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<!DOCTYPE html PUBLIC "-//W3C//DTD XHTML 1.0 Transitional//EN" "http://www.w3.org/TR/xhtml1/DTD/xhtml1-transitional.dtd">
<html xmlns="http://www.w3.org/1999/xhtml">
<head>
<meta http-equiv="Content-Type" content="text/html; charset=utf-8" />
<meta http-equiv="Content-Style-Type" content="text/css" />
<meta name="generator" content="pandoc" />
<title>Límites y continuidad</title>
<style type="text/css">code{white-space: pre;}</style>
<link rel="stylesheet" href="otro.css" type="text/css" />
<script src='https://cdnjs.cloudflare.com/ajax/libs/mathjax/2.7.2/MathJax.js?config=TeX-MML-AM_CHTML'></script>
<!--<script src="http://cdn.mathjax.org/mathjax/latest/MathJax.js?config=TeX-AMS-MML_HTMLorMML" type="text/javascript"></script>-->
<link rel="stylesheet" type="text/css" href="https://jsxgraph.uni-bayreuth.de/distrib/jsxgraph.css" />
<script type="text/javascript" src="https://jsxgraph.uni-bayreuth.de/distrib/jsxgraphcore.js"></script>
</head>
<body>
<div id="header">
<h1 class="title">Límites y continuidad</h1>
</div>
<section>
<header>
<h1 id="continuidad">Continuidad</h1>
</header>
<p>Una función <span class="math">\(f\)</span> es <em>continua</em> en un punto <span class="math">\(a\)</span> de su dominio si se cumple que <span class="math">\[\lim_{x \to a} f(x) = f(a).\]</span></p>
<p>En la siguiente gráfica se representa la función
\[
f(x)=\begin{cases} x^2+\frac{12}2x+\frac{17}2, & \text{si $x < -1$}, \\
\frac{2}{3}x + \frac{5}3, & \text{si $x \ge -1$}.
\end{cases}
\]
En el eje de abscisas se representa el intervalo \(I=[x-\delta,x+\delta]\) (azul). En el eje de ordenadas se dibuja la imagen de \(I\) por \(f\) (rojo). El valor de \(x\) se elige desplazando el punto azul claro en el eje de ordenadas. El valor de \(\delta\) se modifica con el deslizador.
Para un entorno \(J\) de \(f(-1)\) suficientemente pequeño, y cualquier entorno \(I\) de \(-1\), habrá siempre elementos que se aplican por \(f\) fuera de \(J\). Por tanto, la función no es contínua en \(-1\).
<p><div id="box_p2" class="jxgbox" style="width:600px; height:600px; display:inline-block;"></div>
</p>
<!--basado en el ejemplo http://www.mathdemos.mobi/domainrange/index.shtml
añadido deslizador de delta y visualizador de la imagen del intervalo [s,s+delta]
-->
<script type="text/javascript">
//JXG.Options.text.useMathJax = true;
var board_p2 = JXG.JSXGraph.initBoard('box_p2', {boundingbox: [-6, 5, 4, -5], axis:true,grid:true,showCopyright:false,showNavigation:false});
var f_p2 = function(x) {
if (x>=-5 && x< -1){
return (x*x+6.5*x+8.5);
} else if (x>=-1 && x<=2){
return 2/3*x + 5/3;
}
};
graph_p2=board_p2.create('functiongraph',[f_p2,-6,4],{strokeColor:'black'});
var ep1_p2=board_p2.create('point',[-5,1],{strokeColor:'black',fillColor:'black',name:''});
var ep2_p2=board_p2.create('point',[-1,3],{strokeColor:'black',fillColor:'white',name:''});
var ep3_p2=board_p2.create('point',[-1,1],{strokeColor:'black',fillColor:'black',name:''});
var ep4_p2=board_p2.create('point',[2,3],{strokeColor:'black',fillColor:'black',name:''});
ep1_p2.setProperty({fixed:true});
ep2_p2.setProperty({fixed:true});
ep3_p2.setProperty({fixed:true});
ep4_p2.setProperty({fixed:true});
var ox1 = board_p2.create('point',[-5,0],{visible:false})
var ox2 = board_p2.create('point',[2,0],{visible:false})
var sx = board_p2.create('segment',[ox1,ox2], {visible:false})
var v_x = board_p2.create('glider', [-1,0,sx], {strokeColor:'black',fillColor:'lightblue',name:'x'})
//var s_p2 = board_p2.create('slider',[[-5,-4],[2,-4],[-5,-1,2]],{name:"x"});
var d_p2 = board_p2.create('slider',[[-4.5,-3.5],[-2.5,-3.5],[0,.25,2]],{name:"\u03B4"});
var sf=board_p2.create('functiongraph',[f_p2,function(){return v_x.X()-d_p2.Value();;},function(){return v_x.X()+d_p2.Value();}],{strokeWidth:3, strokeColor:'green'})
var sf=board_p2.createElement('functiongraph',[function(){return 0;},function(){return v_x.X()-d_p2.Value();;},function(){return v_x.X()+d_p2.Value();}],{strokeWidth:3})
var pp1 = board_p2.create('point', [0,function(){return f_p2(v_x.X()-d_p2.Value());}],{name:"",visible:false})
var p2 = board_p2.create('point', [0,function(){return f_p2(v_x.X()+d_p2.Value());}],{name:"", visible:false})
var pe1 = board_p2.create('point', [0,1],{name:"", visible:false})
var pe2 = board_p2.create('point', [0,3],{name:"", visible:false})
var s1 = board_p2.create('segment',[function(){if(v_x.X()-d_p2.Value()<-1){return pp1;}{return pe2;}}, function(){if(v_x.X()+d_p2.Value()<-1){return p2;}{return pe2;}}], {strokeColor:"red",strokeWidth:3});
var s2 = board_p2.create('segment',[
function(){
if(v_x.X()-d_p2.Value()>=-1 && v_x.X()-d_p2.Value()<=2){return pp1;}
else{return pe1;}},
function(){
if(v_x.X()+d_p2.Value()>=-1 && v_x.X()+d_p2.Value()<=2){return p2;}
else if(v_x.X()+d_p2.Value()>2){return pe2;}
else{return pe1;}}],
{strokeColor:"red",strokeWidth:3});
// ]]>
</script>
<p>Las funciones elementales que hemos visto en la sesión anterior son continuas. Por tanto, se tiene que <span class="math">\[\lim_{x \to -1} \left( x^2-x+1 \right) =3, \quad \lim_{x \to 0} \cos(x) = 1, \quad \lim_{x \to e^2} \log(x)= 2 .\]</span> Además, la suma, producto y composición de funciones continuas da como resultado una función continua. Por ejemplo, la función <span class="math">\(f(x)=x^2+\log(x)\)</span> es continua, con lo que, <span class="math">\[\lim_{x \to e^2} x^2+\log(x)= e^4+2.\]</span></p>
<h1 id="cálculo-de-límites">Cálculo de límites</h1>
<h2 id="límites-laterales">Límites laterales</h2>
<p>Hay veces en las que el cálculo del límite en un punto <span class="math">\(a\)</span> depende de la posición, a la izquierda o a la derecha, de los puntos que tomemos acercándose a <span class="math">\(a\)</span>. Esta situación, por ejemplo, se presenta en los puntos que dividen las partes de una función definida a trozos.</p>
<p>Consideremos la siguiente función definida a trozos:</p> <span class="math">\[f(x)=\begin{cases} x^2+1, & \text{si $x \le 0$}, \\
e^x, & \text{si $0< x \le 1$}, \\
\operatorname{sen}(\pi x), & \text{si $x >1$}.
\end{cases}\]</span>
<p>Vamos a calcular el límite de la función dada en los puntos ``conflictivos"; esto es, en los puntos donde la expresión de <span class="math">\(f\)</span> cambia. En este caso son <span class="math">\(x=0\)</span>, y <span class="math">\(x=1\)</span>. Como a ambos lados de cada uno de estos puntos la expresión de la función es distinta, nos vemos obligados a calcular los límites laterales para decidir si la función <span class="math">\(f\)</span> tiene límite en ellos.</p>
<p><span class="math">\[\begin{aligned}
\lim_{x \to 0^-}f(x) & = \lim_{x \to 0} x^2+1= 1, \\
\lim_{x \to 0^+}f(x) & = \lim_{x \to 0} e^x= e^0=1,\end{aligned}\]</span></p>
<!--
<input id="mirango" type="range" name="aName" min="-5" max="5" step="0.1"/>
<div id="salida"> </div>
<script>
var deslizador = document.getElementById("mirango");
var objetosalida = document.getElementById("salida");
var f=function(x){
if (x<=0){
return (x*x+1);
} else if (x>0 && x<=1){
return Math.exp(x);
} else {
return Math.sin(Math.PI*x)
}
}
deslizador.onchange=function(){
let x=this.value;
objetosalida.innerHTML="f("+x+")="+f(x);
}
</script>-->
<p>Dada la coincidencia de ambos límites laterales, concluimos que la función dada sí tiene límite en el punto <span class="math">\(0\)</span> y vale <span class="math">\(1\)</span>; es decir existe el límite <span class="math">\(\displaystyle \lim\nolimits_{x \to 0} f(x) = 1\)</span>. Como, además, este límite coincide con el valor de <span class="math">\(f(0)=1\)</span>, podemos concluir que la función <span class="math">\(f\)</span> es continua en el punto <span class="math">\(0\)</span>.</p>
<p>Por otra parte:</p>
<p><span class="math">\[\begin{aligned}
\lim_{x \to 1^-}f(x) & = \lim_{x \to 1} e^x= e^1=e, \\
\lim_{x \to 1^+}f(x) & = \lim_{x \to 1} \operatorname{sen}(\pi x)= \operatorname{sen}(\pi)=0.\end{aligned}\]</span></p>
<p>Como ambos límites laterales son distintos, concluimos ahora que la función <span class="math">\(f\)</span> no tiene límite en el punto <span class="math">\(1\)</span>; es decir no existe el límite <span class="math">\(\displaystyle \lim\nolimits_{x \to 1}f(x)\)</span>. Por tanto, esta función <span class="math">\(f\)</span> no es continua en el punto <span class="math">\(1\)</span>; de hecho, <span class="math">\(f\)</span> presenta una “discontinuidad de salto”. La gráfica de \(f\) tiene el siguiente aspecto (puedes desplazar el punto azul a lo largo de la gráfica y ver los valores que toman sus coordenadas).</p>
<div id="box" class="jxgbox" style="width:400px; height:200px;"></div>
<script type="text/javascript">
var f=function(x){
if (x<=0){
return (x*x+1);
} else if (x>0 && x<=1){
return Math.exp(x);
} else {
return Math.sin(Math.PI*x)
}
}
var board = JXG.JSXGraph.initBoard('box', {boundingbox: [-14, 10, 14, -4], axis:true, showCopyright:false, showNavigation:false});
curve = board.create('functiongraph',
[f, -10,15]);
//var valorx = board.create('slider', [[-10, -2], [10, -2], [-10, 0, 10]],{name:'',snapWidth:.1});
var px = board.create('glider',[0,1,curve],{strokeColor:'black',fillColor:'lightblue',name:''});
//var valordef = board.create('text',[2,4,function(){return "f("+valorx.Value().toFixed(2)+")="+f(valorx.Value()).toFixed(2)}])
</script>
<p>Nuestra intención con el siguiente ejemplo es destacar que hay funciones que “aparentemente” no son funciones a trozos, pero que en realidad sí lo son. Esto es importante tenerlo en cuenta a la hora de calcular algunos límites.</p>
<p>Estudiemos la existencia de <span class="math">\(\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{|x|}{x}\)</span>. Recordemos que la función valor absoluto no es más que un ejemplo de función a trozos: <span class="math">\[|x|= \begin{cases} x, \ & \text{ si } x \ge 0, \\
-x, \ & \text{ si } x <0.
\end{cases}\]</span> El límite, entonces, que nos piden requiere el cálculo de los límites laterales:</p>
<p><span class="math">\[\require{cancel}\begin{aligned}
\lim_{x \to 0_-}\frac{|x|}{x}&= \lim_{x \to 0}\frac{-x}{x}= \lim_{x \to 0}\frac{- \cancel{x}}{\cancel{x}}= -1, \\
\lim_{x \to 0_+}\frac{|x|}{x}&= \lim_{x \to 0}\frac{x}{x}= \lim_{x \to 0}\frac{ \cancel{x}}{\cancel{x}}= 1.\end{aligned}\]</span></p>
<p>Por tanto, no existe el límite <span class="math">\(\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{|x|}{x}.\)</span></p>
<div id="box2" class="jxgbox" style="width:400px; height:150px;"></div>
<script type="text/javascript">
var f=function(x){
if (x<=0){
return (-1);
} else {
return (1);
}
}
var board = JXG.JSXGraph.initBoard('box2', {boundingbox: [-10, 3, 10, -3], axis:true, showCopyright:false, showNavigation:false});
curve = board.create('functiongraph',
[f, -10,15]);
</script>
<br>
<article>
<header>
<h3>Ejercicio</h3>
<p>Estudia la continuidad de las siguientes funciones.</p>
</header>
<ol>
<li> <p><span class="math">\(f(x)= \begin{cases}
e^x, & \text{si $x <0$}, \\
\cos(x), & \text{si $x\geq 0$}.
\end{cases}\)</span>
<button id="e1-1" class="button" onclick="show2('e1-1');">Solución</button>
<div id="sol-e1-1" style="display:none;">
<p>Tanto \(e^x\) como \(\cos(x)\) son funciones continuas. Por tanto, la función \(f\) es continua en los intervalos \((-\infty,0)\), \((0,\infty)\).</p>
<p>Veamos que ocurre en el \(0\). Para ello calculamos \(\lim\nolimits_{x\to 0^-} e^x=1=f(0)\) (no hace falta calcular el límite por la derecha pues la función \(\cos(x)\) es continua y por tanto ese límite vale \(\cos(0)\)). Concluimos que la función es contínua en todo \(\mathbb{R}\).</p>
<p>Ésta es la gráfica de la función.</p>
<div id='ebox1-1' class='jxgbox' style='width:400px; height:150px;display:inline-block;text-align: center;'> </div>
<script type="text/javascript">
function pintae11(){
var f=function(x){
if (x<0){
return (Math.exp(x));
} else {
return (Math.cos(x));
}
}
var board = JXG.JSXGraph.initBoard('ebox1-1', {boundingbox: [-10, 3, 10, -3], axis:true, showCopyright:false, showNavigation:false});
curve = board.create('functiongraph',
[f, -10,15]);
}
pintae11();
</script>
</div></p>
</li>
<li><p><span class="math">\(f(x)= \begin{cases}
3x^2+x, & \text{si $x <0$}, \\
0, & \text{si $x=0$}, \\
\frac{1}{x}, & \text{si $x>0$}.
\end{cases}\)</span>
<button id="e1-2" class="button" onclick="show2('e1-2');">Solución</button>
<div id="sol-e1-2" style="display:none;">
<p>La función \(3x^2+x\) es contínua en todo \(\mathbb{R}\), y la función \(1/x\) lo es en el intervalo \((0,\infty)\). Por tanto sólo falta estudiar qué ocurre en el \(0\). Para ello calculamos \(\lim\nolimits_{x\to 0^-} (3x^2+x)=1=f(0)\) y \(\lim\nolimits_{x\to 0^+} \frac{1}x=+\infty\). Concluimos que la función es contínua en todo \(\mathbb{R}\setminus\{0\}\).</p>
<p>Ésta es la gráfica de la función.</p>
<div id='ebox1-2' class='jxgbox' style='width:400px; height:150px;display:inline-block;text-align: center;'> </div>
<script type="text/javascript">
function pintae12(){
var f=function(x){
if (x<=0){
return (3*x*x+x);
} else {
return (1/x);
}
}
var board = JXG.JSXGraph.initBoard('ebox1-2', {boundingbox: [-5, 3, 10, -3], axis:true, showCopyright:false, showNavigation:false});
curve = board.create('functiongraph',
[f, -10,15]);
}
pintae12();
</script>
</div></p>
</li>
</ol>
</article>
</section>
<section>
<header>
<h1 id="indeterminaciones">Indeterminaciones</h1>
</header>
<h2 id="infinito-dividido-por-infinito">Infinito dividido por infinito</h2>
<p>El procedimiento para resolver esta indeterminación no es único; depende del tipo de función que la presente. Con los siguientes ejemplos, estableceremos cómo actuar ante límites similares.</p>
<p>Vamos a resolver tres tipos de límites que presentan la característica común de ser cocientes de funciones polinómicas. Es decir, vamos a estudiar límites de funciones racionales cuando la variable tiende a infinito. Veremos que la forma de actuar, para evitar la indeterminación, en todos ellos es siempre la misma: dividir en el numerador y en el denominador por la máxima potencia que aparezca en la expresión.</p>
<ol>
<li><p>Si el grado del numerador es mayor que el grado del denominador, el resultado del límite será, dependiendo de los coeficientes, <span class="math">\(+\infty\)</span> o <span class="math">\(-\infty\)</span>.</p>
<p><span class="math">\[\begin{aligned}
\lim_{x \to +\infty} \frac{x^3-2x^2+5}{3x^2-x} & = \lim_{x \to +\infty} \frac{\frac{x^3}{x^3}-\frac{2x^2}{x^3}+\frac{5}{x^3 }}{\frac{3x^2}{x^3}- \frac{x}{x^3}} \\
& = \lim_{x\to +\infty} \frac{1+\frac{2}{x} + \frac{5}{x^3}}{\frac{3}{x} -\frac{1}{x^2}}, \end{aligned}\]</span></p>
<p>con lo que el numerador tiende a uno y el denominador a cero y el límite que buscamos es <span class="math">\(+\infty\)</span>.</p></li>
<li><p>Si el numerador y el denominador tienen el mismo grado, el límite será el cociente de los coeficientes líderes. Por ejemplo,</p>
<p><span class="math">\[\begin{aligned}
\lim_{x \to +\infty} \frac{5x^2-2x}{7x^2+x+1} & = \lim_{x \to +\infty} \frac{\frac{5x^2}{x^2}-\frac{2x}{x^2}}{\frac{7x^2}{x^2}+\frac{x}{x^2}+\frac{1}{x^2}} \\
& = \lim_{x\to +\infty} \frac{ 5- \frac{2}{x}}{7+\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}} = \frac{5}{7}\, .\end{aligned}\]</span></p></li>
<li><p>Si el grado del denominador es mayor que el grado del numerador, el límite nos saldrá cero.</p>
<p><span class="math">\[\begin{aligned}
\lim_{x\to -\infty} \frac{x^2+3}{x^5+2x+1} & = \lim_{x \to -\infty} \frac{\frac{x^2}{x^5}+\frac{3}{x^5}}{\frac{x^5}{x^5}+\frac{2x}{x^5}+\frac{1}{x^5}} \\
& = \lim_{x \to -\infty} \frac{\frac{1}{x^3}+\frac{3}{x^5}}{1+\frac{2}{x^4}+\frac{1}{x^5}} =0.\end{aligned}\]</span></p></li>
</ol>
<h2 id="cero-dividido-por-cero">Cero dividido por cero</h2>
<p>Si el límite de un cociente de polinomios presenta una indeterminación de la forma cero partido por cero eso quiere decir que ambos polinomios son divisibles por <span class="math">\((x-a)\)</span>, donde <span class="math">\(a\)</span> es el punto donde estamos calculando el límite. Simplificando dicho factor, tantas veces como sea necesario, eliminamos la indeterminación.</p>
<p><span class="math">\[\begin{aligned}
\lim_{x \to 3} \frac{x^{4}-5x^{3}+3x^{2}+9x}{x^{3}-7x^{2}+16x-12} &
= \lim_{x \to 3} \frac{(x-3)(x^3-2x^2-3x)}{(x-3)(x^2-4x+4)} \\
& = \lim_{x\to 3} \frac{x^3-2x^2-3x}{x^2-4x+4} = \frac{0}{1}=0.\end{aligned}\]</span></p>
<h2 id="infinito-menos-infinito">Infinito menos infinito</h2>
<p>Un ejemplo usual de indeterminación de este tipo se presenta cuando tenemos una diferencia de funciones que no se pueden simplificar o cancelar directamente. En el ejemplo que tenemos a continuación vamos a usar las identidades notables que hemos visto, en concreto que suma por diferencia es diferencia de cuadrados, para eliminar raíces multiplicando y dividiendo por, lo que se suele llamar, el <em>conjugado</em>.</p>
<p><span class="math">\[\begin{aligned}
\lim_{x \to + \infty} \left( \sqrt{x+2}-\sqrt{x-2}\, \right) & =
\lim_{x \to + \infty} \frac{\left(\sqrt{x+2}-\sqrt{x-2} \right) \cdot
\left(\sqrt{x+2}+\sqrt{x-2} \right) }{ \left(\sqrt{x+2}+ \sqrt{x-2} \right) } \\
& = \lim_{x \to +\infty} \frac{x+2-(x-2)}{ \left(\sqrt{x+2}+ \sqrt{x-2} \right) } \\
& = \lim_{x \to +\infty} \frac{4}{ \left(\sqrt{x+2}+ \sqrt{x-2} \right) } = 0.\end{aligned}\]</span></p>
<h2 id="cero-por-infinito">Cero por infinito</h2>
<p>El producto de funciones se puede escribir como un cociente usando que <span class="math">\[f(x)g(x)= \frac{f(x)}{\frac{1}{g(x)}}.\]</span> Si tenemos una indeterminación de la forma “cero por infinito” y aplicamos el truco anterior, dependiendo de qué factor pasemos al denominador, obtenemos una indeterminación de la forma <span class="math">\(\frac{0}{0}\)</span> o <span class="math">\(\frac{\infty}{\infty}\)</span>.</p>
<p>Por ejemplo, el cálculo del límite siguiente <span class="math">\[\lim_{x \to 0} x \log (x)= \lim_{x \to 0} \frac{x}{1/\log(x)} = \lim_{x\to 0} \frac{\log(x)}{1/x},\]</span> lo podemos ver de cualquiera de las tres formas anteriores. En la primera tenemos una indeterminación <span class="math">\(0\cdot \infty\)</span>, en la segunda tenemos una indeterminación <span class="math">\(\frac{0}{0}\)</span> y la última es <span class="math">\(\frac{\infty}{\infty}\)</span>.</p>
<h2 id="cero-elevado-a-cero-infinito-elevado-a-cero-uno-elevado-a-infinito">Cero elevado a cero, infinito elevado a cero, uno elevado a infinito</h2>
<p>Las indeterminaciones en las que aparecen funciones elevadas a funciones siempre se pueden pasar a productos o cocientes utilizando logaritmos y exponenciales. Recordemos que la función exponencial y logaritmo son inversas una de la otra o, lo que es lo mismo, que <span class="math">\[e^{\log(x)}=x \quad \text{y} \quad \log(e^x)=x.\]</span> Usando esto, si tenemos un par de funciones <span class="math">\(f(x)\)</span> y <span class="math">\(g(x)\)</span>, entonces, usando que el exponente de la función dentro del logaritmo sale multiplicando, <span class="math">\[f(x)^{g(x)} = e^{\log\left( f(x)^{g(x)}\right) } = e^{g(x)\log(f(x))}.\]</span></p>
<p>Resumiendo, hemos cambiado el problema de estudiar <span class="math">\(f(x)^{g(x)}\)</span> por el de <span class="math">\(g(x)\log(f(x))\)</span>.</p>
<p>El cálculo del límite de <span class="math">\(x^x\)</span>, cuando <span class="math">\(x\)</span> tiende a cero, pasa por resolver una indeterminación de la forma <span class="math">\(0^0\)</span>. Utilizando exponenciales y logaritmos <span class="math">\[\lim_{x \to 0 } x^x = \lim_{x \to 0} e^{\log(x^x)} =\lim_{x \to 0} e^{x \log(x)}\]</span> pasamos a estudiar <span class="math">\(\lim_{x \to 0} x\log(x)\)</span>. El cálculo de este último lo veremos en la carrera.</p>
<article>
<header>
<h3>Ejercicio</h3>
<p>Calcula los siguientes límites.</p>
</header>
<ol>
<li><p><span class="math">\(\displaystyle \lim_{x \to 2} \frac{x^2-4}{x^3-4x}\)</span>
<span id="sol-e2-1" style="display:none;">\(= \dfrac{1}2\)</span>.
<button id="e2-1" class="button" onclick="show2('e2-1');">Solución</button></p></li>
<li><p><span class="math">\(\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{x^6+2x^4-x^3}{x^4-5x^2}\)</span>
<span id="sol-e2-2" style="display:none;">\(= 0\)</span>.
<button id="e2-2" class="button" onclick="show2('e2-2');">Solución</button></p></li>
<li><p><span class="math">\(\displaystyle \lim_{x \to 1} \frac{{x}^{3}-{x}^{2}-x+1}{x^2-1}\)</span>
<span id="sol-e2-3" style="display:none;">\(= 0\)</span>.
<button id="e2-3" class="button" onclick="show2('e2-3');">Solución</button></p></li>
<li><p><span class="math">\(\displaystyle \lim_{x \to 0} \left( \frac{1}{x^2}-\frac{1}{x^3}\right)\)</span>
<span id="sol-e2-4" style="display:none;">. Este límite no existe, por la izquierda de \(0\) vale \(\infty\) y por la derecha \(-\infty\)</span>.
<button id="e2-4" class="button" onclick="show2('e2-4');">Solución</button></p></li>
<li><p><span class="math">\(\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \frac{1}{x^2} \left(\frac{x^2+1}{3x} - \frac{2x^3}{x^2+2} \right)\)</span>
<span id="sol-e2-5" style="display:none;">\(= 0\)</span>.
<button id="e2-5" class="button" onclick="show2('e2-5');">Solución</button></p></li>
<li><p><span class="math">\(\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \frac{3x^3-2x+1}{x^3+10x^2}\)</span>
<span id="sol-e2-6" style="display:none;">\(= 3\)</span>.
<button id="e2-6" class="button" onclick="show2('e2-6');">Solución</button></p></li>
<li><p><span class="math">\(\displaystyle \lim_{x \to -\infty} \frac{7x-8}{4-5x^2}\)</span>
<span id="sol-e2-7" style="display:none;">\(= 0\)</span>.
<button id="e2-7" class="button" onclick="show2('e2-7');">Solución</button></p></li>
<li><p><span class="math">\(\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \frac{\sqrt{x+1}-\sqrt{x}}{x^2}\)</span>
<span id="sol-e2-8" style="display:none;">\(= 0\)</span>.
<button id="e2-8" class="button" onclick="show2('e2-8');">Solución</button></p></li>
<li><p><span class="math">\(\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \frac{x+3}{x\sqrt{x+1}-x\sqrt{x-1}}\)</span>
<span id="sol-e2-9" style="display:none;">\(= \infty\)</span>.
<button id="e2-9" class="button" onclick="show2('e2-9');">Solución</button></p></li>
</ol>
</article>
</section>
<section>
<header>
<h1 id="asíntotas">Asíntotas</h1>
</header>
<h2 id="asíntota-vertical">Asíntota vertical</h2>
<p>Una función <span class="math">\(f\)</span> tiene a la recta <span class="math">\(x=a\)</span> como asíntota vertical si <span class="math">\[\lim_{x \to a^+}f(x)= \pm \infty \quad \text{ o } \quad
\lim_{x \to a^-}f(x)= \pm \infty.\]</span></p>
<p>Por ejemplo, la función \(f(x)=(x-2)^{-1}\) tiene una asíntota vertical en \(2\).</p>
<div id="box3" class="jxgbox" style="width:400px; height:400px;"></div>
<script type="text/javascript">
var f=function(x){
return(1/(x-2))}
var board = JXG.JSXGraph.initBoard('box3', {boundingbox: [-10, 10, 10, -10], axis:true, showCopyright:false, showNavigation:false});
curve = board.create('functiongraph',
[f, -10,15]);
p=board.create('point',[2,30]);
q=board.create('point',[2,-30]);
as = board.create('line',[p,q],{dash:1,strokeColor:"gray"});
</script>
<p>La función <span class="math">\(f(x)= \frac{x^2+1}{x^2-1}\)</span> tiene dos asíntotas verticales: <span class="math">\(x=1\)</span> y <span class="math">\(x=-1\)</span> que son los dos valores que anulan al denominador, ya que <span class="math">\[\lim_{x \to 1^+} \frac{x^2+1}{x^2-1} = \lim_{x \to -1^{-}} \frac{x^2+1}{x^2-1}= +\infty.\]</span> ¿Cuál es valor de los otros dos límites laterales?</p>
<div id="box4" class="jxgbox" style="width:400px; height:400px;"></div>
<script type="text/javascript">
var f=function(x){
return((x*x+1)/(x*x-1))}
var board = JXG.JSXGraph.initBoard('box4', {boundingbox: [-10, 10, 10, -10], axis:true, showCopyright:false, showNavigation:false});
curve = board.create('functiongraph',
[f, -10,15]);
p=board.create('point',[1,30]);
q=board.create('point',[1,-30]);
as = board.create('line',[p,q],{dash:1,strokeColor:"gray"});
p1=board.create('point',[-1,30]);
q1=board.create('point',[-1,-30]);
as1 = board.create('line',[p1,q1],{dash:1,strokeColor:"gray"});
</script>
<h2 id="asíntota-horizontal">Asíntota horizontal</h2>
<p>Una función <span class="math">\(f\)</span> tiene a la recta <span class="math">\(y=b\)</span> como asíntota horizontal si <span class="math">\[\lim_{x \to +\infty} f(x)= b \quad \text{ o } \quad
\lim_{x \to -\infty} f(x)=b.\]</span></p>
<p>La función <span class="math">\(f(x)= \frac{3x^2+2x+1}{x^2-x+5}\)</span> tiene a la recta <span class="math">\(y=3\)</span> como asíntota horizontal ya que <span class="math">\[\lim_{x \to +\infty}\frac{3x^2+2x+1}{x^2-x+5}=3.\]</span></p>
<div id="box5" class="jxgbox" style="width:400px; height:150px;"></div>
<script type="text/javascript">
var f=function(x){
return((3*x*x+2*x+1)/(x*x-x+5))}
var board = JXG.JSXGraph.initBoard('box5', {boundingbox: [-20, 10, 20, -5], axis:true, showCopyright:false, showNavigation:false});
curve = board.create('functiongraph',
[f, -20,20]);
p=board.create('point',[-30,3]);
q=board.create('point',[30,3]);
as = board.create('line',[p,q],{dash:1,strokeColor:"gray"});
</script>
<h2 id="asíntota-oblicua">Asíntota oblicua</h2>
<p>Una función <span class="math">\(f\)</span> tiene a la recta <span class="math">\(y=mx+n\)</span> como asíntota oblicua (<span class="math">\(m \neq 0\)</span>) si <span class="math">\[\lim_{x \to +\infty} \left( f(x)-(mx+n) \right) = 0 \quad \text{ o } \quad
\lim_{x \to -\infty} \left( f(x)-(mx+n) \right) =0.\]</span></p>
<p>Para calcular los valores <span class="math">\(m\)</span> y <span class="math">\(n\)</span> hacemos lo siguiente: <span class="math">\[m=\lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x} \quad \text{y} \quad n= \lim_{x \to \infty} \left( f(x)-mx \right)\]</span></p>
<p>Veamos si la función <span class="math">\(f(x)=\frac{3x^3+1}{x^2+1}\)</span> tiene asíntotas oblicuas. En primer lugar calculamos el posible valor de <span class="math">\(m\)</span>: <span class="math">\[m= \lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{\frac{3x+1}{x^2+1}}{x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{3x^3+1}{x^3+x}= 3.\]</span> En segundo lugar, calculamos el valor de <span class="math">\(n\)</span>:</p>
<p><span class="math">\[\begin{aligned}
n & = \lim_{x \to +\infty} \left( f(x)-mx \right) = \lim_{x \to +\infty} \left( \frac{3x^3+1}{x^2+1}-3x \right) \\
& = \lim_{x \to +\infty} \frac{3x^3+1-3x^3-3x}{x^2+1} = \lim_{x \to +\infty} \frac{1-3x}{x^2+1}=0.\end{aligned}\]</span></p>
<p>Por tanto, la recta <span class="math">\(y=3x\)</span> es una asíntota oblicua de <span class="math">\(f\)</span>.</p>
<div id="box6" class="jxgbox" style="width:400px; height:400px;"></div>
<script type="text/javascript">
var f=function(x){
return((3*x*x*x+1)/(x*x+1))}
var board = JXG.JSXGraph.initBoard('box6', {boundingbox: [-10, 10, 10, -10], axis:true, showCopyright:false, showNavigation:false});
curve = board.create('functiongraph',
[f, -20,20]);
p=board.create('point',[-30,-90]);
q=board.create('point',[30,90]);
as = board.create('line',[p,q],{dash:1,strokeColor:"gray"});
</script>
<br>
<article>
<header>
<h3>Ejercicio</h3>
<p>Estudia las asíntotas de las siguientes funciones</p>
</header>
<ol>
<li><p><span class="math">\(\displaystyle f(x)=\frac{x^2+x+1}{x^2-2}.\)</span>
<button id="e3-1" class="button" onclick="show2('e3-1');">Solución</button>
<div id="sol-e3-1" style="display:none;">
<p>Tiene una asíntota horizontal \(y=1\) y dos verticales \(x=\pm \sqrt{2}\).</p>
<p>Ésta es la gráfica de la función.</p>
<div id='ebox3-1' class='jxgbox' style='width:400px; height:400px;display:inline-block;text-align: center;'> </div>
<script type="text/javascript">
function pintae31(){
var f=function(x){
return (x*x+x+1)/(x*x-2);
}
var board = JXG.JSXGraph.initBoard('ebox3-1', {boundingbox: [-10, 10, 10, -10], axis:true, showCopyright:false, showNavigation:false});
curve = board.create('functiongraph',
[f, -10,10]);
var h1=board.create('point',[-20,1]);
var h2=board.create('point',[20,1]);
var ah=board.create('line',[h1,h2],{dash:1,strokeColor:"gray"});
var u1=board.create('point',[-Math.sqrt(2),20]);
var u2=board.create('point',[-Math.sqrt(2),-20]);
var au=board.create('line',[u1,u2],{dash:1,strokeColor:"gray"});
var v1=board.create('point',[Math.sqrt(2),20]);
var v2=board.create('point',[Math.sqrt(2),-20]);
var av=board.create('line',[v1,v2],{dash:1,strokeColor:"gray"});
}
pintae31();
</script>
</div>
</p></li>
<li><p><span class="math">\( \displaystyle f(x)=x+\frac{3}{x}.\)</span>
<button id="e3-2" class="button" onclick="show2('e3-2');">Solución</button>
<div id="sol-e3-2" style="display:none;">
<p>Tiene una asíntota oblícua \(y=x\) y una vertical en \(x=0\).</p>
<p>Ésta es la gráfica de la función.</p>
<div id='ebox3-2' class='jxgbox' style='width:400px; height:400px;display:inline-block;text-align: center;'> </div>
<script type="text/javascript">
function pintae32(){
var f=function(x){
return x+3/x;
}
var board = JXG.JSXGraph.initBoard('ebox3-2', {boundingbox: [-10, 10, 10, -10], axis:true, showCopyright:false, showNavigation:false});
curve = board.create('functiongraph',
[f, -10,10]);
var h1=board.create('point',[-20,-20]);
var h2=board.create('point',[20,20]);
var ah=board.create('line',[h1,h2],{dash:1,strokeColor:"gray"});
var u1=board.create('point',[0,20]);
var u2=board.create('point',[0,-20]);
var au=board.create('line',[u1,u2],{dash:1,strokeColor:"gray"});
}
pintae32();
</script>
</div>
</p></li>
<li><p><span class="math">\( \displaystyle f(x)=x^2+\frac{2x}{x^2+1}.\)</span>
<button id="e3-3" class="button" onclick="show2('e3-3');">Solución</button>
<div id="sol-e3-3" style="display:none;">
<p>Esta función no tiene asíntotas.</p>
<p>Ésta es la gráfica de la función.</p>
<div id='ebox3-3' class='jxgbox' style='width:400px; height:400px;display:inline-block;text-align: center;'> </div>
<script type="text/javascript">
function pintae33(){
var f=function(x){
return x*x+(2*x)/(x*x+1);
}
var board = JXG.JSXGraph.initBoard('ebox3-3', {boundingbox: [-5, 5, 5, -5], axis:true, showCopyright:false, showNavigation:false});
curve = board.create('functiongraph',
[f, -10,10]);
}
pintae33();
</script>
</div>
</p></li>
</ol>
</article>
</section>
<hr>
<p style="font-size: 10pt">Esta página está basada en las transparencias de Jerónimo Alaminos Prats, José Extremera Lizana y Pilar Muñoz Rivas para el Curso Cero de la ETSIIT de la Universidad de Granada. Las representaciones gráficas se han realizado con <a href="http://jsxgraph.uni-bayreuth.de">JSXGraph</a>. Las animaciones en JSXGraph y el maquetado de la página han sido realizados por Pedro A. García Sánchez.</p>
<script type="text/javascript" language="javascript">
function show(str, obj){
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}
function show2(divID) {
var sol = document.getElementById("sol-"+divID);
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</html>