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Author: liuxinyu95

search/search-zh-cn.tex

@@ -389,7 +389,7 @@ \subsubsection{二分查找}
 
 这一函数按照单调增的顺序检查解的可能范围。它首先从$X$选择一个候选元素$x_1$，比较$a^{x_1}$和$y$，如果相等，则$x_1$就是方程的解；如果小于$y$，则丢弃$x_1$，继续在剩余的元素$X'$中查找；否则，由于函数$f(x)=a^x$在$a$为自然数时，是非减函数，剩余元素会令$f(x)$变得更大，因此方程不存在整数解。这种情况下我们返回错误。
 
-对于很大的$a$和$x$，如果需要保持精度，则计算$a^x$会消耗一定的时间\footnote{当然，我们可以复用$a^n$的结果来计算$a^{n+1} = a a^n$。这里我们考虑一般意义下的单调函数$f(n)$。}。有没有什么办法可以减小计算量呢？我们可以使用分而治之的二分查找来进行改进。我们可以估计出解的范围的上限。由于$a^y \leq y$，我们可以在区间$\{0, 1, ..., y\}$内搜索。由于函数$f(x) = a^x$是非减函数，对于自变量$x$，我们可以先检查区间的中点$x_m = \lfloor \frac{0 + y}{2} \rfloor$，如果$a^{x_m} = y$，则$x_m$就是方程的解；如果值小于$y$，我们可以丢弃$x_m$前的全部元素；否则，我们丢弃$x_m$后的全部元素；两种情况下都将搜索范围减半。我们重复这一过程直到找到解或者查找范围变成空，这表示方程不存在整数解。
+对于很大的$a$和$x$，如果需要保持精度，则计算$a^x$会消耗一定的时间\footnote{当然，我们可以复用$a^n$的结果来计算$a^{n+1} = a a^n$。这里我们考虑一般意义下的单调函数$f(n)$。}。有没有什么办法可以减小计算量呢？我们可以使用分而治之的二分查找来进行改进。我们可以估计出解的范围的上限。由于$a^y \geq y$，我们可以在区间$\{0, 1, ..., y\}$内搜索。由于函数$f(x) = a^x$是非减函数，对于自变量$x$，我们可以先检查区间的中点$x_m = \lfloor \frac{0 + y}{2} \rfloor$，如果$a^{x_m} = y$，则$x_m$就是方程的解；如果值小于$y$，我们可以丢弃$x_m$前的全部元素；否则，我们丢弃$x_m$后的全部元素；两种情况下都将搜索范围减半。我们重复这一过程直到找到解或者查找范围变成空，这表示方程不存在整数解。
 
 二分查找的方法可以形式化为下面式(\ref{eq:bsearch})的定义。其中，我们将非减函数抽象为一个参数。为了解决上面的方程，我们只需要调用$bsearch(f, y, 0, y)$，其中$f(x) = a^x$。