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<title>Integrales</title>
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<body>
<div id="header">
<h1 class="title">Integrales</h1>
</div>
<section>
<header>
<h1 id="concepto-de-primitiva">Concepto de primitiva</h1>
</header>
<p>Sean <span class="math">\(I\)</span> un intervalo de <span class="math">\(\mathbb{R}\)</span> y <span class="math">\(f \colon I \subset \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\)</span> una función. Se dice que es <span class="math">\(F\colon I \subset \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\)</span> es una <em>primitiva</em> de <span class="math">\(f\)</span> si <span class="math">\(F\)</span> es derivable y <span class="math">\(F\,'(x) = f(x)\)</span> para todo <span class="math">\(x \in I\)</span>.</p>
<p><span class="math">\( \)</span></p>
<ul>
<li><p>Todas las primitivas de una función se conocen en cuanto se conoce una. De hecho, si <span class="math">\(F\)</span> es una primitiva de <span class="math">\(f\)</span>, las funciones de la forma <span class="math">\(F+C\)</span>, con <span class="math">\(C \in \mathbb{R}\)</span>, son también primitivas de <span class="math">\(f\)</span>.</p></li>
<li><p>Para representar una primitiva de una función usaremos la notación siguiente: <span class="math">\(\int f(x) \, dx\)</span>.</p></li>
</ul>
</section>
<section>
<header>
<h1 id="primitivas-inmediatas">Primitivas inmediatas</h1>
</header>
<p>Si conocemos bien las derivadas de las funciones elementales, conoceremos bien la tabla de primitivas inmediatas. En el siguiente cuadro tenemos las primitivas de las funciones usuales.</p>
<table>
<tbody>
<tr class="odd">
<th align="left"><span class="math">\(f(x)\)</span></th>
<th align="left"><span class="math">\(\int f(x)\,dx\)</span></th>
</tr>
<tr class="even">
<td align="left"><span class="math">\(x^n\)</span></td>
<td align="left"><span class="math">\(\frac{x^{n+1}}{n+1}\)</span></td>
</tr>
<tr class="odd">
<td align="left"><span class="math">\(1/x\)</span></td>
<td align="left"><span class="math">\(\ln (\lvert x\rvert )\)</span></td>
</tr>
<tr class="even">
<td align="left"><span class="math">\(a^x\)</span></td>
<td align="left"><span class="math">\(a^x/\ln(a)\)</span></td>
</tr>
<tr class="odd">
<td align="left"><span class="math">\(e^x\)</span></td>
<td align="left"><span class="math">\(e^x\)</span></td>
</tr>
<tr class="even">
<td align="left"><span class="math">\(\operatorname{sen}(x)\)</span></td>
<td align="left"><span class="math">\(-\cos(x)\)</span></td>
</tr>
<tr class="odd">
<td align="left"><span class="math">\(\cos(x)\)</span></td>
<td align="left"><span class="math">\(\operatorname{sen}(x)\)</span></td>
</tr>
<tr class="even">
<td align="left"><span class="math">\(\tan(x)\)</span></td>
<td align="left"><span class="math">\(-\ln (\lvert\cos(x)\rvert )\)</span></td>
</tr>
<tr class="odd">
<td align="left"><span class="math">\(\sec^2(x)\)</span></td>
<td align="left"><span class="math">\(\tan(x)\)</span></td>
</tr>
<tr class="even">
<td align="left"><span class="math">\(\text{cosec}^2(x)\)</span></td>
<td align="left"><span class="math">\(-\text{cotan}(x)\)</span></td>
</tr>
<tr class="odd">
<td align="left"><span class="math">\(\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\)</span></td>
<td align="left"><span class="math">\(\operatorname{arcsen}(x)\)</span></td>
</tr>
<tr class="even">
<td align="left"><span class="math">\(\frac{-1}{\sqrt{1-x^2}}\)</span></td>
<td align="left"><span class="math">\(\arccos(x)\)</span></td>
</tr>
<tr class="odd">
<td align="left"><span class="math">\(\frac{1}{1+x^2}\)</span></td>
<td align="left"><span class="math">\(\arctan(x)\)</span></td>
</tr>
</tbody>
</table>
</section>
<section>
<header>
<h1 id="cálculo-de-integrales">Cálculo de integrales</h1>
</header>
<p>La siguiente regla se aplica para calcular la integral de una función en un intervalo de la forma <span class="math">\([a,b]\)</span>.</p>
<p><strong>Regla de Barrow:</strong> Sea <span class="math">\(f \colon [a,b] \rightarrow \mathbb{R}\)</span> y <span class="math">\(F\)</span> una primitiva de <span class="math">\(f\)</span>. Entonces, <span class="math">\[\int_a^b f(x) \, dx = F(b)-F(a) \ .\]</span></p>
<p>Vamos a calcular la integral de la función <span class="math">\(f(x)=x^2\)</span> en el intervalo <span class="math">\([1,2]\)</span>.</p>
<ul>
<li><p>Calculamos una primitiva de <span class="math">\(f\)</span>: <span class="math">\[F(x)=\int x^2 \, dx = \frac{x^3}{3}.\]</span></p></li>
<li><p>Aplicamos la Regla de Barrow: <span class="math">\[\int_1^2f(x) \, dx = F(2)-F(1)= \frac{8}{3}-\frac{1}{3}=\frac{7}{3}.\]</span></p></li>
</ul>
<p>En la siguiente gráfica se representa la función \(x^2\) y su integral entre \(1\) y \(2\). Puedes mover los límites de integración desplazando los puntos en la curva.</p>
<div id="box" class="jxgbox" style="width:400px; height:400px;"></div>
<script type="text/javascript">
//JXG.Options.text.useMathJax = true;
function pinta_int_parabola(){
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[function(t){ return(t*t)}, -10,10]);
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}
pinta_int_parabola()
</script>
<h2 id="propiedades-de-las-integrales">Propiedades de las integrales</h2>
<ul>
<li><p>La integral de una suma es la suma de las integrales; es decir, <span class="math">\[\int_a^b (f+g)(x)\, dx = \int_a^b f(x) \, dx +\int_a^b g(x) \, dx \ .\]</span></p></li>
<li><p>Cuando el integrando presenta un factor común constante, el resultado es el siguiente: <span class="math">\[\int_a^b \alpha \, f(x)\, dx = \alpha \, \int_a^b f(x) \, dx \ .\]</span></p></li>
</ul>
<article>
<header>
<h3>Ejercicio</h3>
<p>Calcula una primitiva de las siguientes funciones:</p>
</header>
<ol>
<li><span class="math">\( f(x)=4x^3-5x^2-7x+1\)</span>,
<button id="e1-1" class="button" onclick="show2('e1-1');">Solución</button>
<div id="sol-e1-1" style="display:none;">
<p>\(\int f(x)\, dx= x^4 - (5 x^3)/3 - (7 x^2)/2 + x\),</p>
</div>
</li>
<li><span class="math">\(f(x)=x^2+\frac{1}{x}\)</span>,
<button id="e1-2" class="button" onclick="show2('e1-2');">Solución</button>
<div id="sol-e1-2" style="display:none;">
<p>\(\int f(x)\, dx= \dfrac{x^3}{3} + \ln(x)\),</p>
</div>
</li>
<li><p><span class="math">\(f(x)=5\sqrt{x}\)</span>,
<button id="e1-3" class="button" onclick="show2('e1-3');">Solución</button>
<div id="sol-e1-3" style="display:none;">
<p>\(\int f(x)\, dx= \dfrac{10 x^{3/2}}{3}\),</p>
</div>
</p></li>
<li><p><span class="math">\(f(x)=\sqrt[4]{x^3}\).</span>
<button id="e1-4" class="button" onclick="show2('e1-4');">Solución</button>
<div id="sol-e1-4" style="display:none;">
<p>\(\int f(x)\, dx= \dfrac{4}{7} x\sqrt[4]{x^3}\).<p>
</div>
</p></li>
</ol>
</article>
</section>
<section>
<header>
<h1 id="métodos-de-integración">Métodos de integración</h1>
</header>
<h2 id="cambio-de-variable">Cambio de variable</h2>
<p>En determinadas integrales nos interesa hacer un cambio de variable, esto es, <span class="math">\(x=g(t)\)</span>, con el objetivo de que la nueva integral sea más sencilla de calcular. Utilizaremos entonces el siguiente resultado.</p>
<article>
<header>
<h4>Cambio de variable</h4>
<header>
<p>Sean \(I\) y \(J\) intervalos de \(\mathbb{R}\). Sea <span class="math">\(g \colon J \rightarrow \mathbb{R}\)</span> una función derivable y con derivada <span class="math">\(g^{\prime}\)</span> continua, de forma que \(g(J)\subseteq I\). Consideremos <span class="math">\(f \colon I \rightarrow \mathbb{R}\)</span> una función continua con primitiva <span class="math">\(F\)</span>. Entonces <span class="math">\[\int (f(g(x)) \, g^{\prime}(x) \, dx = F(g(x))+ C.\]</span></p>
</article>
<p>Si aplicamos este método a algunas de las primitivas inmediatas, obtenemos las siguientes reglas.</p>
<ul>
<li> \(\int g^{\prime}(x) g(x)^k\, dx = \frac{1}{n+} g(x)^{n+1}+ C\).
</li>
<li> \(\int g^{\prime}(x) e^{g(x)}\, dx = e^{g(x)}+C\).
</li>
<li>\(\int \frac{g^{\prime}(x)}{g(x)}\, d(x)= \ln(\vert g(x)\vert) +C\).
</li>
</ul>
<p>Como ejemplo, calculemos \(\int\frac{x}{x^2+1}\, dx\). Observamos que el numerador es "casi" la derivada del denominador; intentemos sacar provecho de esto. Multiplicamos y dividimos por \(2\) y queda
\[\int \frac{x}{x^2+1}\, dx=\frac{1}2\int\frac{2x}{x^2+1}\, dx.\]
</p>
<p>Tomando \(g(x)=x^2+1\), esta integral es de la forma \(\int\frac{g'(x)}{g(x)}\, dx\), que por el cambio de variable, tomando \(f(x)=\frac{1}x\), obtenemos
\[
\int \frac{x}{x^2+1}\, dx=\frac{1}2\int\frac{2x}{x^2+1}\, dx= \frac{1}2 \ln (x^2 +1)+ C.
\]
</p>
<p>Vamos ahora a calcular <span class="math">\[\int \frac{e^{x}+3e^{2x}}{2+e^{x}}\, dx .\]</span>
En este caso no se ve claramente la composición en el integrando. Hacemos en este caso el cambio de variable: <span class="math">\(y=e^x\)</span>.</p>
<p><span class="math">\[\begin{aligned}
\int \frac{e^{x} + 3 e^{2x}}{2 + e^{x}}\, dx & =
\left[ \begin{matrix}
y=e^{x} \\ dy=e^{x}\, dx \ \Rightarrow \ dx= \frac{dy}{y}
\end{matrix} \right]
= \int
\frac{y + 3y^{2}}{2 + y}\cdot \frac{1}{y}\, dy \\ & = \int \frac{1 + 3
y}{2+y}\, dy =\int \left( 3 - \frac{5}{2+y}\right)\, dy \\
& = 3 y - 5 \ln \lvert {y + 2} \lvert +C = 3e^{x} - 5 \ln \left(e^{x} +2\right) +C .\end{aligned}\]</span></p>
<article>
<header>
<h3>Ejercicio</h3>
<p>Calcula una primitiva de las siguientes funciones:</p>
</header>
<ol>
<li><p><span class="math">\( f(x)=\dfrac{2x-3}{x^2-3x+4}\)</span>,</p></li>
<li><p><span class="math">\(f(x)=\dfrac{\ln(x)}{x}\)</span>,</p></li>
<li><p><span class="math">\(f(x)=(x^2-1) \, e^{x^3-3x+5}\)</span>,
<!--<span id="e2-3">,<input name="execute" value="Solución ▶" onclick="show2('sol-e2-3');" type="button"></span>-->
<button id="e2-3" class="button" onclick="show2('e2-3');">Solución</button>
<div id="sol-e2-3" style="display:none;">
<p>Obsérvese que la derivada del exponente de \(e\) es casi el factor que multiplica. Para ajustarlo, basta multiplicar y dividir por \(3\). Así haciendo el cambio \(g(x)=x^3-3x+5\) y \(f(x)=e^x\),
\[
\int (x^2-1) \, e^{x^3-3x+5}\, dx= \frac{1}{3} \int (3x^2-3) \, e^{x^3-3x+5}\, dx =\frac{1}3 e^{x^3-3x+5} +C.
\]
</div>
</p></li>
<li><p><span class="math">\(f(x)=\dfrac{2^{1/x}}{x^2}\)</span>,
<button id="e2-4" class="button" onclick="show2('e2-4');">Solución</button>
<div id="sol-e2-4" style="display:none;">
<p>Teniendo en cuenta el cambio de variable y la primitiva de la función exponencial, \(\int g'(x)a^{g(x)}\, dx = \dfrac{a^{g(x)}}{\ln(a)}\). Tomando \(g(x)=\dfrac{1}x\),obtenemos \( \int \frac{1}{x^2}2^{\frac{1}{x}}\, dx= -\int-\frac{1}{x^2} 2^{\frac{1}{x}}\, dx= -\frac{2^\frac{1}x}{\ln(2)}+C\).
</div>
</p></li>
<li><p><span class="math">\(f(x)=(8x-3)(4x^2-3x+8)^{10}\)</span>,</p></li>
<li><p><span class="math">\(f(x)=(x^2-1)(x^3-3x+5)^{1/2}\)</span>,</p></li>
<li><p><span class="math">\(f(x)=x^3 \, \sqrt{x^4+1}\)</span>.
<button id="e2-7" class="button" onclick="show2('e2-7');">Solución</button>
<div id="sol-e2-7" style="display:none;">
<p>Teniendo en cuenta el cambio de variable y la primitiva de la función potencial, \(\int g'(x)g(x)^{\frac{1}2}\, dx = \dfrac{g(x)^{\frac{1}2+1}}{\frac{1}2+1}= \dfrac{2g(x)^{\frac{3}2}}{3} \). Tomando \(g(x)=x^4+1\), obtenemos \( \int x^3\sqrt{x^4+1}\, dx= \frac{1}{4}\int 4x^3(x^4+1)^{\frac{1}{2}}\, dx= \dfrac{(x^4+1)^{\frac{3}2}}{6} +C\).
</div>
</p></li>
</ol>
</article>
<h2 id="integración-por-partes">Integración por partes</h2>
<p>Si <span class="math">\(u\)</span> y <span class="math">\(v\)</span> son dos funciones, teniendo en cuenta que <span class="math">\((u\cdot v)'=u\cdot v'+v\cdot u'\)</span>, obtenemos que <span class="math">\[\int u(x)v'(x)\, dx=u(x)v(x)-\int v(x)u'(x)\, dx.\]</span> Esta fórmula aparece escrita en muchas ocasiones de la forma <span class="math">\[\int u \, dv = uv - \int v \, du.\]</span> El siguiente teorema especifica con un poco más de rigor las condiciones necesarias.</p>
<!--<article>
<header>
<h4>Integración por partes</h4>
</header>
<p>Sean <span class="math">\(u,v \colon [a,b] \rightarrow \mathbb{R}\)</span> funciones derivables con derivada continua. Entonces <span class="math">\(uv'\)</span> y <span class="math">\(vu'\)</span> son integrables en <span class="math">\([a,b]\)</span> y <span class="math">\[\int_{a}^{b} u(x)v'(x) \, dx = u(b)v(b)-u(a)v(a) -\int_{a}^{b} v(x)u'(x)\, dx .\]</span></p>
</article>-->
<h4>Ejemplo</h4>
<p>Calculemos <span class="math">\( \int x\, e^{x}\, dx\)</span>. <span class="math">\[\int x\, e^{x}\, dx =
\left[ \begin{matrix}
u=x, & du=dx \\ dv=e^{x}\,dx, & v=e^{x}
\end{matrix} \right]
= x\,e^{x} - \int e^{x} \, dx =
x\,e^{x} - e^{x} = e^{x}(x-1) .\]</span></p>
<article>
<header>
<h3>Ejercicio</h3>
<p>Calcula una primitiva de las siguientes funciones:</p>
</header>
<ol>
<li><p><span class="math">\( f(x)=\ln(5x)\)</span>,
<button id="e3-1" class="button" onclick="show2('e3-1');">Solución</button></p>
<div id="sol-e3-1" style="display:none;">
<p>Hacemos integración por partes con \(u(x)=\ln(5x)\) y \(dv=1\, dx\) (y por tanto \(v(x)=x\)). Tenemos así que \(\int \ln(5x)\, dx= \ln(5x)x-\int x\frac{5}{5x}\, dx= \ln(5x)x-x+C\).
</div>
</p></li>
<li><p><span class="math">\(f(x)=x^2 \, e^{-x}\)</span>,</p></li>
<li><p><span class="math">\(f(x)=\arctan(x)\)</span>,</p></li>
<li><p><span class="math">\(f(x)=\operatorname{sen}(x) \, e^{x}\)</span>,</p></li>
<li><p><span class="math">\(f(x)=x \ln(x)\)</span>.
<button id="e3-3" class="button" onclick="show2('e3-3');">Solución</button></p>
<div id="sol-e3-3" style="display:none;">
<p>Hacemos integración por partes con \(u(x)=\ln(x)\) y \(d v=x\, dx\) (y por tanto \(v(x)=x^2/2\)). Tenemos así que \(\int x\ln(x)\, dx= \frac{1}2x^2\ln(x)-\int \frac{1}2x\, dx= \frac{1}2x^2\ln(x)-\frac{1}4x^2+C\).
</div>
</li>
</ol>
</article>
<h2 id="integración-de-funciones-racionales">Integración de funciones racionales</h2>
<p>En este apartado vamos a estudiar el cálculo de <span class="math">\(\int \frac{P(x)}{Q(x)}\, dx \)</span>, donde <span class="math">\(P\)</span> y <span class="math">\(Q\)</span> son funciones polinómicas. Obviamente, si el grado de <span class="math">\( P \)</span> es mayor o igual que el de <span class="math">\( Q \)</span>, podemos dividir los dos polinomios obteniendo <span class="math">\[\frac{P(x)}{Q(x)}=H(x)+\frac{G(x)}{Q(x)},\]</span> donde <span class="math">\(H(x)\)</span> y <span class="math">\(G(x)\)</span> son polinomios y el grado de <span class="math">\(G\)</span> es menor que el grado de <span class="math">\(Q\)</span>. Por tanto, de aquí en adelante supondremos siempre que el grado de <span class="math">\(P\)</span> es menor que el grado de <span class="math">\(Q\)</span>.</p>
<p>Estudiaremos el caso en que <span class="math">\(Q(x)\)</span> admite raíces reales. En este caso el denominador tiene la forma <span class="math">\(Q(x)= (x-a_{1})^{r_{1}}(x-a_{2})^{r_{2}} \ldots (x-a_{n})^{r_{n}}\)</span>, y podemos descomponer la fracción <span class="math">\(\frac{P(x)}{Q(x)}\)</span> en fracciones simples</p>
<p><span class="math">\[\begin{aligned}
\frac{P(x)}{Q(x)} & = \frac{A_{1}}{x-a_{1}}+
\frac{A_{2}}{(x-a_{1})^{2}} + \cdots +
\frac{A_{r_{1}}}{(x-a_{1})^{r_{1}}} \\
& \quad + \frac{B_{1}}{x-a_{2}}+
\frac{B_{2}}{(x-a_{2})^{2}} +
\cdots + \frac{C_{r_{n}}}{(x-a_{n})^{r_n}} \, .\end{aligned}\]</span></p>
<p>Cada una de estas fracciones son de integración inmediata.</p>
<h4>Ejemplo</h4>
<p>Calculemos <span class="math">\(\int \dfrac{1}{(x-1)(x+1)^{3}} \, dx\)</span>.</p>
<p><span class="math">\[\begin{aligned}
\frac{1}{(x-1)(x+1)^{3}} & =
\frac{A}{x-1}+\frac{B}{x+1}+\frac{C}{(x+1)^{2}}+
\frac{D}{(x+1)^{3}} \\
& = \frac{A(x+1)^{3}+B(x-1)(x+1)^{2}+C(x-1)(x+1) +
D(x-1)}{(x-1)(x+1)^{3}} \\
& = \frac{(A+B)x^3 +(3A+B+C)x^2 + (3A-B+D)x+ A-B-C-D}{(x-1)(x+1)^{3}}.\end{aligned}\]</span></p>
<p>Igualando coeficientes nos queda el sistema <span class="math">\[\begin{alignedat}{5}
A&& {}+B&& && && {}=0, \\
3A&& {}+ B&& {}+C&& && {}=0, \\
3A&& {}-B&& &&{}+D && = 0, \\
A&& {}-B&& {}-C&& {}-D && {}=1.
\end{alignedat}\]</span> que tiene como soluciones <span class="math">\(A =1/8\)</span>, <span class="math">\(B = -1/8\)</span>, <span class="math">\(C=-1/4\)</span> y <span class="math">\(D=-1/2\)</span>. La integral queda</p>
<p><span class="math">\[\begin{aligned}
\int \frac{dx}{(x-1)(x+1)^{3}} & = \frac{1}{8}\int
\frac{dx}{x-1} - \frac{1}{8} \int \frac{dx}{x+1} - \frac{1}{4}
\int \frac{dx}{(x+1)^{2}} - \frac{1}{2} \int
\frac{dx}{(x+1)^{3}} \\
& = \frac{1}{8} \ln \vert x-1 \vert -\frac{1}{8} \ln \vert x+1 \vert
+ \frac{1}{4(x+1)} + \frac{1}{4(x+1)^{2}} . \end{aligned}\]</span></p>
<article>
<header>
<h3>Ejercicio</h3>
<p>Calcula una primitiva de las siguientes funciones:</p>
</header>
<ol>
<li><p><span class="math">\( f(x)=\dfrac{x+1}{x^2+2x-3}\)</span>,
<button id="e4-1" class="button" onclick="show2('e4-1');">Solución</button></p>
<div id="sol-e4-1" style="display:none;">
<p> Nótese que el numerador tiene grado menor que el denominador, por lo que no es necesario hacer ninguna simplificación previa. Además, \(x^2+2x-3=(x-1)(x+3)\). Debemos expresar \(\dfrac{x+1}{x^2+2x-3} = \dfrac{A}{x-1}+\dfrac{B}{x+3}=\dfrac{A(x+3)+B(x-1)}{x^2+2x-3}\). Por tanto \(x+1=A(x+3)+B(x-1)=(A+B)x+(3A-B)\). De aquí se deduce que \(A+B=1\) y \(3A-B=1\). Entonces, \(A=\dfrac{1}2\) y \(B=\dfrac{1}2\).</p>
<p>La integral a calcular es \(\int f(x)\, dx= \dfrac{1}2\int\dfrac{1}{x+3}\, dx+\dfrac{1}2\int\dfrac{1}{x-1}\, dx= \dfrac{1}2(\ln(|x+3|)+\ln(|x-1|))+C\).</p>
<p>Esta integral también se puede hacer mediante un cambio de variable, pues el numerador es "casi" la derivada del denominador: \(\int \dfrac{x+1}{x^2+2x-3}\, dx = \dfrac{1}2 \int \dfrac{2x+2}{x^2+2x-3}\, dx = \dfrac{1}2\ln(|x^2+2x-3|)+C = \dfrac{1}2(\ln(|x+3|)+\ln(|x-1|))+C\) (el logaritmo del producto es la suma de los logaritmos). </p>
</div>
</li>
<li><p><span class="math">\(f(x)=\dfrac{x^2+1}{x^2-1}\)</span>,
<button id="e4-2" class="button" onclick="show2('e4-2');">Solución</button></p>
<div id="sol-e4-2" style="display:none;">
<p>Podemos escribir \(x^2+1=x^2-1+2\), con lo que obtenemos directamente el cociente y resto de la división del numerador entre el denominador. Así, \(\int f(x)\, dx=\int 1\, dx + \int \dfrac{2}{x^2-1}\, dx\). Por otro lado, \(x^2-1=(x-1)(x+1)\). Tenemos que expresar \(\dfrac{1}{x^2-1}=\dfrac{A}{x-1}+\dfrac{B}{x+1}=\dfrac{A(x+1)+B(x-1)}{x^2-1}\).</p>
<p> Luego \(2=(A+B)x+(A-B)\), de lo que se deduce que \(A+B=0\) y \(A-B=2\). Los valores de \(A\) y \(B\) son \(1\) y \(-1\), respectivamente. Nuestra integral queda como sigue: \(\int f(x)\, dx= x+ \int \dfrac{1}{x-1}\, dx-\int \dfrac{1}{x+1}\, dx=x+\ln(|x-1|)-\ln(|x+1|)+C\). </p>
</div>
</li>
<li><p><span class="math">\(f(x)=\dfrac{x-1}{x^3-4x^2+5x-2}\)</span>,</p></li>
<li><p><span class="math">\(f(x)=\dfrac{x^2+2}{x^3-3x-2}\)</span>,</p></li>
<li><p><span class="math">\(f(x)=\dfrac{x-1}{x^4-4x^3}\)</span>,</p></li>
<li><p><span class="math">\(f(x)=\dfrac{x}{x^3-3x^2+3x-1}\)</span>.</p></li>
</ol>
</article>
<article>
<header>
<h3>Ejercicio</h3>
<p>Calcula las integrales siguientes:</p>
</header>
<ol>
<li><p><span class="math">\( \int_1^2 \dfrac{\ln(x)}{x} dx\)</span>,</p></li>
<li><p><span class="math">\(\int_0^1 \operatorname{arcsen}(x) \, dx\)</span>,</p></li>
<li><p><span class="math">\(\int_1^{\pi} \operatorname{sen}(x) \, e^{x} \, dx\)</span>,</p></li>
<li><p><span class="math">\(\int_2^3 \dfrac{x}{x^3-3x^2+3x-1} \, dx\)</span>,</p></li>
<li><p><span class="math">\(\int_1^{2/5} \ln (5x) \, dx\)</span>,</p></li>
<li><p><span class="math">\(\int_0^1 x^3 \, \sqrt{x^4+1} \, dx\)</span>.</p></li>
</ol>
</article>
</section>
<hr>
<p style="font-size: 10pt">Esta página está basada en las transparencias de Jerónimo Alaminos Prats, José Extremera Lizana y Pilar Muñoz Rivas para el Curso Cero de la ETSIIT de la Universidad de Granada. Las animaciones en <a href="https://jsxgraph.uni-bayreuth.de">JSXGraph</a> y el maquetado de la página han sido realizados por Pedro A. García Sánchez. Cambios en la redacción original y ejemplos aportados por María Burgos.</p>
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