
    "1. **Peso $ \\mathbf{W} $**: Actúa verticalmente hacia abajo.\n",
    "2. **Reacción Normal $ \\mathbf{N} $**: Actúa perpendicular a la superficie y hacia arriba.\n",
    "3. **Fuerza de Fricción $ \\mathbf{F} $**: Ocurre cuando se aplica una fuerza horizontal $ \\mathbf{P} $ al bloque.\n",
    "\n",
    "<p float=\"center\">\n",
    "  <img src=\"https://github.com/carlosalvarezh/Geometria_Analitica_Vectorial/blob/main/Images/Friccion03.png?raw=true\" width=\"250\" />\n",
    "</p>\n",
    "\n",
    "Cuando $ \\mathbf{P} $ es pequeña, la fricción estática $ \\mathbf{F} $ equilibra $ \\mathbf{P} $, impidiendo el movimiento del bloque. A medida que $ \\mathbf{P} $ aumenta, $ \\mathbf{F} $ también aumenta hasta un valor máximo $ F_m $. Si $ \\mathbf{P} $ excede $ F_m $, el bloque comienza a deslizarse y la fricción estática se convierte en fricción cinética $ \\mathbf{F}_k $, que es menor que $ F_m $.\n",
    "\n",
    "- La ecuación que describe la fricción estática máxima es:  \n",
    "\n",
    "$$F_m = \\mu_s N$$  \n",
    "\n",
    "donde $ \\mu_s $ es el coeficiente de fricción estática.\n",
    "\n",
    "- La fricción cinética se describe por:  \n",
    "\n",
    "$$F_k = \\mu_k N$$  \n",
    "\n",
    "donde $ \\mu_k $ es el coeficiente de fricción cinética.\n",
    "\n",
    "***Tabla:*** Valores aproximados de los coeficientes de fricción estática para superficies secas  \n",
    "\n",
    "| Superficies | Coef. fricción estática $$\\mu_s$$|\n",
    "| :--- | :---: |\n",
    "| Metal sobre metal | $0.15-0.60$ |\n",
    "| Metal sobre madera | $0.20-0.60$ |\n",
    "| Metal sobre piedra | $0.30-0.70$ |\n",
    "| Metal sobre cuero | $0.30-0.60$ |\n",
    "| Madera sobre madera | $0.25-0.50$ |\n",
    "| Madera sobre cuero | $0.25-0.50$ |\n",
    "| Piedra sobre piedra | $0.40-0.70$ |\n",
    "| Tierra sobre tierra | $0.20-1.00$ |\n",
    "| Hule sobre concreto | $0.60-0.90$ |"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "id": "5df57422",
   "metadata": {},
   "source": [
    "### Situaciones de Fricción Seca"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "id": "bafd2f00",
   "metadata": {},
   "source": [
    "1. **Sin Fuerza de Fricción ($P_x=0$)**: Las fuerzas aplicadas no tienden a mover el cuerpo, por lo que no hay fricción.\n",
    "\n",
    "<p float=\"center\">\n",
    "  <img src=\"https://github.com/carlosalvarezh/Geometria_Analitica_Vectorial/blob/main/Images/Friccion04.PNG?raw=true\" width=\"100\" />\n",
    "</p>\n",
    "\n",
    "2. **Fricción Estática (sin movimiento, $P_x<F_m$)**: Las fuerzas aplicadas tienden a mover el cuerpo, pero no son suficientes para iniciar el movimiento. La fricción estática $ \\mathbf{F} $ equilibra las fuerzas aplicadas, y se puede determinar mediante las ecuaciones de equilibrio.\n",
    "\n",
    "<p float=\"center\">\n",
    "  <img src=\"https://github.com/carlosalvarezh/Geometria_Analitica_Vectorial/blob/main/Images/Friccion05.PNG?raw=true\" width=\"100\" />\n",
    "</p>\n",
    "\n",
    "3. **Movimiento Inminente ($P_x=F_m$)**: Las fuerzas aplicadas son tales que el cuerpo está a punto de deslizarse. La fricción estática alcanza su valor máximo $ F_m = \\mu_s N $.\n",
    "\n",
    "<p float=\"center\">\n",
    "  <img src=\"https://github.com/carlosalvarezh/Geometria_Analitica_Vectorial/blob/main/Images/Friccion06.PNG?raw=true\" width=\"100\" />\n",
    "</p>\n",
    "\n",
    "4. **Fricción Cinética (movimiento, $P_x>F_k$)**: El cuerpo se desliza bajo la acción de las fuerzas aplicadas. La fricción cinética $ \\mathbf{F}_k $ se describe por $ F_k = \\mu_k N $.\n",
    "\n",
    "<p float=\"center\">\n",
    "  <img src=\"https://github.com/carlosalvarezh/Geometria_Analitica_Vectorial/blob/main/Images/Friccion07.PNG?raw=true\" width=\"100\" />\n",
    "</p>\n"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "id": "b979b75a",
   "metadata": {},
   "source": [
    "### Ángulos de Fricción"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "id": "24e497e1",
   "metadata": {},
   "source": [
    "<p float=\"center\">\n",
    "  <img src=\"https://github.com/carlosalvarezh/Geometria_Analitica_Vectorial/blob/main/Images/Friccion08.PNG?raw=true\" width=\"600\" />\n",
    "</p>\n",
    "\n",
    "El ángulo de fricción estática $ \\phi_s $ es el ángulo máximo entre la fuerza resultante $ \\mathbf{R} $ y la normal $ \\mathbf{N} $ antes de que ocurra el movimiento. Se define como:  \n",
    "\n",
    "$$\\tan \\phi_s = \\mu_s$$\n",
    "\n",
    "El ángulo de fricción cinética $ \\phi_k $ es el ángulo entre $ \\mathbf{R} $ y $ \\mathbf{N} $ cuando el cuerpo se desliza:  \n",
    "\n",
    "$$\\tan \\phi_k = \\mu_k$$"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "id": "d64bf496",
   "metadata": {},
   "source": [
    "### Ejemplo: Ángulo de Inclinación"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "id": "66289e52",
   "metadata": {},
   "source": [
    "<p float=\"center\">\n",
    "  <img src=\"https://github.com/carlosalvarezh/Geometria_Analitica_Vectorial/blob/main/Images/Friccion09.PNG?raw=true\" width=\"600\" />\n",
    "</p>\n",
    "\n",
    "Considere un bloque sobre una tabla inclinada. La fuerza normal $ \\mathbf{N} $ y la fuerza de fricción $ \\mathbf{F} $ forman la fuerza resultante $ \\mathbf{R} $. Cuando la inclinación es tal que el movimiento es inminente, el ángulo de inclinación es el ángulo de reposo $ \\theta $, que es igual al ángulo de fricción estática $ \\phi_s $.\n",
    "\n",
    "Para una tabla inclinada en ángulo $ \\theta $:\n",
    "- Componente normal de $ \\mathbf{R} $: $ N = W \\cos \\theta $\n",
    "- Componente tangencial de $ \\mathbf{R} $: $ F = W \\sin \\theta $\n",
    "\n",
    "En el punto de movimiento inminente:  \n",
    "\n",
    "$$\\theta = \\phi_s \\quad \\text{y} \\quad \\tan \\phi_s = \\mu_s$$\n",
    "\n",
    "Al incrementar $ \\theta $ más allá de $ \\phi_s $, el bloque comienza a deslizarse, y el ángulo entre $ \\mathbf{R} $ y $ \\mathbf{N} $ disminuye a $ \\phi_k $.\n"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "id": "2b9d208f",
   "metadata": {},
   "source": [
    "- ***Ejemplo 12:*** En el sistema de la figura las masas de $1$ y $2$ son iguales: $m$, el coeficiente de rozamiento entre los bloques y $B$ es $\\mu$, y la masa de la polea es despreciable. ¿Cual es la aceleración mínima a la que debe desplazarse $B$ en dirección horizontal para que los cuerpos $1$ y $2$ permanezcan en equilibrio respecto de $B$?. En las mismas condiciones que antes, calcular la aceleración máxima para que se siga manteniendo el equilibrio. \n",
    "\n",
    "<p float=\"center\">\n",
    "  <img src=\"https://github.com/carlosalvarezh/Geometria_Analitica_Vectorial/blob/main/Images/Polea12.PNG?raw=true\" width=\"150\" />\n",
    "</p>\n",
    "\n",
    "En el caso de que la aceleración de $B$ fuese inferior a cierto valor mínimo $\\vec{a}_{B, \\text { mín. }}$ el bloque 1 se movería hacia la derecha sobre $B$ y el bloque 2 descendería, las fuerzas de rozamiento sobre los dos bloques estarían orientadas en sentido contrario a su movimiento relativo respecto de $B$. En el caso de que la aceleración de $B$ fuese igual a dicho valor mínimo $\\vec{a}_{B, \\text { mín. }}$ los bloques ya no se moverían, pero las fuerzas de rozamiento que actuarían sobre ellos seguirían teniendo la misma orientación, serían fuerzas de rozamiento estáticas y su valor sería máximo.\n",
    "\n",
    "Si viésemos las cosas desde el punto de vista de un observador $O^{\\prime}$ montado en $B$ los dos bloques se encontrarían en reposo y su aceleración sería nula. El hecho de que $O^{\\prime}$ sea un observador no inercial implica que en su análisis tiene que tener en cuenta fuerzas de inercia.\n",
    "\n",
    "<p float=\"center\">\n",
    "  <img src=\"https://github.com/carlosalvarezh/Geometria_Analitica_Vectorial/blob/main/Images/Polea12aEjemplo12.PNG?raw=true\" width=\"500\" />\n",
    "</p>\n",
    "\n",
    "Si el análisis del problema lo hace un observador inercial $O$ con su sistema de referencia fijo en el suelo viendo desplazarse aceleradamente el carretón, los diagramas y ecuaciones que plantearía serían:\n",
    "\n",
    "<p float=\"center\">\n",
    "  <img src=\"https://github.com/carlosalvarezh/Geometria_Analitica_Vectorial/blob/main/Images/Polea12bEjemplo12.PNG?raw=true\" width=\"500\" />\n",
    "</p>\n",
    "\n",
    "Podemos ver que independientemente de quién analice el problema las ecuaciones finales resultan ser las mismas.\n",
    "\n",
    "Descomponiendo en componentes horizontales y perpendiculares y teniendo en cuenta que para $\\vec{a}_{B, \\text { mín. }}$ las fuerzas de rozamientos estáticas toman su valor máximo: $F_{r o z i}=\\mu N_i$ tenemos que:\n",
    "$$\n",
    "\\begin{array}{cc}\n",
    "N_1-m g=0 & T+\\mu N_2-m g=0 \\\\\n",
    "T-\\mu N_1=m a_{B, \\text { mín. }} & N_2=m a_{B, \\text { mín. }}\n",
    "\\end{array}\n",
    "$$\n",
    "\n",
    "Sistema de cuatro ecuaciones con cuatro incógnitas cuya solución es:\n",
    "$$\n",
    "\\begin{array}{cc}\n",
    "N_1=m g & T=\\left(\\frac{1+\\mu^2}{1+\\mu}\\right) m g \\\\\n",
    "N_2=\\left(\\frac{1-\\mu}{1+\\mu}\\right) m g & a_{B, \\text { mín. }}=\\left(\\frac{1-\\mu}{1+\\mu}\\right) g\n",
    "\\end{array}\n",
    "$$\n",
    "\n",
    "En el caso de que la aceleración de $B$ fuese superior a cierto valor máximo $\\vec{a}_{B, \\text { máx }}$ el bloque 1 se deslizaría hacia la izquierda sobre $B$ y el bloque 2 ascendería, las fuerzas de rozamiento sobre los dos bloques estarían orientadas en sentido contrario a su movimiento relativo respecto de $B$. En el caso de que la aceleración de $B$ fuese igual a dicho valor máximo $\\vec{a}_{B, \\text { máx. }}$ los bloques ya no se moverían, pero las fuerzas de rozamiento que actuarían sobre ellos seguirían teniendo la misma orientación, serían fuerzas de rozamiento estáticas y su valor sería máximo.\n",
    "\n",
    "Los diagramas de fuerzas serían iguales a los del caso anterior cambiando el sentido de las fuerzas de rozamiento y las ecuaciones finales serían las mismas pero cambiando de signo aquellos términos que contengan al coeficiente de rozamiento $\\mu$ :\n",
    "$$\n",
    "\\begin{array}{cc}\n",
    "N_1-m g=0 & T-\\mu N_2-m g=0 \\\\\n",
    "T+\\mu N_1=m a_{B, \\text { máx. }} & N_2=m a_{B, \\text { máx. }}\n",
    "\\end{array}\n",
    "$$\n",
    "\n",
    "Las soluciones serían por lo tanto las mismas cambiando $\\mu$ por $-\\mu$ :\n",
    "$$\n",
    "\\begin{array}{cc}\n",
    "N_1=m g & T=\\left(\\frac{1+\\mu^2}{1-\\mu}\\right) m g \\\\\n",
    "N_2=\\left(\\frac{1+\\mu}{1-\\mu}\\right) m g & a_{B, \\text { máx. }}=\\left(\\frac{1+\\mu}{1-\\mu}\\right) g\n",
    "\\end{array}\n",
    "$$"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "id": "782b213d",
   "metadata": {},
   "source": [
    "- ***Ejemplo 13:*** El carretón de la figura es acelerado hacia la derecha a $2 m/s^2$ respecto del suelo. Los bloques, de masas $m_1 = 5 kg$ y $m_2 = 10 kg$, tienen un coeficiente de rozamiento con el carretón de $0.2$. Calcular la aceleración de los bloques respecto del suelo.\n",
    "\n",
    "<p float=\"center\">\n",
    "  <img src=\"https://github.com/carlosalvarezh/Geometria_Analitica_Vectorial/blob/main/Images/Polea13aEjemplo13.PNG?raw=true\" width=\"150\" />\n",
    "</p>\n",
    "\n",
    "Cada bloque va a realizar un movimiento rectilíneo. En nuestro caso, dadas las masas de los bloques, parece bastante claro que el movimiento de 1 va a ser ascendente y el de 2 descendente. Consideraremos que la cuerda y la polea son ideales ( $\\sin$ masa).\n",
    "\n",
    "Si viésemos las cosas desde el punto de vista de un observador $O^{\\prime}$ montado en el carretón el bloque 1 tendría una aceleración $\\vec{a}_1^{\\prime}$ ascendente a lo largo del plano inclinado y el bloque 2 unla aceleración $\\vec{a}_2^{\\prime}$ dirigida verticalmente hacia abajo. El hecho de que $O^{\\prime}$ sea un observador no inercial implica que en su análisis tiene que tener en cuenta fuerzas de inercia:\n",
    "\n",
    "<p float=\"center\">\n",
    "  <img src=\"https://github.com/carlosalvarezh/Geometria_Analitica_Vectorial/blob/main/Images/Polea13bEjemplo13.PNG?raw=true\" width=\"500\" />\n",
    "</p>\n",
    "\n",
    "Si el análisis del problema lo hace un observador inercial $O$ con su sistema de referencia fijo en el suelo viendo desplazarse aceleradamente el carretón, los diagramas y ecuaciones que plantearía serían:\n",
    "\n",
    "<p float=\"center\">\n",
    "  <img src=\"https://github.com/carlosalvarezh/Geometria_Analitica_Vectorial/blob/main/Images/Polea13cEjemplo13.PNG?raw=true\" width=\"500\" />\n",
    "</p>\n",
    "\n",
    "Independientemente de quién analice el problema las ecuaciones finales resultan ser las mismas. Teniendo en cuenta que al ser constante la longitud de la cuerda: $a_1^{\\prime}=a_2^{\\prime}=a^{\\prime}, \\mathrm{y}$ que las fuerzas de rozamientos son dinámicas: $F_{r o z, i}=\\mu N_i$ Descomponiendo en componentes a lo largo del plano y perpendiculares al plano para el bloque 1 y en componentes horizontales y verticales para el bloque 2 :\n",
    "$$\n",
    "\\begin{array}{cc}\n",
    "-m_1 g \\operatorname{sen} \\theta+T-\\mu N_1=m_1\\left(a^{\\prime}+a_c \\cos \\theta\\right) & N_2=m_2 a_c \\\\\n",
    "-m_1 g \\cos \\theta+N_1=-m_1 a_c \\operatorname{sen} \\theta & m_2 g-T-\\mu N_2=m_2 a^{\\prime}\n",
    "\\end{array}\n",
    "$$\n",
    "\n",
    "Sistema de cuatro ecuaciones con cuatro incógnitas cuya solución es:\n",
    "$$\n",
    "\\begin{gathered}\n",
    "N_1=m_1\\left(g \\cos \\theta-a_c \\operatorname{sen} \\theta\\right)=33.1 \\mathrm{~N} \\\\\n",
    "N_2=m_2 a_c=20.0 \\mathrm{~N} \\\\\n",
    "a^{\\prime}=\\frac{m_2\\left(g-\\mu a_c\\right)-m_1\\left[g(\\operatorname{sen} \\theta+\\mu \\cos \\theta)+a_c(\\cos \\theta-\\mu \\operatorname{sen} \\theta)\\right]}{m_1+m_2}=3.33 \\mathrm{~m} / \\mathrm{s}^2 \\\\\n",
    "T=\\left(\\frac{m_1 m_2}{m_1+m_2}\\right)\\left[g(1+\\operatorname{sen} \\theta+\\mu \\cos \\theta)+a_c(\\cos \\theta-\\mu \\operatorname{sen} \\theta-\\mu)\\right]=60.7 \\mathrm{~N}\n",
    "\\end{gathered}\n",
    "$$"
   ]
  }
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