-
Notifications
You must be signed in to change notification settings - Fork 8
/
06-derivadas-app.html
433 lines (393 loc) · 29.3 KB
/
06-derivadas-app.html
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
416
417
418
419
420
421
422
423
424
425
426
427
428
429
430
431
432
433
<!DOCTYPE html PUBLIC "-//W3C//DTD XHTML 1.0 Transitional//EN" "http://www.w3.org/TR/xhtml1/DTD/xhtml1-transitional.dtd">
<html xmlns="http://www.w3.org/1999/xhtml">
<head>
<meta http-equiv="Content-Type" content="text/html; charset=utf-8" />
<meta http-equiv="Content-Style-Type" content="text/css" />
<meta name="generator" content="pandoc" />
<title>Aplicaciones de la derivada</title>
<style type="text/css">code{white-space: pre;}</style>
<link rel="stylesheet" href="otro.css" type="text/css" />
<script src="http://cdn.mathjax.org/mathjax/latest/MathJax.js?config=TeX-AMS-MML_HTMLorMML" type="text/javascript"></script>
<link rel="stylesheet" type="text/css" href="http://jsxgraph.uni-bayreuth.de/distrib/jsxgraph.css" />
<script type="text/javascript" src="http://jsxgraph.uni-bayreuth.de/distrib/jsxgraphcore.js"></script>
<!--<link rel="stylesheet" type="text/css" href="css/jsxgraph.css" />
<script type="text/javascript" src="js/jsxgraphcore.js"></script>-->
<script>
MathJax.Hub.Config({
tex2jax:
{
preview: "none"
}
});
</script>
</head>
<body>
<div id="header">
<h1 class="title">Aplicaciones de la derivada</h1>
</div>
<section>
<header>
<h1 id="geometría">Geometría</h1>
</header>
<p>La <em style="color:red">recta tangente</em> a una función <span class="math">\(f\)</span> en un punto de la gráfica <span class="math">\((a,f(a))\)</span> es <span class="math">\[y=f(a)+f'(a)(x-a).\]</span> Por ejemplo, la recta tangente a la función <span class="math">\(f(x)=\log (x)\)</span> en <span class="math">\(x=2\)</span> es, teniendo en cuenta que <span class="math">\(f'(x)=1/x\)</span>, <span class="math">\[y=f(2)+f'(2)(x-2)=\log(2)+\frac{1}{2} (x-2).\]</span></p>
<p>En el siguiente gráfico se representa la función <span style="color:blue">\(\log(x)\)</span> y la <span style="color:red">tangente</span> en el punto \(A=(a,\log(a))\). Puedes desplazar este punto y ver cómo varía la tangente.</p>
<div id="box1" class="jxgbox" style="width:400px; height:400px;"></div>
<script type="text/javascript">
function pinta_log(){
var board = JXG.JSXGraph.initBoard('box1', {boundingbox: [-4, 4, 4, -4], axis:true, showCopyright:false, showNavigation:false});
var curve = board.create('functiongraph',
[function(t){ return(Math.log(t))}, -10,10]);
a = board.create('glider',[2,Math.log(2),curve], {name:'A',label:{offset:[-10,10]}, strokeColor:"black",fillColor:"white"})
board.create('functiongraph', [function(t){return (Math.log(a.X())+1/a.X()*(t-a.X()))}, -10,10],{strokeColor:"red"})
}
pinta_log()
</script>
</li>
<p>La <em style="color:green">recta normal</em> en <span class="math">\(x=a\)</span> es la recta perpendicular a la recta tangente que pasa por el punto <span class="math">\((a,f(a))\)</span>. Su pendiente será, por tanto, <span class="math">\(-1/f'(a)\)</span>. La ecuación de la recta normal a la función <span class="math">\(f\)</span> en el mismo punto es <span class="math">\[y=f(a)-\frac{1}{f'(a)}(x-a).\]</span></p>
<article>
<header>
<h3>Ejercicio</h3>
<p>Responde a las siguientes preguntas sobre la parábola \(y=x^2\).</p>
</header>
<ol>
<li> Calcula la recta tangente a la parábola <span class="math">\(y=x^2\)</span> en el punto <span class="math">\((3,9)\)</span>.
<button id="e1-1" class="button" onclick="show2('e1-1');">Solución</button>
<div id="sol-e1-1" style="display:none;">
<p>La derivada de la función \(f(x)=x^2\) es \(f'(x)=2x\). Por tanto, la recta tangente en el punto \((3,f(3))=(3,9)\) es \[y=f(3)+f'(3)(x-3)=9+6(x-3)=6x-9.\]
</div>
</li>
<li>¿Pasa dicha recta por el punto <span class="math">\((1,3)\)</span>?
<button id="e1-3" class="button" onclick="show2('e1-3');">Solución</button>
<div id="sol-e1-3" style="display:none;">
<p>La recta tangente pasa por el punto \((1,3)\) si dicho punto cumple la ecuación de la recta. Veamos, \(3 \neq 6\cdot 1 -9 = -3\). El punto no pertenece a la recta tangente.</p>
</div>
</li>
<li>Calcula aquellos puntos que cumplen que la recta tangente a la parábola pasa por el punto <span class="math">\((1,-3)\)</span>.
<button id="e1-2" class="button" onclick="show2('e1-2');">Solución</button>
<div id="sol-e1-2" style="display:none;">
<p>La recta tangente en un punto arbitrario \((a,f(a))\) es \[y=f(a)+f'(a)(x-a)=a^2+2a(x-a)=2ax-a^2\] y lo que queremos encontrar son aquellos valores de \(a\) que hacen que el punto \((1,-3)\) verifique está ecuación (pertenezca a la recta). Sustituimos \(x\) por \(1\) e \(y\) por \(-3\) y resolvemos:</p>
<p>\[\begin{aligned}
-3=2a\cdot 1 -a^2 & \text{ si y solo si } a^2-2a -3=0, \\
& \text{ que equivale a } a= \frac{2\pm \sqrt{4-4\cdot(-3)}}{2}, \\
& \text{ o sea } a = \frac{2\pm 4}{2} = -1 \text{ ó } 3.
\end{aligned}\]</p>
<p>Resumiendo, la recta tangente en los puntos \((-1,1)\) y \((3,9)\) pasa por el punto \((1,-3)\).</p>
</div>
</li>
<li><p>Calcula la recta normal a la parábola en el punto <span class="math">\((3,9)\)</span>.</p>
<button id="e1-4" class="button" onclick="show2('e1-4');">Solución</button>
<div id="sol-e1-4" style="display:none;">
<p>Aplicando la ecuación de la recta normal y teniendo en cuenta que \(f'(3)=6\) nos queda: \[y=f(a)-\frac{1}{f'(a)}(x-a)=9-\frac{1}{6}(x-3)= \frac{57-x}{6}.\]</p>
</div>
</li>
</ol>
<p>En el siguiente gráfico se representa la función <span style="color:blue">\(x^2\)</span>, y la <span style="color:red">tangente</span> y la <span style="color:green">normal</span> en el punto \(A=(a,a^2)\). Puedes desplazar este punto y ver cómo varían las rectas tangente y normal.</p>
<div id="box" class="jxgbox" style="width:400px; height:400px;"></div>
<script type="text/javascript">
function pinta_parabola(){
var board = JXG.JSXGraph.initBoard('box', {boundingbox: [-5, 9, 5, -1], axis:true, showCopyright:false, showNavigation:false});
var curve = board.create('functiongraph',
[function(t){ return(t*t)}, -10,10]);
var A = board.create('glider',[1,1,curve], {name:'A', strokeColor:"black",fillColor:'white'});
//punto = board.create('point',[function(){return pend.Value()},function(){return pend.Value()*pend.Value()}], {strokeColor:"black",fillColor:'white', name:''})
board.create('functiongraph', [function(t){return (A.Y()+2*A.X()*(t-A.X()))}, -10,10],{strokeColor:"red"})
board.create('functiongraph', [function(t){return (A.Y()-1/(2*A.X())*(t-A.X()))}, -10,10],{strokeColor:"green"})
}
pinta_parabola()
</script>
</article>
<article>
<header>
<h3>Ejercicio</h3>
</header>
<ol>
<li>Calcula la ecuación de la recta (o rectas) tangentes a la gráfica de <span class="math">\(f(x)=4x^3-2x^2+x-1\)</span> pararelas a la bisectriz del primer cuadrante.
<button id="e2-1" class="button" onclick="show2('e2-1');">Solución</button>
<div id="sol-e2-1" style="display:none;">
<p>La bisectriz del primer cuadrante es \(y=x\). Por tanto estamos buscando una tangente a \(f(x)\) con pendiente \(1\), es decir, buscamos \(a\) con \(f'(a)=1\).</p>
<p>Tenemos pues que resolver la ecuación \(f'(x)=12x^2-4x+1=1\), que equivale a \(12x^2-4x=x(12x-4)=0\). Así las soluciones son \(x=0\) y \(x=\frac{1}3\).</p>
<p>Sabemos que la recta tangente a <span class='math' style='color:blue'>\(y=f(x)\)</span> en un punto \(a\) es \(y=f(a)+f'(a)(x-a)\), por tanto, las rectas tangentes que buscamos son <span class='math' style='color:red'>\(y=-1+x\)</span> e <span class='math' style='color:orange'>\(y=-\frac{29}{27}+x\)</span>.</p>
<div id='ebox2-1' class='jxgbox' style='width:400px; height:400px;display:inline-block;text-align: center;'> </div>
<script type="text/javascript">
function pintae21(){
var f=function(t){
return (4*t*t*t-2*t*t+t-1);
}
var t1=function(t){
return -1+t;
}
var t2=function(t){
return -20/27+t-1/3;
}
var board = JXG.JSXGraph.initBoard('ebox2-1', {boundingbox: [-2, 2, 2, -2], axis:true, showCopyright:false, showNavigation:false});
curve = board.create('functiongraph',
[f, -10,10]);
tan1= board.create('functiongraph',[t1,-10,10],{strokeColor:"red"});
tan2= board.create('functiongraph',[t2,-10,10], {strokeColor:"orange"});
bis = board.create('line',[[-10,-10],[10,10]],{strokeColor:"gray",dash:1});
}
pintae21();
</script>
</div>
</li>
<li><p>Halla los valores de la constante <span class="math">\(\lambda\)</span> para los que las rectas tangentes a las funciones <span class="math">\(f(x)=x^3\)</span> y <span class="math">\(g(x)=(x+\lambda)x\)</span> en el punto <span class="math">\(x=1\)</span> sean:</p>
<ol>
<li><p>paralelas,</p></li>
<li><p>perpendiculares.</p></li>
</ol>
</li>
</ol>
</article>
</section>
<section>
<header>
<h1 id="estudio-de-una-función">Estudio de una función</h1>
</header>
<h2 id="crecimiento-y-decrecimiento">Crecimiento y decrecimiento</h2>
<p>Si <span class="math">\(f\)</span> es una función derivable definida en un intervalo, entonces</p>
<ul>
<li><p><span class="math">\(f\)</span> es creciente si, y sólo si, la derivada es mayor o igual que cero;</p></li>
<li><p><span class="math">\(f\)</span> es decreciente si, y sólo si, la derivada es menor o igual que cero; y</p></li>
<li><p><span class="math">\(f\)</span> es constante si, y sólo si, la derivada es cero.</p></li>
</ul>
<p>Para estudiar el crecimiento de la función <span class="math">\(f(x)=2x^3-3x^2-12x+1\)</span>, estudiamos el signo de la derivada. Primero vemos dónde se anula. <span class="math">\[f'(x)=6x^2-6x-12=0 \text{ sí y sólo sí } x\in\{-1,2\}.\]</span> Como sabemos donde se anula la derivada, también sabemos donde <em>no</em> se anula. Esto es, la función es monótona en <span class="math">\(]-\infty,-1]\)</span>, en <span class="math">\([-1,2]\)</span> y en <span class="math">\([2,+\infty[\)</span>. Evaluando la derivada en un punto de cada intervalo, terminamos:</p>
<ul>
<li><p><span class="math">\(f'(-3)=60>0\)</span>, y por tanto <span class="math">\(f\)</span> es creciente <span class="math">\(]-\infty,-1]\)</span>;</p></li>
<li><p><span class="math">\(f'(0)=-12<0\)</span>, en consecuencia <span class="math">\(f\)</span> es decreciente <span class="math">\([-1,2]\)</span>; y,</p></li>
<li><p><span class="math">\(f'(8)=324>0\)</span>, por lo que <span class="math">\(f\)</span> es creciente <span class="math">\([2,+\infty[\)</span>.</p></li>
</ul>
<p>¿Sabrías decir algo sobre los máximos y mínimos relativos de esta función?</p>
<h2 id="extremos-relativos">Extremos relativos</h2>
<p>El cálculo de los máximos y mínimos relativos de una función <span class="math">\(f\)</span> se suele hacer en dos pasos.</p>
<ol>
<li><p>En primer lugar se calculan los puntos críticos, es decir, resolvemos la ecuación <span class="math">\(f'(x)=0\)</span>.</p></li>
<li><p>Evaluamos la segunda derivada en los puntos críticos:</p>
<ul>
<li><p>si <span class="math">\(f'(a)=0\)</span>, y además <span class="math">\(f''(a)>0\)</span>, entonces <span class="math">\(f\)</span> tiene un mínimo relativo en <span class="math">\(a\)</span>;</p></li>
<li><p>si <span class="math">\(f'(a)=0\)</span>, y además <span class="math">\(f''(a)<0\)</span>, entonces <span class="math">\(f\)</span> tiene un máximo relativo en <span class="math">\(a\)</span>.</p></li>
</ul></li>
</ol>
<p>Si analizamos el signo de la derivada segunda de la función del ejemplo anterior en los puntos críticos que habíamos obtenido, concluimos cuál es mínimo y cuál es máximo. Como <span class="math">\(f''(x)= 12x-6\)</span>, tenemos:</p>
<ul>
<li><p><span class="math">\(f''(-1)=-18<0\)</span>, por tanto en <span class="math">\(x=-1\)</span> tenemos un máximo relativo;</p></li>
<li><p><span class="math">\(f''(2)=18>0\)</span>, por tanto en <span class="math">\(x=2\)</span> tenemos un mínimo relativo.</p></li>
</ul>
<p>¿Concuerdan estas conclusiones con las que has obtenido estudiando el cambio de monotonía en torno a ambos puntos?</p>
<h2 id="concavidad-y-convexidad">Concavidad y convexidad</h2>
<p>Si <span class="math">\(f\)</span> es una función dos veces derivable,</p>
<ul>
<li><p>si <span class="math">\(f''\)</span> es positiva, entonces <span class="math">\(f\)</span> es convexa; y</p></li>
<li><p>si <span class="math">\(f''\)</span> es negativa, entonces <span class="math">\(f\)</span> es cóncava.</p></li>
</ul>
<h2 id="puntos-de-inflexión">Puntos de inflexión</h2>
<p>Si <span class="math">\(f''(a)=0\)</span> y <span class="math">\(f'''(a)\neq 0\)</span>, decimos que <span class="math">\(f\)</span> tiene un punto de inflexión en <span class="math">\(a\)</span>. Esto quiere decir que en dicho punto la función pasa de ser cóncava a convexa o al revés.</p>
<p>Seguimos con la función del ejemplo 2. Como <span class="math">\(f''(x)=12x-6\)</span> tenemos que \(12x-6=0\), o lo que es lo mismo, \(x=1/2\). Ya tenemos nuestro candidato a punto de inflexión. Ahora calculamos la derivada tercera: <span class="math">\(f'''(x)=12\)</span>, con lo que <span class="math">\(f'''(1/2)=12>0\)</span>. Por tanto, tenemos un punto de inflexión en <span class="math">\(x=1/2\)</span>. Vamos a calcular ahora si pasa de cóncava a convexa, o viceversa. Para ello, evaluamos <span class="math">\(f''\)</span> en puntos a ambos lados de <span class="math">\(x=1/2\)</span>:</p>
<ul>
<li><p><span class="math">\(f''(0)=-6<0\)</span>, por lo que la función antes de <span class="math">\(1/2\)</span> es cóncava.</p></li>
<li><p><span class="math">\(f''(1)=6>0\)</span>, por lo que la función después de <span class="math">\(1/2\)</span> es convexa.</p></li>
</ul>
<div id="box2" class="jxgbox" style="width:400px; height:400px;"></div>
<script type="text/javascript">
var board = JXG.JSXGraph.initBoard('box2', {boundingbox: [-20, 20, 20, -20], axis:true, showCopyright:false, showNavigation:false});
curve = board.create('functiongraph',
[function(t){ return(2*t*t*t-3*t*t-12*t+1)}, -10,10]);
//der = board.create('functiongraph', [function(t){return 6*t*t-6*t-12}, -10,10],{strokeColor:"red"})
//sder = board.create('functiongraph', [function(t){return 12*t-6}, -10,10],{strokeColor:"green"})
</script>
<h4 id="ejemplo">Ejemplo</h4>
<p>Vamos a aplicar todos los apartados anteriores para hacer el estudio completo de la función <span class="math">\(f \colon \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}\)</span> definida como <span class="math">\(f(x)=x^{3}+3x^{2}-9x\)</span>.</p>
<dl>
<dt>Crecimiento y decrecimiento</dt>
<dd><p>Calculamos los puntos donde se anula la derivada para averiguar el signo del resto. <span class="math">\[f'(x)=3x^2+6x-9 =0,\ x\in\{-3,1\}.\]</span> Miramos el signo de la derivada en algunos puntos intermedios: por ejemplo, <span class="math">\(f'(-10)>0\)</span>, <span class="math">\(f'(0)<0\)</span> y <span class="math">\(f'(5)>0\)</span>. Por tanto,</p>
<ul>
<li><p><span class="math">\(f\)</span> es creciente en <span class="math">\(]-\infty , -3]\)</span>,</p></li>
<li><p><span class="math">\(f\)</span> es decreciente en <span class="math">\([-3,1]\)</span> y</p></li>
<li><p><span class="math">\(f\)</span> es creciente en <span class="math">\([1,+\infty[\)</span>.</p></li>
</ul>
</dd>
<dt>Extremos relativos</dt>
<dd><p>Ya que sabemos los puntos críticos, evaluamos la segunda derivada: <span class="math">\[f''(x)=6x+6, \quad f''(-3)=-12, \quad \text{y} f''(1)=12.\]</span> Por tanto,</p>
<ul>
<li><p><span class="math">\(f\)</span> tiene un máximo relativo en <span class="math">\(-3\)</span> y</p></li>
<li><p><span class="math">\(f\)</span> tiene un mínimo relativo en <span class="math">\(1\)</span>.</p></li>
</ul>
</dd>
<dt>Convexidad y concavidad</dt>
<dd><p>Para estudiar la concavidad y convexidad de una función, miramos el signo de la segunda derivada: <span class="math">\[f''(x)=6x+6=0,\ x= -1.\]</span> Por tanto,</p>
<ul>
<li><p><span class="math">\(f''(x)\)</span> es positiva en <span class="math">\(]-\infty,-1]\)</span> (función convexa)</p></li>
<li><p><span class="math">\(f''(x)\)</span> es negativa en <span class="math">\([-1,+\infty[\)</span> (función cóncava)</p></li>
</ul>
</dd>
<dt>Puntos de inflexión</dt>
<dd><p>En <span class="math">\(-1\)</span> la función tiene un punto de inflexión: la segunda derivada se anula y la tercera en dicho punto es positiva o, si lo prefieres, la función cambia de de convexa a cóncava.</p>
</dd>
</dl>
<div id="box3" class="jxgbox" style="width:400px; height:400px;"></div>
<script type="text/javascript">
var board = JXG.JSXGraph.initBoard('box3', {boundingbox: [-30, 30, 30, -30], axis:true, showCopyright:false, showNavigation:false});
curve = board.create('functiongraph',
[function(t){ return(t*t*t+3*t*t-9*t)}, -10,10]);
//der = board.create('functiongraph', [function(t){return 6*t*t-6*t-12}, -10,10],{strokeColor:"red"})
//sder = board.create('functiongraph', [function(t){return 12*t-6}, -10,10],{strokeColor:"green"})
</script>
<article>
<header>
<h3>Ejercicio</h3>
</header>
<ol>
<li><p>Estudia la función <span class="math">\(f \colon \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\)</span> definida como <span class="math">\(f(x)=3\,{x}^{4}-4\,{x}^{3}-6\,{x}^{2}+12\,x\)</span>.</p></li>
<li>Esboza la gráfica de una función <span class="math">\(f\)</span> definida en <span class="math">\([0,2]\)</span> que verifique que <span class="math">\(f(0)=f(2)=0\)</span>, <span class="math">\(f'(0)=2\)</span> y <span class="math">\(f'(2)=-2\)</span>.
<button id="e3-2" class="button" onclick="show2('e3-2');">Solución</button>
<div id="sol-e3-2" style="display:none;">
<p>Al darnos estos datos, nos están mostrando cómo son las tangentes a la gráfica en \(0\) y en \(2\): <span style='color:orange'>\(y=2x\)</span> e <span style='color:red'>\(y=-2(x-2)\)</span>, respectivamente.</p>
<div id='ebox32' class='jxgbox' style='width:400px; height:400px;display:inline-block;text-align: center;'> </div>
<p>Como nos dan cuatro condiciones, podemos probar con un polinomio de grado \(3\) (que tiene cuatro coeficientes). Supongamos que dicho polinomio es \(p(x)= ax^3+bx^2+cx+d\). La condición \(p(x)=0\) implica que \(d=0\), y la condición \(p'(0)=2\) lleva a \(c=2\). Por tanto, nuestro polinomio es \( p(x)=ax^3+bx^2+2x\), al que tenemos que imponer también que \(p(2)=0=8a+4b+4\) y \(p'(2)=-2=12a+4b+2\).
<br>Resolviendo ese sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, obtenemos \(a=0\), \(b=-1\). Así <span style='color:blue'>\(p(x)=-x^2+2x\)</span>.</p>
<script type="text/javascript">
function pintae32(){
var f=t => -t*t+2*t;
var t1 = t => 2*t;
var t2 = t => -2*(t-2);
var board = JXG.JSXGraph.initBoard('ebox32', {boundingbox: [-1, 3, 3, -1], axis:true, showCopyright:false, showNavigation:false});
var curve = board.create('functiongraph',
[f, -5,5],{frozen:true});
board.create('functiongraph',[t1,-5,5],{dash:1,strokeColor:"orange"})
board.create('functiongraph',[t2,-5,5],{dash:1,strokeColor:"red"})
}
pintae32();
</script>
</div>
</li>
<li><p>Considera la función <span class="math">\(f \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}\)</span> definida como <span class="math">\(f(x)=\displaystyle e^{\frac{2x}{x^2+1}}\)</span>.</p>
<ol>
<li><p>Calcula las asíntotas de la gráfica de <span class="math">\(f\)</span>.</p></li>
<li><p>Determina los intervalos de monotonía (crecimiento y decrecimiento).</p></li>
<li><p>Determina lso extremos relativos de <span class="math">\(f\)</span>.</p></li>
<li><p>Esboza la gráfica de <span class="math">\(f\)</span>.</p></li>
</ol>
</li>
<li><p>Haz un estudio completo de la función <span class="math">\(f(x)=\frac{x^2+1}{x}\)</span> y representa su gráfica.</p></li>
<li><p>Haz un estudio completo de la función <span class="math">\(f(x)=\frac{x}{x^2-1}\)</span> y representa su gráfica.</p></li>
<li><p>A partir de la gráfica de <span class="math">\(f(x)=\cos(x)\)</span>, dibuja la gráfica de las funciones siguientes:</p>
<ol>
<li><p><span class="math">\( f(x)=\cos(x+1)\)</span>,</p></li>
<li><p><span class="math">\(f(x)=\cos(x-1)\)</span>,</p></li>
<li><p><span class="math">\(f(x)=\cos(2x)\)</span>,</p></li>
<li><p><span class="math">\(f(x)=\cos(x)-1\)</span>,</p></li>
<li><p><span class="math">\(f(x)=\cos(x)+1\)</span>,</p></li>
<li><p><span class="math">\(f(x)=\lvert\cos(x)\rvert\)</span>.</p></li>
</ol>
</li>
</ol>
</article>
</section>
<section>
<header>
<h1 id="optimización">Optimización</h1>
</header>
<p>En los problemas en los que hay que optimizar una cantidad, ya sea buscar un máximo o un mínimo, los pasos suelen ser los siguientes.</p>
<ol>
<li><p>Planteamos analíticamente la función a optimzar utilizando tantas variables como sean necesarias.</p></li>
<li><p>Buscamos las relaciones entre las diferentes variables usando los datos del enunciado y dejamos todas en función de una de ellas.</p></li>
<li><p>Derivamos, igualamos a cero y calculamos los puntos críticos.</p></li>
<li><p>Comprobamos con la segunda derivada que tenemos un máximo o un mínimo relativo.</p></li>
</ol>
<h4>Ejemplo</h4>
<p>Vamos a calcular las dimensiones del rectángulo de mayor área que puede inscribirse en un semicírculo de radio <span class="math">\(10\)</span>.</p>
<p>En la siguiente representación gráfica, puedes desplazar el punto rojo. El área del rectángulo correspondiente se calculará automáticamente.</p>
<div id="box4" class="jxgbox" style="width:400px; height:300px;"></div>
<script type="text/javascript">
function pinta_rect(){
JXG.Options.text.useMathJax = true;
var board = JXG.JSXGraph.initBoard('box4', {boundingbox: [-15, 15, 15, -5], axis:true, showCopyright:false, showNavigation:false});
var q1 = board.create('point',[-10,0],{visible:false});
var q2 = board.create('point',[10,0],{visible:false});
var sc = board.create('semicircle',[q1,q2],{withLabel:false, fixed:true} );
var ox = board.create('segment',[[0,0],[10,0]],{fixed:true, visible:false});
var p1 = board.create('glider',[5,0,ox],{name:'\\(x\\)'});
board.create('polygon', [[function(){return -p1.X()},0],[function(){return p1.X()},0],[function(){return p1.X()},function(){return Math.sqrt(100-p1.X()*p1.X())}],[function(){return -p1.X()},function(){return Math.sqrt(100-p1.X()*p1.X())}]], {vertices:{fixed:true, visible:false}} );
board.create('text',[function(){return p1.X()+.5},function(){return Math.sqrt(100-p1.X()*p1.X())+.5},function(){return "\\( \\left(x,\\sqrt{100-x^2}\\right)\\)"}],{fixed:true})
board.create('text',[-10,-2,function(){
var a = 2*p1.X()*Math.sqrt(100-p1.X()*p1.X());
return "Área "+ a.toFixed(3) }],{fontSize:14})
}
pinta_rect()
</script>
<ol>
<li><p>Según hemos comentado, el primer paso es encontrar la función a optimizar. Si llamamos <span class="math">\(x\)</span> al extremo inferior derecho del rectángulo e <span class="math">\(y\)</span> a la altura, el área es <span class="math">\(2xy\)</span>.</p></li>
<li><p>¿Cómo podemos relacionar <span class="math">\(x\)</span> e <span class="math">\(y\)</span>? Hay varias formas de hacerlo: la circunferencia centrada en el origen y de radio \(10\) está formada por los puntos <span class="math">\((x,y)\)</span> que cumplen la ecuación <span class="math">\[x^2+y^2=100\]</span> con lo que despejando, <span class="math">\(y = \sqrt{100-x^2}\)</span>. Ya podemos escribir la función a optimizar: <span class="math">\[f\colon [0,10]\rightarrow \mathbb{R}, \quad f(x)=2xy=2x\sqrt{100-x^2}.\]</span></p></li>
<li><p>Derivamos</p>
<p><span class="math">\[\begin{aligned}
f'(x) & = 2\left( \sqrt{100-x^{2}}- \require{cancel}\frac{\cancel{2}x^{2}}{\cancel{2}\sqrt{100-x^{2}}} \right)
= 2\left( \frac{100 -x^2}{\sqrt{100-x^2}} - \frac{x^{2}}{\sqrt{100-x^{2}}} \right)
\\
& = \frac{2\, (100 -2x^2)}{\sqrt{100-x^2}},\end{aligned}\]</span></p>
<p>e igualamos a cero <span class="math">\[f'(x)=0 \text{ que equivale a } 100-2x^{2}=0.\]</span>
Por tanto las raíces son \(-\frac{10}{\sqrt{2}}\) y \(\frac{10}{\sqrt{2}}\). Como la \(x\) tiene que ser positiva, llegamos a que la función tiene un punto crítico en \(\frac{10}{\sqrt{2}}\). </p></li>
<li><p>Para comprobar que es un máximo, vemos que la segunda derivada es negativa: <span class="math">\[f''(x)=-\frac{6x}{\sqrt{100-{x}^{2}}}-\frac{2x^{3}}{{\left( 100-{x}^{2}\right) }^{\frac{3}{2}}}\]</span> y <span class="math">\(f''(10/\sqrt{2})=-8\)</span>.</p>
<p>También podemos comprobar si es un máximo, estudiando el signo de la primera derivada a ambos lados del punto crítico. En este caso, el signo de \(f'(x)\) queda determinado por el signo de \(g(x)=100-2*x^2\). Evaluando \(g\) en, por ejemplo, \(\frac{10}{\sqrt{2}}-\frac{1}2\) y \(\frac{10}{\sqrt{2}}+\frac{1}2\), obtenemos aproximadamente \(3.62\) y \(-4.48\), respectivamente. De aquí deducimos que la función \(f\) crece a la izquierda de \(\frac{10}{\sqrt{2}}\) y decrece a su derecha. Por tanto, en \(\frac{10}{\sqrt{2}}\) se alcanza un máximo relativo. </p>
<li><p>El área máxima es \(100\).</li>
</ol>
<article>
<header>
<h3>Ejercicio</h3>
<p>Dibuja la región del primer cuadrante limitada por las gráficas de <span class="math">\(y=\sqrt{x}\)</span>, <span class="math">\(x=6\)</span>, <span class="math">\(y=0\)</span> y calcula las dimensiones del rectángulo inscrito de lados paralelos a los ejes y que tenga máxima área. <button id="e4" class="button" onclick="show2('e4');">Solución</button>
</p>
</header>
<div id="sol-e4" style="display:none;">
<br>Al ser un rectángulo inscrito en dichas gráficas y de lados paralelos a los ejes, dos de sus lados se tinen que apoyar en \(y=0\) y en \(x=6\), respectivamente. Por tanto, tiene que tener el siguiente aspecto.
<br>Puedes desplazar el punto rojo y ver cómo varía el área.
<br><br>
<div id='ebox4' class='jxgbox' style='width:400px; height:400px;display:inline-block;text-align: center;'> </div>
<br>
El área que hay que maximizar es por tanto \(f(x)=(6-x)\sqrt{x}\), que alcanza el valor máximo \(4\sqrt{2}\) en \(x=2\).
<script type="text/javascript">
function pintae4(){
var f=function(t){
if((t<=0) || (t>6)){
return 0;
}
return Math.sqrt(t);
}
var board = JXG.JSXGraph.initBoard('ebox4', {boundingbox: [-1, 3, 7, -1], axis:true, showCopyright:false, showNavigation:false});
var curve = board.create('functiongraph',
[f, -.1,6.1],{frozen:true});
board.create('integral', [[0,6], curve], {withLabel:false, fixed:true, curveRight:{visible:false}, curveLeft:{visible:false},color:"gray",frozen:true});
board.create('line',[[6,-10],[6,10]],{strokeColor:"gray",dash:1,fixed:true});
var ds = board.create('glider',[2,4,curve],{name:''});
var pol = board.create('polygon',[[function(){return ds.X()},0],[6,0],[6,function(){return ds.Y()}],[function(){return ds.X()}, function(){return ds.Y()}]], {vertices:{fixed:true, visible:false}});
board.create('text',[2,-.5,function(){
var a = (6-ds.X())*ds.Y();
return "Área "+ a.toFixed(3) }],{fontSize:14})
}
pintae4();
</script>
</div>
</article>
</section>
<hr>
<p style="font-size: 10pt">Esta página está basada en las transparencias de Jerónimo Alaminos Prats, José Extremera Lizana y Pilar Muñoz Rivas para el Curso Cero de la ETSIIT de la Universidad de Granada. Las representaciones gráficas se han realizado con <a href="http://jsxgraph.uni-bayreuth.de">JSXGraph</a>. Las animaciones en JSXGraph y el maquetado de la página han sido realizados por Pedro A. García Sánchez.</p>
<script type="text/javascript" language="javascript">
function show(str, obj){
document.getElementById(obj).innerHTML = str;
MathJax.Hub.Typeset();
//MathJax.Hub.Queue(["Typeset",MathJax.Hub,obj]);
}
function show2(divID) {
var sol = document.getElementById("sol-"+divID);
var div = document.getElementById(divID);
if(sol.style.display == "none"){
sol.style.display = "block";
}else{
sol.style.display = "none";
}
if(div.innerHTML == "Solución"){
div.innerHTML = "Oculta solución";
}else{
div.innerHTML = "Solución";
}
}
</script>
</body>
</html>