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\input{preamble.tex}
\title{Herleitungen für Fragenblatt zur Theo II}
\begin{document}
\input{subtex/introduction.tex}
\newpage
\textbf{Frage 1.1}
\begin{equation*}
\begin{split}
\grad \rr{1}
&= \partial_i \vu e_i \frac{1}{\abs{r_i \vu e_i - r_i' \vu e_i}}
\quad\text{Notation: } \vb* r = r_i \vu e_i = \sum_i r_i \vu e_i\\
&= \vu e_i \partial_i \frac{1}{\sqrt{(r_i-r_i')_i^2}}
\quad\text{Notation: }(r_i-r'_i)^2_i=\sum_i(r_i-r'_i)^2\\
&=
-\frac{2(r_i-r_i')_i}{2\qty[\sqrt{(r_i-r_i')_i^2}]^{3}}\vu e_i \\
&= -\frac{\vb* r - \vb* r'}{\abs{\vb* r - \vb* r'}^3}
\end{split}
\end{equation*}
\textbf{Frage 1.2}
für $\vb* r \neq \vb* r'$
\begin{equation*}
\begin{split}
\Delta \rr{1}
&=-\div\frac{\vb* r - \vb* r'}{\abs{\vb* r - \vb* r'}^3}\\
&=-\partial_i \vu e_i \cdot
\frac{r_i \vu e_i - r'_i \vu e_i}
{\qty[(r_i - r'_i)_i^2]^{3/2}}\\
&=-\qty(
\frac{3}{\qty[(r_i - r'_i)_i^2]^{3/2}}
+(r_i-r'_i)_i\qty(-\frac{3}{2})\frac{2(r_i-r'_i)}
{{\qty[(r_i-r'_i)_i^2]}^{5/2}}
)\\
&=-\qty(
\frac{3}{\qty[(r_i-r'_i)_i^2]^{3/2}}
+ \frac{-3(r_i-r'_i)_i^2}{\qty[(r_i-r'_i)_i^2]^{5/2}}
)\\
&=0
\end{split}
\end{equation*}
für $\vb* r=\vb* r'$
\begin{equation*}
\rr{1}\to \infty\quad \text{und}\quad \Delta\rr{1}\ \text{undefiniert}
\end{equation*}
Dies ist sind genau die Eigenschaften der $\delta$-Distribution.
Man weißt also dass $\Delta \rr{1}=-C\delta(\vb* r - \vb* r')$
Man möchte C noch finden:
\begin{equation*}
\int_V dV \Delta \rr{1}
= -\int_V dV \div \frac{\vb* r - \vb* r'}{\abs{\vb* r - \vb* r'}^3}
= -\int_{\partial V}
d\vb* A \frac{\vb* r - \vb* r'}{\abs{\vb* r - \vb* r'}^3}
\end{equation*}
Führe die Koordinaten $\tilde {\vb* {r}} = \vb* r-\vb* r'$ ein.
$d\tilde {\vb* A} =dA \vu { e}_{\tilde r}$. Bemerke dass
$(\vb* r-\vb*r')\cdot d\vb* A= \tilde{\vb* r}\cdot d\tilde{\vb* A}$
\begin{equation*}
= -\int_{\partial V}
d\tilde{\vb*{A}} \frac{\tilde{\vb* {r}}}{\abs{\tilde{\vb*{r}}}^3}
= -\int_{\partial V}
d\tilde \Omega \tilde r^2 \frac{\tilde r}{\tilde r^3} = -4\pi
\end{equation*}
Es folgt dann aus der Definition der $\delta$-Distribution dass
\begin{equation*}
-4\pi = \int dV \Delta \rr{1} = -\int dV C\delta(\vb* r - \vb* r')
\Rightarrow C=4\pi
\end{equation*}
Sodass insgesammt gilt:
\begin{equation*}
\Delta \rr{1} = -4\pi \delta (\vb* r - \vb* r')
\end{equation*}
\newpage
\textbf{Frage 2.1}
\begin{equation*}
\text{Zz:}\quad
\rr{1}= \frac{1}{\abs{\vb*r}}
+\frac{\vb*r\cdot\vb*r'}{\abs{\vb*r}^3}
+\frac{1}{2}\sum_{i,j=1}^3 \frac{3r_ir_j-\delta_{ij}\vb*r^2}{r^5}
r_i'r_j'
\end{equation*}
Eine allgemeine mehrdimensionale Taylorentwicklung wird gegeben durch:
\begin{equation*}
f(\vb*\alpha, \vb*\beta)
=\qty(\exp(\vb*\beta\cdot\nabla_{\vb*\beta'})
f(\vb*\alpha, \vb*\beta'))
\bigg|_{\vb*\beta=\vb*\beta_0}
=\qty(\sum_{n=0}^\infty
\frac{(\vb*\beta\cdot\nabla_{\vb*\beta'})^n}{n!}
f(\vb*\alpha, \vb*\beta'))
\bigg|_{\vb*\beta'=\vb*\beta_0}
\end{equation*}
Man bemerke dass $\nabla$ einen Operator ist! Die exponential Funktion
dient hier nur zur vereinfachung der Darstellung!
Man Taylore um $\vb*r'=0$ (dies heißt, daß $\vb*r\gg\vb*r'$ sodass
$\vb*r-\vb*r'\approx\vb*r$, dafür muss $\vb*r$ natürlich weit
von der Quelle entfernt sein).
Man definiere nun $f(\vb*r,\vb*r')=f(r_1,r_2,r_3,r_1',r_2',r_3')
\equiv\rr{1}$
Sodass bis zur 2. Ordnung die Taylorentwicklung für unsere Funktion
wie folgt aussieht:
\begin{equation*}
\rr{1}=f(\vb*r, 0)
+ (\vb*r'\cdot \nabla_{\vb*{\bar{r}'}}) f(\vb*r, \vb*r')\bigg|_{\vb*r'=0}
+ \frac{1}{2}(\vb*r'\cdot\nabla_{\vb*{\bar r'}})^2
f(\vb*r,\vb*{\bar r}')
\bigg|_{\vb*{\bar r'}=0}
+ \ldots
\end{equation*}
\underline{0. Ordnung:}
\begin{equation*}
\frac{1}{\abs{\vb*r-\vb*{\bar r'}}}\bigg|_{\vb*{\bar r'}=0}
= \frac{1}{\abs{\vb*r}}= \frac{1}{r}
\end{equation*}
\underline{1. Ordnung:}
\begin{equation*}
\vb*{\bar r'}\cdot
\nabla_{\vb*{\bar{r}'}}\frac{1}{\abs{\vb*r-\vb*{\bar{r}'}}}
\bigg|_{\vb*{\bar r'}=0}
\stackrel{\text{F1.1}}{=} \frac{\vb*{\bar r'}\cdot\vb*r}{r^3}
\end{equation*}
(Man bemerke dass hier nach $-\vb*{\bar r'}$ ableitet,
wodurch man das Negative von Frage 1.1 erhält)
\underline{2. Ordnung:}
\begin{equation*}
\begin{split}
\frac{1}{2}(\vb*{\bar r'}\cdot\nabla_{\vb*{\bar{r}'}})^2
\frac{1}{\abs{\vb*r-\vb*{\bar r'}}}\bigg|_{\vb*{\bar r'}=0}
&=
\frac{1}{2}\qty[r_i'\pdv {\bar r_i'}]\qty[r_j'\pdv{\bar r_j'}]
\frac{1}{\abs{\vb*r-\vb*{\bar r'}}}
\bigg|_{\vb*{\bar r'}=0}\\
&=
\frac{r'_ir'_j}{2}
\frac{\partial^2}{\partial_{\bar r_i'}\partial_{\bar r_j'}}
\frac{1}{\abs{\vb*r-\vb*{\bar r'}}}\bigg|_{\vb*{\bar r'}=0}\\
&\stackrel{\text{F1.1}}{=}
\frac{r'_ir'_j}{2} \frac{\partial}{\partial_{\bar r_i'}}
\frac{x_j}{\abs{\vb*r-\vb*{\bar r'}}^3}\bigg|_{\vb*{\bar r'}=0}\\
&=
\frac{r'_ir'_j}{2} \frac{\partial}{\partial_{\bar r_i'}}
\frac{x_j}{\abs{\vb*r-\vb*{\bar r'}}^3}\bigg|_{\vb*{\bar r'}=0}
\qquad x_j\equiv (r_j-\bar r_j')\\\
&=
\frac{r'_ir'_j}{2}
\qty(
\text{-}\frac{3}{2}
\frac{\text{-}2x_i x_j}{\abs{\vb*r-\vb*{\bar r'}}^5}
-\frac{\delta_{ij}}{\abs{\vb*r-\vb*{\bar r'}}^3}
)\bigg|_{\vb*{\bar r'}=0}\quad\text{(Produktregel)}\\
&=
\frac{1}{2}\sum_{i,j=1}^3 \frac{3r_ir_j-\delta_{ij}\vb*r^2}{r^5}
r_i'r_j'
\end{split}
\end{equation*}
\textit{Eine wichtige Bemerkung:}
Aus Symmetrie gründe gilt
\begin{equation*}
\frac{1}{2}\sum_{i,j=1}^3 \frac{3r_ir_j-\delta_{ij}\vb*r^2}{r^5}
r_i'r_j'
=
\frac{1}{2}\sum_{i,j=1}^3 \frac{3r'_ir'_j-\delta_{ij}\vb*r'^2}{r^5}
r_ir_j
\end{equation*}
Wir benutzen im allgemeinen die letzte Definition wenn wir die
elektrische und magnetische Multipole berechnen!
\end{document}