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Author: davibarreira

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@@ -3,7 +3,9 @@ \chapter{Fluxo de Gradiente em Espaços de Wasserstein}
 
 Neste capítulo mostraremos como EDPs podem ser expressadas como
 fluxos de gradiente em um espaço de Wasserstein
-(i.e. espaço métrico de medidas de probabilidades com distância de Wasserstein). A exposição é
+(i.e. espaço métrico de medidas de probabilidades com distância
+de Wasserstein)\footnote{A principal referência para este capítulo
+é \citet{santambrogio2017euclidean}.}. A exposição é
 focada em apresentar de maneira clara e sucinta o necessário para entendimento
 do assunto, sem provar os resultados mais refinados, o que tornaria o
 texto muito extenso e de difícil
@@ -41,6 +43,8 @@ \chapter{Fluxo de Gradiente em Espaços de Wasserstein}
 
 \section{Introdução ao Fluxo de Gradiente}
 
+\subsection{Definições Iniciais}
+
 Antes de formalizar a ideia de fluxo de gradiente, vamos introduzir alguns
 conceitos de análise convexa que são necessárias para tratar
 do assunto de maneira rigorosa.
@@ -53,9 +57,10 @@ \section{Introdução ao Fluxo de Gradiente}
         f(y) \geq f(x) + \langle p, y-x\rangle, \forall y \in \mathbb R^n
         \}.
     \end{equation}
+    Se $p \in \partial f(x)$, então $p$ é um subgradiente de $f$ no ponto $x$.
 \end{definition}
 A intuição por trás da definição
-de subdiferencial (ou subgradiente) é ilustrada na Figura \ref{fig:subdiferencial}.
+de subdiferencial é ilustrada na Figura \ref{fig:subdiferencial}.
 Note que se a função $f$ for convexa e diferenciável, teremos que $\partial f(x) = \{\nabla f(x)\}$.
 Porém, caso a função não seja convexa, não haverá essa garantia. Assim, é comum usar essa ideia de
 subdiferencial somente em funções convexas.
@@ -106,19 +111,115 @@ \section{Introdução ao Fluxo de Gradiente}
 
 \begin{figure}[H]
     \includegraphics[width=1\textwidth]{./Figures/subdiferencial}
-    \caption{Exemplo de subdiferencial.}
+    \caption{Exemplo de subdiferencial. Perceba que considerando
+    o subdiferencial generalizado, teríamos
+    $p_1 \in \partial_G f(0)$ e $p_2 \in \partial_G f(0)$ para as duas imagens.}
     \label{fig:subdiferencial}
 \end{figure}
 
 Agora podemos definir de forma rigorosa o fluxo de gradiente.
 
 \begin{definition}[Fluxo de Gradiente]
     Seja $f:\mathbb R^n \to \mathbb R$.
-    Dizemos que $x:(0,+\infty) \to \text{Dom}(f)$ é um fluxo de gradiente
+    Assim, dizemos que $x:(0,+\infty) \to \text{Dom}(f)$ é um fluxo de gradiente
     de $f$ se $x \in \text{AC}_{\text{loc}}((0,+\infty), \mathbb R^n)$ e
     \begin{equation}
         x'(t) \in - \nabla_G f(x(t)), \quad \text{para } \lambda\text{-a.e } t \in (0,+\infty),
     \end{equation}
     onde $\lambda$ é a medida de Lebesgue. Note que dizemos que $x$ começa em $x_0$ se
     $\lim_{t \to 0^+} x(t) = x_0$.
-\end{definition}
+\end{definition}
+
+\subsection{Resultados Básicos de Existência e Unicidade}
+
+Uma vez introduzida a ideia de fluxo de gradiente, vamos agora provar alguns
+resultados básicos relacionados ao sistema de equações
+
+\begin{equation}
+    \begin{cases}
+        x'(t) \in -\partial F(x(t)), \ \text{para quase todo } t>0,\\
+        x(0)  = x_0.
+    \end{cases}
+    \label{eq:fluxograd}
+\end{equation}
+
+Veja que agora a função $F$ não é mais necessariamente derivável. Este cenário
+é bem menos restrito que o que apresentamos logo no início do capítulo.
+
+\begin{lemma}
+    Seja $f:\mathbb R^n \to \mathbb R \cup \{+\infty\}$ convexa, $p_1 \in \partial f(x_1)$
+    e $p_2 \partial f(x_2)$. Então
+    \begin{equation}
+        \langle p_1 - p_2, x_1 - x_2 \rangle \geq 0.
+    \end{equation}
+\end{lemma}
+\begin{prf}
+    Pela definição de subdiferencial, temos que
+    \begin{align*}
+        &p_1 \in \partial f(x_1) \implies f(x_2) \geq f(x_1) + \langle p_1, x_2 - x_1\rangle\\
+        &p_2 \in \partial f(x_2) \implies
+        f(x_1) \geq f(x_2) + \langle p_2, x_1 - x_2\rangle.
+    \end{align*}
+    Assim, somando as duas equações, temos que
+    \begin{align*}
+        &f(x_2) + f(x_1) \geq f(x_1) + f(x_2) +
+        \langle p_1, x_2 - x_1\rangle
+        \langle p_2, x_1 - x_2\rangle
+    \end{align*}
+    Rearranjando, obtemos
+    \begin{align*}
+        &0 \geq
+        \langle p_1,x_2 \rangle
+        -\langle p_2,x_1 \rangle
+        \langle p_2,x_1 \rangle
+        -\langle p_2,x_2 \rangle \\
+        &\implies
+        \langle p_1 - p_2 , x_1 - x_2 \rangle \geq 0.
+    \end{align*}
+\end{prf}
+
+\begin{theorem}
+    Seja $F:\mathbb R^n \to \mathbb R$ \textbf{convexa}, $x_0 \in \mathbb R^n$, e
+    $x_1$ e $x_2$ duas soluções de \eqref{eq:fluxograd}.
+    Então,
+    \begin{equation}
+        |x_1(t) - x_2(t)| \leq |x_1(0) - x_2(0)|, \ \forall t >0.
+    \end{equation}
+    Logo, a solução do sistema de equações é única.
+\end{theorem}
+\begin{prf}
+    Primeiro, faça $g(t) = \frac{(x_1(t) - x_2(t))^2}{2}$, e toma a derivada em $t$. Assim
+    \begin{equation*}
+        g'(t) = \langle x_1(t) - x_2(t), x_1'(t) - x_2'(t) \rangle.
+    \end{equation*}
+    Usando o fato que
+    $x_1'(t) \in \partial F(x_1(t))$ e
+    $x_2'(t) \in \partial F(x_2(t))$, temos pelo lemma que acabamos de demonstrar que
+    \begin{equation*}
+        g'(t) = \langle x_1'(t) - x_2'(t) , x_1(t) - x_2(t) \rangle \geq 0.
+    \end{equation*}
+    Além disso, como ambas as soluções começam em $x_0$, temos que $g(0) = 0 \geq g(t)$, já que
+    a derivada de $g(t)$ é sempre menor ou igual a zero. Portanto
+    \begin{align*}
+        g(t) = \frac{(x_1(t) - x_2(t))^2}{2} \leq 0 &\implies
+        |x_1(t) - x_2(t)| \leq |x_1(0) - x_2(0)| = 0 
+        \\
+        &\implies
+        x_1(t) = x_2(t).
+    \end{align*}
+\end{prf}
+
+Podemos estender o resultado do teorema acima para o caso mais geral onde
+$F$ é $\lambda$-convexa. A demonstração é bastante parecida, porém, um pouco mais convoluta.
+Por conta disso optamos por apresentar os dois resultados de forma separada.
+
+\begin{theorem}
+    Seja  $F:\mathbb R^n \to \mathbb R$ \textbf{$\lambda$-convexa}, $x_0 \in \mathbb R^n$.
+    Então o sistema de equações \eqref{eq:fluxograd} tem uma solução única.
+    Além disso, se $\lambda >0$, a taxa de convergência para o mínimo global
+    de $F$ é exponencial, ou seja, para $x^* = \argmin_{x\in \mathbb R^n} F(x)$
+    \begin{equation}
+        |x(t) - x^*| \leq e^{-\lambda t}|x(0)- x^*|,
+    \end{equation}
+    onde $x(t)$ é a solução.
+\end{theorem}

Diff for: Notes-Portugues/Introducao-Transporte-Otimo.loe

@@ -70,22 +70,26 @@
 \contentsline {definition}{\ifthmt@listswap Definition~3.1.2\else \numberline {3.1.2}Definition\fi \thmtformatoptarg {$\lambda $-Convexidade}}{61}{definition.3.1.2}%
 \contentsline {definition}{\ifthmt@listswap Definition~3.1.3\else \numberline {3.1.3}Definition\fi \thmtformatoptarg {$\lambda $-Subdiferencial}}{62}{definition.3.1.3}%
 \contentsline {definition}{\ifthmt@listswap Definition~3.1.4\else \numberline {3.1.4}Definition\fi \thmtformatoptarg {Subdiferencial Generalizado}}{62}{definition.3.1.4}%
-\contentsline {definition}{\ifthmt@listswap Definition~3.1.5\else \numberline {3.1.5}Definition\fi \thmtformatoptarg {Fluxo de Gradiente}}{62}{definition.3.1.5}%
+\contentsline {definition}{\ifthmt@listswap Definition~3.1.5\else \numberline {3.1.5}Definition\fi \thmtformatoptarg {Fluxo de Gradiente}}{63}{definition.3.1.5}%
+\contentsline {lemma}{\ifthmt@listswap Lemma~3.1.1\else \numberline {3.1.1}Lemma\fi }{63}{lemma.3.1.1}%
+\contentsline {theorem}{\ifthmt@listswap Theorem~3.1.1\else \numberline {3.1.1}Theorem\fi }{64}{theorem.3.1.1}%
+\contentsline {theorem}{\ifthmt@listswap Theorem~3.1.2\else \numberline {3.1.2}Theorem\fi }{64}{theorem.3.1.2}%
 \addvspace {10\p@ }
-\contentsline {definition}{\ifthmt@listswap Definition~4.1.1\else \numberline {4.1.1}Definition\fi }{65}{definition.4.1.1}%
-\contentsline {definition}{\ifthmt@listswap Definition~4.1.2\else \numberline {4.1.2}Definition\fi }{65}{definition.4.1.2}%
-\contentsline {theorem}{\ifthmt@listswap Theorem~4.1.1\else \numberline {4.1.1}Theorem\fi }{65}{theorem.4.1.1}%
-\contentsline {theorem}{\ifthmt@listswap Theorem~4.1.2\else \numberline {4.1.2}Theorem\fi }{66}{theorem.4.1.2}%
-\contentsline {corollary}{\ifthmt@listswap Corollary~4.1.1\else \numberline {4.1.1}Corollary\fi }{66}{corollary.4.1.1}%
-\contentsline {proposition}{\ifthmt@listswap Proposition~4.1.1\else \numberline {4.1.1}Proposition\fi }{66}{proposition.4.1.1}%
-\contentsline {definition}{\ifthmt@listswap Definition~4.1.3\else \numberline {4.1.3}Definition\fi }{66}{definition.4.1.3}%
-\contentsline {theorem}{\ifthmt@listswap Theorem~4.1.3\else \numberline {4.1.3}Theorem\fi }{66}{theorem.4.1.3}%
-\contentsline {definition}{\ifthmt@listswap Definition~4.1.4\else \numberline {4.1.4}Definition\fi }{66}{definition.4.1.4}%
-\contentsline {theorem}{\ifthmt@listswap Theorem~4.1.4\else \numberline {4.1.4}Theorem\fi }{67}{theorem.4.1.4}%
-\contentsline {theorem}{\ifthmt@listswap Theorem~4.1.5\else \numberline {4.1.5}Theorem\fi }{67}{theorem.4.1.5}%
-\contentsline {definition}{\ifthmt@listswap Definition~4.1.5\else \numberline {4.1.5}Definition\fi }{67}{definition.4.1.5}%
-\contentsline {definition}{\ifthmt@listswap Definition~4.1.6\else \numberline {4.1.6}Definition\fi }{67}{definition.4.1.6}%
-\contentsline {theorem}{\ifthmt@listswap Theorem~4.1.6\else \numberline {4.1.6}Theorem\fi }{67}{theorem.4.1.6}%
-\contentsline {theorem}{\ifthmt@listswap Theorem~4.1.7\else \numberline {4.1.7}Theorem\fi }{67}{theorem.4.1.7}%
-\contentsline {lemma}{\ifthmt@listswap Lemma~4.2.1\else \numberline {4.2.1}Lemma\fi }{68}{lemma.4.2.1}%
-\contentsline {lemma}{\ifthmt@listswap Lemma~4.2.2\else \numberline {4.2.2}Lemma\fi }{69}{lemma.4.2.2}%
+\contentsline {definition}{\ifthmt@listswap Definition~4.1.1\else \numberline {4.1.1}Definition\fi }{67}{definition.4.1.1}%
+\contentsline {definition}{\ifthmt@listswap Definition~4.1.2\else \numberline {4.1.2}Definition\fi }{67}{definition.4.1.2}%
+\contentsline {theorem}{\ifthmt@listswap Theorem~4.1.1\else \numberline {4.1.1}Theorem\fi }{67}{theorem.4.1.1}%
+\contentsline {theorem}{\ifthmt@listswap Theorem~4.1.2\else \numberline {4.1.2}Theorem\fi }{68}{theorem.4.1.2}%
+\contentsline {corollary}{\ifthmt@listswap Corollary~4.1.1\else \numberline {4.1.1}Corollary\fi }{68}{corollary.4.1.1}%
+\contentsline {proposition}{\ifthmt@listswap Proposition~4.1.1\else \numberline {4.1.1}Proposition\fi }{68}{proposition.4.1.1}%
+\contentsline {definition}{\ifthmt@listswap Definition~4.1.3\else \numberline {4.1.3}Definition\fi }{68}{definition.4.1.3}%
+\contentsline {theorem}{\ifthmt@listswap Theorem~4.1.3\else \numberline {4.1.3}Theorem\fi }{68}{theorem.4.1.3}%
+\contentsline {definition}{\ifthmt@listswap Definition~4.1.4\else \numberline {4.1.4}Definition\fi }{68}{definition.4.1.4}%
+\contentsline {theorem}{\ifthmt@listswap Theorem~4.1.4\else \numberline {4.1.4}Theorem\fi }{69}{theorem.4.1.4}%
+\contentsline {theorem}{\ifthmt@listswap Theorem~4.1.5\else \numberline {4.1.5}Theorem\fi }{69}{theorem.4.1.5}%
+\contentsline {definition}{\ifthmt@listswap Definition~4.1.5\else \numberline {4.1.5}Definition\fi }{69}{definition.4.1.5}%
+\contentsline {definition}{\ifthmt@listswap Definition~4.1.6\else \numberline {4.1.6}Definition\fi }{69}{definition.4.1.6}%
+\contentsline {theorem}{\ifthmt@listswap Theorem~4.1.6\else \numberline {4.1.6}Theorem\fi }{69}{theorem.4.1.6}%
+\contentsline {theorem}{\ifthmt@listswap Theorem~4.1.7\else \numberline {4.1.7}Theorem\fi }{69}{theorem.4.1.7}%
+\contentsline {lemma}{\ifthmt@listswap Lemma~4.2.1\else \numberline {4.2.1}Lemma\fi }{70}{lemma.4.2.1}%
+\contentsline {lemma}{\ifthmt@listswap Lemma~4.2.2\else \numberline {4.2.2}Lemma\fi }{71}{lemma.4.2.2}%
+\contentsline {lemma}{\ifthmt@listswap Lemma~4.2.3\else \numberline {4.2.3}Lemma\fi \thmtformatoptarg {Lemma de Gronwall}}{71}{lemma.4.2.3}%

Diff for: Notes-Portugues/Introducao-Transporte-Otimo.lof

@@ -8,5 +8,5 @@
 \contentsline {figure}{\numberline {1.6}{\ignorespaces Illustration of the algorithm for optimally transporting distribution $\mu $ in blue to distribution $\nu $ in red.}}{38}{figure.1.6}%
 \addvspace {10\p@ }
 \addvspace {10\p@ }
-\contentsline {figure}{\numberline {3.1}{\ignorespaces Exemplo de subdiferencial.}}{62}{figure.3.1}%
+\contentsline {figure}{\numberline {3.1}{\ignorespaces Exemplo de subdiferencial. Perceba que considerando o subdiferencial generalizado, teríamos $p_1 \in \partial _G f(0)$ e $p_2 \in \partial _G f(0)$ para as duas imagens.}}{62}{figure.3.1}%
 \addvspace {10\p@ }

Diff for: Notes-Portugues/Introducao-Transporte-Otimo.pdf

@@ -95,7 +95,7 @@
 \newpage
 \tableofcontents
 \include{notation}
-\listoftheorems 
+\listoftheorems[onlynamed]
 \listoffigures
 
 \mainmatter

Diff for: Notes-Portugues/Introducao-Transporte-Otimo.synctex(busy)

@@ -20,6 +20,8 @@
 \contentsline {subsection}{\numberline {2.1.6}Wasserstein Gradient Flows}{58}{subsection.2.1.6}%
 \contentsline {chapter}{\numberline {3}Fluxo de Gradiente em Espaços de Wasserstein}{60}{chapter.3}%
 \contentsline {section}{\numberline {3.1}Introdução ao Fluxo de Gradiente}{61}{section.3.1}%
-\contentsline {chapter}{\numberline {4}Appendix}{65}{chapter.4}%
-\contentsline {section}{\numberline {4.1}Auxiliary - Probability and Analysis}{65}{section.4.1}%
-\contentsline {section}{\numberline {4.2}Auxiliary - Inequalities}{68}{section.4.2}%
+\contentsline {subsection}{\numberline {3.1.1}Definições Iniciais}{61}{subsection.3.1.1}%
+\contentsline {subsection}{\numberline {3.1.2}Resultados Básicos de Existência e Unicidade}{63}{subsection.3.1.2}%
+\contentsline {chapter}{\numberline {4}Appendix}{67}{chapter.4}%
+\contentsline {section}{\numberline {4.1}Auxiliary - Probability and Analysis}{67}{section.4.1}%
+\contentsline {section}{\numberline {4.2}Auxiliary - Inequalities}{70}{section.4.2}%

Diff for: Notes-Portugues/Introducao-Transporte-Otimo.tex

@@ -247,4 +247,16 @@ \section{Auxiliary - Inequalities}
 	\end{equation}
 	Where $||f||_{L^p(X)}^p = \int_X |f|^p d\mu$.
 	\label{lem:minkowski}
+\end{lemma}
+
+\begin{lemma}[Lemma de Gronwall]
+	Seja $f:I\to \mathbb R$ uma função contínua e não negativa
+	em um intervalo $I\subset \mathbb R$, tal que
+	\begin{equation}
+		f(t) \leq a +\left | \int_u^t b f(s) ds\right|
+	\end{equation}
+	para todo $t\in I$, com $a,b\geq 0$, e $u \in I$ constantes. Então
+	\begin{equation}
+		f(t) \leq a e^{b|t-u|}, \forall t \in I.
+	\end{equation}
 \end{lemma}