PMS_PA5_Mem.Rmd

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title: "Aide mémoire PMS"
author: "Matisse Landais"
date: "21 February 2019"
output: html_document
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```{r setup, include=FALSE}
knitr::opts_chunk$set(echo = TRUE)
```

## Introduction

Ce fichier est un utilitaire me permettant de réutiliser mon code de TP et des exercices de PMS. 

### Exercice sur les températures

La température minimale suit une loi normale. $m$ est la moyenne empirique (0°C) et $S^{'}_n$ la variance empirique, de 2°C.
$$X\sim N(m,S^{'}_n)$$. On a 14 mesures de température. Le but est de trouver des intervalles de confiances au seuil de 5% pour la variance. 

Grâce à la loi de Fisher (7.4.6), on connait $m$ donc on peut trouver la fonction pivotale suivante : 
$$\frac{1}{\sigma^2}\sum_{i=1}^{n} (X_i-m)^2 = \frac{nS^2_n}{\sigma^2}\sim \chi^2_n$$ 

On veut un intervalle bilatérale ($\alpha/2$). 
On a une loi Khi-Deux avec n degrés de libertés et on veut trouver une borne pour la variance, en repartant de la définition : 
$$
P(a \leq \frac{nS²_n}{\sigma^2} \leq b) = P(\frac{nS^2_n}{b} \leq \sigma^2 \leq \frac{nS^2_n}{a}) = F_{\chi^2_n-1}(b) - F_{\chi^2_n-1}(a)
$$

Ici, l'intervalle voulu est bilatérale donc $F_{\chi^2_n-1}(b) = 1-\frac{\alpha}{2}$ et $F_{\chi^2_n-1}(a) = \frac{\alpha}{2} \\$. 

La table du Khi Deux donne $z_{n,\alpha}$, avec Z suivant une loi Khi Deux, $P(Z > z_{n,\alpha}) = 1-F_{\chi^2_n-1}(a) = \alpha$. On prend alors $$b = z_{n-1,\alpha/2} \\ a = z_{n-1,1-\alpha/2} \\ P(\frac{nS^2_n}{b} \leq \sigma^2 \leq \frac{nS²_n}{a}) = 1-\alpha$$

D'où : 
$$\Big[ \frac{nS^2_n}{z_{n-1,\alpha/2}}, \frac{nS^2_n}{z_{n-1,1-\alpha/2}} \Big] = \Big[ \frac{(n-1)S^{'2}_n}{z_{n-1,\alpha/2}}, \frac{(n-1)S^{'2}_n}{z_{n-1,1-\alpha/2}} \Big]$$
> A noter que si on connaît m, on ne divise que par KhiN et pas KhiN-1

### Modélisation en R 
```{r}
idcVar <- function(alpha, varEmp, n, type)
{
  n <- n
  varEmp <- varEmp 
  alpha <- alpha
  if(type=="bi")
  {
    i1=(n*varEmp)/qchisq(1-alpha/2,n)
    i2=(n*varEmp)/qchisq(alpha/2,n)
  }else if(type=="unig")
  {
    i1=(n*varEmp)/qchisq(1-alpha,n)
    i2="infini"
  }else{
    i1="0"
    i2=(n*varEmp)/qchisq(alpha,n)
  }




cat("[", i1, i2, "]")
}
```


On peut voir que l'écart entre V1 et V3 est plus faible qu'entre V2 et V4. Cela est du à la forme du Khi Deux. En l'infini, on voit que la densité est plus plate donc la variance plus forte. La différence est donc plus conséquente.
```{r}
#  [V3 .. V4]
idcVar(0.05,2,14, "bi")
# [V1 .. +infini]
idcVar(0.05,2,14,"unig")
# [0 .. V2]
idcVar(0.05,2,14, "unid")
```