index.md

title	date	weight	draft	tags	description	images
Domein en beeld	2018-07-01 22:13:11 +0200	5	false	beeld van een functie bereik van een functie domein van een functie domein en beeld domein en bereik	Wat zijn domein en beeld of bereik van een functie? In deze les leggen we het domein en beeld of bereik van een functie uit. Dat doen we met behulp van verschillende illustraties zodat je een goede intuïtie krijgt voor deze begrippen.	/lessen/wiskunde/functies/domein_beeld/plt/fx.png /lessen/wiskunde/functies/domein_beeld/plt/dom.png /lessen/wiskunde/functies/domein_beeld/plt/bld.png

We kunnen niet altijd eender welk getal als $x$ kiezen om in ons functievoorschrift te stoppen. Omgekeerd is het mogelijk dat niet eender welk getal als $y$ uit de functie komt. Deze twee eigenschappen van een functie worden beschreven door het domein en het beeld van de functie.

Domein van een functie

Het domein van een functie is de verzameling van x-waarden waarvoor er een functiewaarde {{<mute "(een y-waarde)" >}} bestaat.

• Voor elke x-waarde die niet in het domein zit, bestaat er géén y-waarde.
• Voor elke x-waarde die wel in het domein zit, bestaat er juist één y-waarde.

Een typisch voorbeeld is het domein van de functie die als functievoorschrift heeft

$$f(x) = \sqrt{x}$$

Omdat de wortel van een negatief getal niet bestaat, kan $f(x)$ niet bestaan wanner x negatief is. Er bestaan met andere woorden géén y-waarden voor negatieve x-waarden. Het domein van deze functie $f$ is dus alle positieve reële getallen, want enkel voor positieve x-waarden bestaat er een functiewaarde. We schrijven:

$$dom f = \mathbb{R}^+$$

Dit kunnen we ook schrijven als een interval:

$$dom f = [0; +\infty[%]$$

Beeld van een functie

Het beeld of het bereik van een functie is de verzameling van alle y-waarden die ooit uit de functie kunnen komen.

Een typisch voorbeeld is het beeld van de functie die als functievoorschrift heeft

$$f(x) = x^2$$

Omdat het kwadraat van elk reëel getal positief is, kunnen er uit deze functie $f$ enkel positieve getallen komen. Met andere woorden is het beeld van deze functie alle positieve reële getallen. We schrijven:

$$bld f = \mathbb{R}^+$$

Dit kunnen we natuurlijk ook schrijven als een interval:

$$bld f = [0; +\infty[%]$$

Domein en beeld op een grafiek

Het domein en beeld van een functie kan je ook aflezen van de grafiek van die functie. Neem bijvoorbeeld de grafiek van de functie $$f(x) = 3\cdot \sqrt{x + 5} - 6$$ Die grafiek ziet er zo uit:

{{< bokeh "plt/fx.json" >}}

Om op deze grafiek het domein af te lezen, moet je de grafiek projecteren op de x-as. Het resultaat van de projectie is aangeduid {{< class "in het groen op de x-as" "green" >}}. {{< mute "We gaan ervan uit dat de grafiek oneindig blijft verder stijgen aan de rechterkant." >}} We zien dan dat $\green{dom f = [-5; +\infty[}$.

{{< bokeh "plt/dom.json" >}}

Het beeld {{< mute "(of het bereik)" >}} van diezelfde functie kunnen we vinden door de grafiek nu te projecteren op de y-as. Op de onderstaande grafiek zie je het resultaat van deze projectie {{< class "in het groen op de y-as" "green" >}}. {{< bokeh "plt/bld.json" >}} {{< mute "We gaan ervan uit dat de grafiek oneindig blijft verder stijgen aan de rechterkant." >}} Je vindt dat $\green{bld f = [-6; +\infty[}$.

Samengevat

{{< attention "Definitie domein" >}} Het domein van een functie is de verzameling van alle mogelijke x-waarden waarvoor er een functiewaarde bestaat. {{< /attention >}}

{{< attention "Definitie beeld" >}} Het beeld van een functie is de verzameling van alle mogelijke functiewaarden. {{< /attention >}}

{{< attention "Domein aflezen op een grafiek" >}} Het domein van een functie lees je af op een grafiek door de grafiek te projecteren op de x-as. {{< /attention >}}

{{< attention "Beeld aflezen op een grafiek" >}} Het beeld van een functie lees je af op een grafiek door de grafiek te projecteren op de y-as. {{< /attention >}}