O nosso computador é uma máquina poderosa capaz de receber e realizar instruções das mais variadas maneiras. Utilizar o teclado para exibir caracteres em um editor de texto. Clicar em um ícone e abrir algum programa. O simples movimento do mouse reproduzido no ponteiro da tela. Esses são alguns dos exemplos que o computador precisa de "pensar" para responder de maneira correta. O mais incrível é que ele faz isso utilizando apenas números. Apenas zeros e uns.
O Sistema Binário nada mais é que um sistema numérico onde só existem dois algarismos distintos: 0 e 1. O nosso sistema numérico convencional é o sistema decimal - ou de base 10 - onde existem 10 algarismos distintos, os números de 0 a 9. Cada posição de algarismo tem um nome específico, sendo eles a unidade, dezena, centena e assim por diante. No mundo computacional, simplifica-se chamando essas posições de bit.
No sistema binário, um bit é o nome dado ao seu algarismo. Veremos adiante que o número 7 tem como representação binária o número 0111. Isso quer dizer que o primeiro bit - ou bit zero - é 1, o segundo bit, também, é 1 e assim por diante até o quarto e último bit igual a 0. A representação convencionalmente é lida da direita para a esquerda e não devemos esquecer isso.
Além dos bits, existe seu irmão mais velho: o byte. Um byte é representado por 8 bits e o maior número possível para sua representação é 11111111 = 255 e o menor 00000000 = 0. Logo, com 256 combinações possíveis podemos representar os números entre 0 e 255. Esse agrupamento de bits formando o byte é muito comum e prático para representar grandes quantidades de bits. Um exemplo típico é o tamanho de arquivos do nosso sistema operacional que vão de bytes até gigabytes.
Exemplos futuros irão envolver configuração de sensores e muitas dessas configurações trata-se de ligar e desligar bits. A leitura dos sensores são feitas em nível binário e conversões são necessárias para facilitar a manipulação matemática. Aprender a quantidade de espaço em bits que uma variável de seu programa consegue armazenar, estouro de memória, alocação dinâmica, dentre outros desafios que precisam de um conhecimento prévio do sistema numérico que os computadores utilizam. Portanto, é importante começar com o pé direito e entender as pequenas coisas para construir grandes projetos.
O número 13 na base decimal é o número 1101 (leia-se um, um, zero, um) na base binária. Foram precisos 4 bits para sua representação, enquanto que, na base em que estamos acostumados, apenas dois algarismos são utilizados. Por que tão diferentes?
A equação final acima está matematicamente correta e apenas representamos o número explicitando a base.
A representação da multiplicação no computador é dada pelo símbolo * enquanto que a representação da pontenciação é dado por ^. De maneira genérica, existe uma forma de converter qualquer número em uma determinada base para a base decimal.
onde algarismo é um dos algarismos que representa a base, isto é, para a base decimal será algum número entre 0 e 9 e para a base binária será 0 ou 1. A posição representa onde ele está posicionado começando do zero e contando da direita para a esquerda. O número 0111 é representado por quem na base decimal? Simples, usando a fórmula
Descobrimos que é o número 7. Utilizando a mesma fórmula é possível verificar que o número 1101 apresentado anteriormente, é, de fato, o número 13. Apesar de simples não é funcional utilizar a fórmula insistentemente. Se acostumar em anotar todas as potências de 2 acima dos bits é uma boa prática para evitar o uso da fórmula. As potências de 2, partindo do primeiro bit - ou bit 0 - é 2^0 = 1, o segundo bit é 2^1 = 2, o terceiro 2^2 = 4 e assim por diante.
0 1 1 1
Intuitivamente conseguimos ver que 0 representa um bit "desligado" e 1 "ligado". Logo, 4 + 2 + 1 = 7 e chegamos ao resultado mais rápido. É importante notar que os bits que possuem valores maiores, isto é, os mais significativos, ficam à esquerda e os menos significativos à direita. É por isso que o 1 está à direita, enquanto que o 8 está à esquerda. Para agilizar ainda mais a conversão e se habituar a fazer de cabeça, é interessante entender quantos bits são necessários para se representar um determinado número.
Observe a tabela a seguir que converte os 10 algarismos iniciais da base 10 para a base binária utilizando 4 bits.
| Base decimal | Base binária |
|---|---|
| 0 | 0000 |
| 1 | 0001 |
| 2 | 0010 |
| 3 | 0011 |
| 4 | 0100 |
| 5 | 0101 |
| 6 | 0110 |
| 7 | 0111 |
| 8 | 1000 |
| 9 | 1001 |
Até o número 7 era possível utilizar apenas 3 bits (ou até menos) para sua representação, já que zeros à esquerda são desprezíveis para computador (algo natural, visto que 01 é o mesmo que 1). A partir do número 8, 4 bits foram necessários para sua representação. Quantos bits seriam necessários para representar o número 1023 por exemplo? Se continuássemos a acrescentar bits a esquerda, teríamos
0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
Um total de 10 bits para sua representação. Não existe uma fórmula tão direta e simples para calcular o número exato de bits, porém é possível saber qual o maior número baseado no número de bits disponíveis. Pela fórmula (base)^(número de bits) - 1 conseguimos identificar qual o maior número da faixa. Logo, com 10 bits 2^10 - 1 = 1023 é o maior número que pode ser representando, enquanto que o menor é 0. O número que está entre essa faixa é obtido através de um malabarismo entre os valores dos bits.
Existem quatro operações básicas na matemática: soma +, subtração -, multiplicação * e divisão /. Dentre elas, a mais usada no sistema binário é a soma. Há também operações lógicas como AND, OR, XOR e NOT são classificadas como operações bitwise ou bit a bit. Além delas, os deslocamentos à direita e esquerda são fortemente utilizados e classificados como operações de deslocamentos. Esses, que caracterizam a multiplicação e a divisão no mundo da computação.
Somar dois números na base 10 é bem simples e muitas das vezes não é preciso colocar no papel. Já no sistema binário, por envolver mais algarismos (bits), não é tão fácil sem um pouco de prática. Seja o exemplo a seguir
+ 1 0 1 0
=======
Foi marcado em azul e vermelho duas situações de acontecer. Somar 1 com 0 e 1 com 1. Só para completar, o sistema binário não é mágico, então somar 0 com 0 continua sendo 0. A operação em azul é simples e direta: 1 + 0 = 1.
+ 1 0 1 0
=======
1
A segunda soma já temos o fenômeno do "vai um" na matemática, logo 1 + 1 = 10. Um pouco estranho, mas não podemos esquecer que estamos na base binária agora. Traduzindo 10 para a base decimal e lembrando que o bit 1 - ou segundo bit - equivale a 1*2^1 = 2 temos que o número 10 na base binária é o número 10 = 1*2^1 + 0*2^0 = 2 na base decimal. Daí temos que,
0 0 1 1
+ 1 0 1 0
=======
1 1 0 1
A terceira e a quarta soma são idênticas a primeira, logo temos que o número final é 1101. Fica como desafio, converter os três números para a base decimal e verificar se a soma está correta. Após a apresentação da operação de soma na base binária não é difícil perceber que é bem direta e simples, mas existe um pequeno problema que muitos projetistas acabam pecando. Vamos analisar a soma de dois números novamente, agora o primeiro sendo 0111. A primeira e a segunda soma continuarão sendo idênticas, porém a terceira e a quarta deixaram de ser 1 + 0 e passaram a ser 1 + 1. Se continuarmos as operações, chegamos ao seguinte resultado.
0 1 1 1
+ 1 0 1 0
=======
0 0 0 1
Aquele último 1 a esquerda foi perdido, pois não existem bits disponíveis para representá-lo. Esse fenômeno de perda chama-se overflow. O que aconteceu ali? Com 4 bits, o número máximo que conseguimos represetar é o número 15 e o seu equivalente na base binária é 1111. Intuitivamente, o número que não consegue ser representado deve ser superior a 15 e de fato é. 10001 na base decimal é o 17 e para que ele exista, sua resolução mínima é de 5 bits.
O operador lógico NOT ~ é a operação mais básica no sistema binário, representando a inversão. Esse operador é aplicado diretamente em um número binário não necessitando de dois números se relacionarem. Para ilustrar como os bits são afetados por esse operador é importante apresentar a tabela verdade. Seja um número A representado na base binária e de apenas 1 bit, tem-se
| A | ~A |
|---|---|
| 0 | 1 |
| 1 | 0 |
Se adotarmos que 0 representa falso e 1 verdadeiro, a tabela verdade mostra que o resultado é apenas a contradição do outro, ou seja, se verdadeiro é falso e se falso é verdadeiro. Com um exemplo mais prático, podemos aplicar a tabela verdade bit a bit e encontrar o resultado da operação.
=======
0 1 0 0
Esse tipo de operação traz exclusividade quando queremos identificar as posições dos números 0 ou 1. Nesse caso, podemos ver que o único bit representado por 0 está na terceira posição (da direita para a esquerda).
O operador lógico AND & é similar a operação de interseção na matemática. Para ilustrar como os bits são afetados por esse operador é importante apresentar a tabela verdade. Seja dois números A e B representados na base binária e de apenas 1 bit, tem-se
| A | B | A & B |
|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 0 |
| 1 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 |
Se adotarmos que 0 representa falso e 1 verdadeiro, a tabela verdade mostra que o resultado é apenas verdadeiro se, e somente se, os dois são verdadeiros. Com um exemplo mais prático, podemos aplicar a tabela verdade bit a bit e encontrar o resultado da operação.
& 1 0 1 0
=======
1 0 1 0
É fácil perceber que apenas a primeira e terceira operação equivale a 1. Esse tipo de operação traz exclusividade quando queremos identificar em um número com muitos bits aquelas posições onde o bit equivale a 1 em ambos os números.
O operador lógico OR | é similar a operação de união na matemática. Para ilustrar como os bits são afetados por esse operador é importante apresentar a tabela verdade. Seja dois números A e B representados na base binária e de apenas 1 bit, tem-se
| A | B | A | B |
|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 1 |
| 1 | 1 | 1 |
Se adotarmos que 0 representa falso e 1 verdadeiro, a tabela verdade mostra que o resultado é apenas verdadeiro quando um ou ambos são verdadeiros. Com um exemplo mais prático, podemos aplicar a tabela verdade bit a bit e encontrar o resultado da operação.
| 1 0 1 0
=======
1 0 1 1
Utilizando o mesmo exemplo do operador lógico AND obtivemos um resultado diferente. Apenas o terceiro bit (da direita para a esquerda, sempre!) permaneceu 0. Isso mostra que o operador | é bastante utilizado para identificar quais as posições dos bits que em ambos os números estão demarcados por 0.
O operador lógico XOR ^ é similar a operação de união exclusiva na matemática. Para ilustrar como os bits são afetados por esse operador é importante apresentar a tabela verdade. Seja dois números A e B representados na base binária e de apenas 1 bit, tem-se
| A | B | A ^ B |
|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 1 |
| 1 | 1 | 0 |
Se adotarmos que 0 representa falso e 1 verdadeiro, a tabela verdade mostra que o resultado é apenas verdadeiro se, e somente se, apenas um deles é verdadeiro. Com um exemplo mais prático, podemos aplicar a tabela verdade bit a bit e encontrar o resultado da operação.
^ 1 0 1 0
=======
0 0 0 1
Utilizando o mesmo exemplo do operador lógico AND obtivemos um resultado diferente. Apenas o primeiro bit equivale a 1. Isso mostra que o operador ^ é bastante utilizado para identificar quais as posições dos bits que são exclusivas, ou seja, bit equivalente a 1 em apenas um dos números.
A imagem abaixo ajuda a identificar, visualmente, os três operadores explicados anteriormente.
A interseção (AND) dos conjuntos A e B representa a região 2 colorida de roxa. A união (OR) dos conjuntos A e B representa a região 1 colorida de azul somada com a região 2 colorida de roxa. Por fim, a operação de exclusivdade (XOR) entre os conjuntos A e B são as regiões 1 e 3 isoladas, coloridas, respectivamente, de azul e rosa.
O operador de deslocamento de bits para a esquerda << representa a multiplicação na matemática. Seja o exemplo abaixo, o número 0011 foi representado por 4 bits, ou seja, sua resolução é de 4 bits e seu valor equivalente na base decimal é 3.
0 0 1 1
O deslocamento de bits à esquerda multiplica o valor atual na base decimal daquele número pela sua base vezes a quantidade deslocada, ou seja
Vale lembrar que o símbolo * representa a multiplicação no mundo computacional. Logo, se efetuarmos a seguinte operação:
0 0 1 1 << 1
=======
0 1 1 0
O número atual na base 2 deslocado à esquerda de 1, operação marcada em vermelho, teve como resultado, em azul, o número 0110 equivalente a 6 na base que estamos acostumados. Isso já era de se esperar já que 3 * (base) * (quantidade deslocada) = 3 * (2) * (1) = 6.
No sistema binário, basta deslocar os bits e esquecer a fórmula. Se deslocarmos duas vezes para a esquerda teriamos 1100 o que equivale a 12 na base decimal, basta verificar caso queira utilizar a fórmula.
É preciso tomar cuidado com esse operador, pois se o deslocamento for de muitos bits aconteceria o fenômeno de overflow, já que a resolução do número seria muito pequena para sua representação.
O operador de deslocamento de bits para a direita >> representa a divisão na matemática. Partindo do mesmo exemplo anterior, porém começando de trás para frente, o número 0110, que já sabemos que é 6 tem uma resolução de 4 bits e está com o segundo e terceiro bit ligados. Logo,
0 1 1 0
O deslocamento de bits à direita divide o valor atual daquele número pela sua base vezes a quantidade deslocada, ou seja
Os parênteses que englobam (base) e (quantidade deslocada) só reforça que a divisão é feita pelo produto desses dois valores. Enquanto que o símbolo * representa a multiplicação na linguagem de programação, o símbolo / representa a divisão. A partir daqui, efetuamos a seguinte operação
0 1 1 0 >> 1
=======
0 0 1 1
O número atual na base 2 deslocado à direita de 1, operação marcada em vermelho, teve como resultado, em azul, o número 0011 equivalente a 3 na base que estamos acostumados. Isso já era de se esperar já que 6 / ((base) * (quantidade deslocada)) = 6 / ((2) * (1)) = 6 / 2 = 3. É preciso tomar cuidado com esse operador, pois se o deslocamento for de muitos bits aconteceria o fenômeno de underflow, bits à direita que foram deslocados e se perderam. Os fenômenos de underflow e overflow são parecidos, mudando apenas a direção em que os bits se perdem.
Um número pode ser representando em qualquer base que imaginar desde que seja um número natural diferente de zero. Algumas que se destacam são a base 2, base 8, base 10 e base 16. A base hexadecimal - ou 16 - é uma das bases mais usadas em aplicações de alto nível pelo fato de facilitar a representação de números binários.
Como dito anteriormente, a base binária possui apenas dois algarismos distintos 0 e 1. A base decimal possui 10 números de 0 a 9. E a base 16? Além dos números que compõe a base 10, a base hexadecimal acrescentou as letras de A até F. A tabela a seguir mostra essas letras e suas equivalências na base decimal.
| Base hexadecimal | Base decimal |
|---|---|
| A | 10 |
| B | 11 |
| C | 12 |
| D | 13 |
| E | 14 |
| F | 15 |
A princípio isso pode parecer bastante confuso, mas com um pouco de prática iremos ver que essa base é bastante útil. A base hexadecimal se relaciona com a base binária através de agrupamento de bits. Um único número na base 16 equivale a 4 bits. Tem-se
Partindo de uma sequência de 16 bits, dividiu-se em grupos de 4 bits. Analisando cada grupo, 0001 representa 1 na base decimal e hexadecimal. O número 1111 equivale a 15 e consultando a tabela, F é a letra correspondente. Se continuarmos, 1010 é a letra A e por fim, 0111 é o número 7. Com esse exemplo é possível ver que uma sequência um pouco mais extensa de bits pôde ser minimizada com a formação desses grupos e transformando a sequência para a base hexadecimal. Vale lembrar, que todas as operações explicadas anteriormente para a base binária são válidas, também, para a base hexadecimal.
Na prática, muitas dessas sequências são ainda maiores que 16 bits, portanto, a transformação de base é crucial para facilitar suas representações e manipulações.