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Échanges radiatifs entre surfaces noires et grises

Un câble chauffant électrique de longueur L_c est placé au centre d'une gaine, le vide étant fait entre le câble et la gaine. Le diamètre du câble est d_c et celui de la gaine d_g. Le câble doit dissiper une puissance q_c sans que sa température ne dépasse T_c.

1. [4 p] En négligeant les effets de bords aux extrémités, donner la valeur des différents facteurs de forme entre le câble et la gaine, F_cc, F_cg, F_gc, F_gg.

2. [1 p] Sachant que les deux surfaces sont noires, donner la température maximale que doit avoir la gaine, T_g.

3. [1 p] Que devient cette température si l’émissivité du câble est ε_c et l’émissivité de la gaine est ε_g.

4. [1 p] Dans les conditions de la question 3), donner la température de la gaine, T_g, si l'on place un cylindre écran de diamètre d_e d’émissivité ε_e.