mathe_ii_4.tex

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% Writng si units, numbers, list of numbers etc.
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% Unified typseting of units outside of siuitx
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% Math features
\usepackage{esdiff}
% Typeseting of (partial)derivatives 
\usepackage{commath}
% More  derivatives. Not so nice like esdiif but adds
% \dif comand for upright d in math mode.
\usepackage{bm}
% Bold font in math mode
\usepackage{esint}
% Some fancy integrals signs. Mutilpe integrals
\usepackage{enumerate}
% Different styles for enumerate lists
\usepackage{multirow}
% More advanced tabular
\usepackage{physics}
% Lots of usefull comannds for physicists. Vektors, nablas etc.
\usepackage{amssymb, xfrac, bbold}
% extra fonts and symbols 
\usepackage{mathtools}
% extension to amsmath, fixes, meany new tool
\usepackage{isotope}
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%commands:
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\newcommand*{\tran}{^{\mkern-1.5mu\mathsf{T}}}
\newcommand{\Rn}{\mathbb{R}^n}
\newcommand{\Rk}{\mathbb{R}^k}
\newcommand{\R}[1]{%
	\ifthenelse{\equal{#1}{}}
		{\mathbb{R}}
		{\mathbb{R}^{#1}}}%
\newcommand{\C}[1]{%
	\ifthenelse{\equal{#1}{}}
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\DeclarePairedDelimiter{\innerprod}\langle\rangle
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        #1\par
        \vfill
        {\tiny\texttt{\parbox[t]{\textwidth}{\localtag\\\globaltag\hfill\uuid}}}
        \newpage}
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\newcommand{\tags}[1]{
    \ifnote 
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\begin{document}
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\tags{mathe2::1sem::Distributionen}
	\begin{note}
		\xplain{209bf43d-23b8-4c25-a7f0-77f2ab721b9e}
		\tags{}
		
		\begin{field}  % Question
			Der Schwarzraum $D(\Omega)$ ist ...
		\end{field}
		
		\begin{field}  % Answer
			der Raum der unendlich oft differenzierbaren Funktionen, auf $\Omega$, mit kompakten Tr"ager $C^\infty_c(\Omega)$.
		\end{field}
	\end{note}
		\begin{note}
			\xplain{31dae087-461c-4fb0-b899-69f8c9fba417}
			\tags{}
			
			\begin{field}  % Question
				Der Schwarzraum $S$ ist...
			\end{field}
			
			\begin{field}  % Answer
				der Raum der schnell fallenden Funktionen. Das sind $\varphi \in C^\infty$, auf ganz $\R{n}$ f"ur die f"ur beliebige
				Multiindizes $\alpha, \beta$ und ein Vektor $x$ $x^\alpha D^\beta \varphi$ beschr"ankt ist.
			\end{field}
		\end{note}
		\begin{note}
			\xplain{d17d92bb-6f32-414a-85e2-ad05c8221605}
			\tags{}
			
			\begin{field}  % Question
				Wie ist die Konvergenz im Schwarzraum $D(\Omega)$  definiert?
			\end{field}
			
			\begin{field}  % Answer
				\begin{equation*}
					\lim\limits_{m\rightarrow\infty} \varphi_m = \varphi \quad \text{in} D
				\end{equation*}
				falls $\exists K \subseteq \Rn$ kompakt mit:
				\begin{enumerate}
					\item $\forall_{m \in \mathbb{N}}: \ \text{supp}\varphi_m \subseteq K$ ,
					\item $D^\alpha\varphi_m \rightarrow D^\alpha\varphi$ gleichm"a"sig auf $\Omega$. 
				\end{enumerate}
			\end{field}
		\end{note}
			\begin{note}
				\xplain{df8ad57b-bcf6-4826-8dc0-8c97a582cd0e}
				\tags{}
				
				\begin{field}  % Question
					Wie ist die Konvergenz im Schwarzraum $S$  definiert?
					Wie lauten die äquivalente Bedingungen?
				\end{field}
				
				\begin{field}  % Answer
					\begin{equation*}
					\lim\limits_{m\rightarrow\infty} \varphi_m = \varphi \quad \text{in} S
					\end{equation*}
					genau dann, wenn $\forall$ Multiindizes $\alpha, \beta$
					\begin{equation*}
						x^\alpha D^\beta\varphi_m \rightarrow x^\alpha D^\beta\varphi
					\end{equation*}
					gleichm"a"sig auf ganz $\Rn$.
					
					"Aquivalent dazu ist: $\forall_{k\in \mathbb{N}_0}$ und f"ur jeden Multiindex $\alpha$ gilt
					\tiny\begin{equation*}
						\qty(1+\abs{x}^2)^kD^\alpha\varphi_m(x) \overset{\text{glm.}}{\rightarrow}
						\qty(1+\abs{x}^2)^kD^\alpha\varphi(x)
					\end{equation*}
					\normalsize
					Auch "aquivalent : $\forall k \in \mathbb{N}_0 : \norm{\varphi_n - \varphi}_k \rightarrow 0$ 
				\end{field}
				\end{note}
				\begin{note}
					\xplain{9d3022eb-bcb3-4ebd-9d9a-e47e352b6adc}
					\tags{}
					
					\begin{field}  % Question
						Was sind $D'$ und $S'$.
					\end{field}
					
					\begin{field}  % Answer
						Die dazugeh"orige Dualr"aume. Also R"aume der stetigen Funktionale auf $D$ (oder$S$).
					\end{field}
						
					\begin{field}  % Question
						Welche Funktionen k"onnen mit Distributionen multipliziert werden, um eine
						neue Distribution zu definieren?
					\end{field}
					
					\begin{field}  % Answer
						F"ur $T\in D'(\Omega)$ gilt es f"ur  $f\in C^\infty(\Omega)$.
						F"ur $T'\in S'$ gilt es f"ur  $f\in P^\infty_n$.
					\end{field}
						
					\begin{field}  % Question
						Welche Funktionen erzeugen regul"are Distributionen? 
					\end{field}
					
					\begin{field}  % Answer
						$f\in L^1_{\text{loc}}$ erzeugt $[f]\in D'$.
						
						$f \in P_n$ erzeugt $[f] \in S'$.
					\end{field}
						
					\begin{field}  % Question
						Welche Operationen gibt es f"ur Distributionen?
					\end{field}
					
					\begin{field}  % Answer
						\begin{itemize}
							\item Addition und skalare Multiplikation (da Vektorraum),
							\item Multiplikativit"at,
							\item Ableitungen,
							\item schwache Konvergenz,
							\item Tensorprodukt,
							\item Faltung (nur geeignete Distributionen),
							\item Fouriertransformation (nur f"ur $T\in S'$).
						\end{itemize}
					\end{field}
						
					\begin{field}  % Question
						Wie definiert man Die Ableitung einer Distribution?
					\end{field}
					
					\begin{field}  % Answer
						\begin{equation*}
							(D^\alpha T)(\varphi) \coloneq (-1)^{\abs{\alpha}}T(D^\alpha \varphi)
						\end{equation*}
					\end{field}
						
					\begin{field}  % Question
						Rechenregel f"ur Ableitungen von Distributionen:
					\end{field}
					
					\begin{field}  % Answer
						\begin{itemize}
							\item jedes $T\in D'$ ist beliebig oft diif'bar,
							\item $D^\alpha(D^\beta T) = D^\beta(D^\alpha T) = D^{\alpha + \beta}$,
							\item Sei $f\in C^\infty$ dann gilt ($\alpha,\beta\gamma$ Multiindizes):
							\begin{equation*}
								D^\gamma(f\cdot T) = \sum_{\alpha + \beta = \gamma} \frac{\gamma!}{\alpha!\beta!}(D^\alpha f)(D^\beta T)
							\end{equation*}
						\end{itemize}
					\end{field}
						
					\begin{field}  % Question
						Wie ist der Tensorprodukt regul"aren Distributionen definiert?
					\end{field}
					
					\begin{field}  % Answer
						$\Omega_x \subset \R{m}, \Omega_y \subset \Rn, \Omega_z = \Omega_x \times \Omega_y \subseteq \R{m+n}$
						
						Mit dem Satz von Fubini:
						\begin{align*}
						\innerprod{[f]\otimes [g], \chi} =& \int_{\Omega_z} (f \otimes x)(z)\chi(z)\dif^{m+n}z\\
						 =& \innerprod{[f]_x, \innerprod{[g]_x, \chi(x,y)}} \\
						=&\innerprod{[g]_y, \innerprod{[f]_y, \chi(x,y)}}
						\end{align*}
					\end{field}
						
					\begin{field}  % Question
						Wie st das Tensorprodukt allgemeiner Distributionen definiert?
					\end{field}
					
					\begin{field}  % Answer
						$R\coloneqq S\otimes T \in D'(\R{m+n})$ mit:
						\begin{itemize}
							\item $\forall \varphi \in D(\R{m}) \ \forall \psi \in D(\Rn): \ R(\varphi \otimes \psi) = S(\phi) \cdot T(\psi)$,
							\item $\forall \rho \in D(\R{m+n}): R(\rho) = S(T(\rho_x))$, wobei \\
							$\rho_x : \R{n} \rightarrow \R{}, \ y \mapsto \rho(x,y), \quad \rho_x \in D(\R{m})$
						\end{itemize}						
					\end{field}
						
					\begin{field}  % Question
						Eigenschaften des Tensorprodukts von Distributionen:
					\end{field}
					
					\begin{field}  % Answer
						\begin{itemize}
							\item $\innerprod{S_x,\innerprod{T_y, \varphi(x,y)}} = \innerprod{T_y,\innerprod{ T_x, \varphi(x,y)}} \forall \varphi \in D(\Omega_z)$.
							\item Das Tensorprodukt ist im jedem Faktor stetig.
							\item Es ist assoziativ.
							\item Es gilt: $D^\alpha_xD^\beta_y (S_x\otimes T_y) = D^\alpha_xS_x\otimes D^\beta_y T_y $.
							\item $f\in C^\infty(\Omega_x), g \in C^\infty(\Omega_y), S_x \in D'(\Omega_x), T_y
							\in D'(\Omega_y)$: 
							\begin{equation*}
								(f\otimes g) (S_x \otimes T_y) = (fS_x)\otimes(gT_y)
							\end{equation*}
						\end{itemize}
					\end{field}
				\end{note}
			\begin{note}
				\xplain{0e34d028-ac88-4c20-a15a-3b2eca92028c}
				\tags{}
				
				\begin{field}  % Question
					Wie ist der Raum der polynombeschr"ankten Funktionen (Funktionen von polynomialen Wachstum) $P_n$ (bzw. der Raum $P^\infty_n$) definiert?
				\end{field}
				
				\begin{field}  % Answer
					 \begin{align*}
					 	P_n = \big\{f\in L^0(\Rn)\ | \ \forall x \in \Rn \exists m\in \mathbb{N}_0, C>0 :& \\ : \abs{f(x)} \leq C(1 + \abs{x}^2)^2\big\}&
					 \end{align*}
					 \begin{align*}
					 P_n^\infty = \big\{f\in C^\infty(\Rn)\ | \ \forall x \in \Rn \forall \alpha, \exists m\in \mathbb{N}_0, C>0 :& \\ : \abs{D^\alpha f(x)} \leq C(1 + \abs{x}^2)^m&\big\}
					 \end{align*}					
				\end{field}
			\end{note}
			\begin{note}
				\xplain{45e859a4-165d-4c5d-98dd-03e167ff0a38}
				\tags{}
				
				\begin{field}  % Question
					Eine Distribution $T\in D'(\Omega)$ hei"st \textit{finit}, wenn...
				\end{field}
				
				\begin{field}  % Answer
					... $\text{supp}T$ kompakt.
				\end{field}
					
				\begin{field}  % Question
					Wie definiert man Faltung von finiten Distributionen ? 
				\end{field}
				
				\begin{field}  % Answer
					Seien $S, T \in D'(\Rn)$ Sei $T$ finit. Sei $\eta \in D(\Rn)$, so dass $\exists$ eine Umgebung $U$ von $\text{supp}T$
					mit $\forall x \in U : \eta(x)=1$.
					
					F"ur ein $\varphi \in D(\Rn)$ setze $\rho(x,y) \coloneqq \eta(y)\phi(x+y)$.
					
					Definiere Faltung:
					\begin{equation*}
					 S * T : D(\Rn) \rightarrow \C{}, \quad \varphi \mapsto S(T(\rho_x))= \innerprod{S_x,\innerprod{T_y, n(y)\varphi(x+y)}}
					\end{equation*} 
					Es gilt: $S*T \in D'(\Rn)$.
					
					Das hei"st also, dass zwei Distributionen miteinander faltbar sind, falls eine von denen, finit ist. Das ist aber nur eine hinreichende Bedingung. (Es gibt eine allgemeinere Definition "uber Grenzwert und mit einer 1 Folge.) 
					
					Das $\eta$ existiert wegen des Lemmas "uber \textit{glatte Abschmierfunktionen}.
				\end{field}
			\end{note}
		\begin{note}
			\xplain{485b40ca-ec84-4d95-a49b-4735b461a33f}
			\tags{}
			
			\begin{field}  % Question
				Wie ist die Fouriertransformation definiert?
			\end{field}
			
			\begin{field}  % Answer
				Sei $f\in L^1(\Rn)$, definiere:
				\begin{align*}
					\hat{f}(\xi) = \mathcal{F}(f(\xi)) \coloneqq& (2\pi)^{-n/2} \int_{\Rn} f(x) e^{-i\innerprod{\xi,x}} \dif^n x\\
					\breve{f}(\xi) = \mathcal{F}^{-1}(f(\xi)) \coloneqq& (2\pi)^{-n/2} \int_{\Rn} f(x) e^{i\innerprod{\xi,x}} \dif^n x
				\end{align*} 
			\end{field}
			
		\begin{field}  % Question
			Was gilt f"ur die Fouriertransformation der schnell fallenden Funktionen?
		\end{field}
		
		\begin{field}  % Answer
			Die Fouriertransformation ist eine bijektive, $L^2(\Rn)$-isometrische, lineare Abbildung von $S_n$ auf $S_n$.
		\end{field}
			
		\begin{field}  % Question
			Wie ist die Fouriertransformation von Distributionen definiert? Was besagt der Theorem "uber die Fouriertransformation auf $S_n$?
		\end{field}

		\begin{field}  % Answer
					 	$\mathcal{F}(T), T\in S_n$ wird auf folgende Weise definiert:
			\begin{equation*}
			\innerprod{\mathcal{F}(T), \varphi} \coloneqq \innerprod{T, \mathcal{F}(\varphi)}
			\end{equation*}
			Es ist ein linearer Isomorphismus von $S'$ auf sich mit der Inversen:
			\begin{equation*}
			\innerprod{\mathcal{F}^{-1}(T), \varphi(x)} = \innerprod{T, \mathcal{F}(\varphi(-x))}
			\end{equation*}
			$\mathcal{F}$ und $\mathcal{F}^{-1}$ sind stetig in dem Sinne, dass
			\begin{equation*}
			T_m \underset{S'}{\rightarrow} T \Rightarrow \mathcal{F}(T_m) 
			\underset{S'}{\rightarrow} \mathcal{F}(T)
			\end{equation*}
		\end{field}
			
		\begin{field}  % Question
			Welche Rechenregel gelten f"ur $\mathcal{F}$ auf $S_n$ bzw. $S_n'$?
		\end{field}
		
		\begin{field}  % Answer
			Seien $\varphi \in S_n$, $\alpha,\beta \in \mathbb{N}_0^n$ Multiindizes, dann
			\begin{itemize}
				\item $D^\alpha_x\Fr\qty[\varphi(x)](p) = \Fr \qty[(-ix)^\alpha\varphi(x)](p)$,
				\item $\Fr\qty[D_x^\beta\varphi(x)](p) = (ip)^\alpha\Fr\qty[\varphi(x)](p)$,
				\item $p^\beta D^\alpha_p \Fr\qty[\varphi(x)](p) = i^{\abs{\alpha} + \abs{\beta}} \Fr\qty[D^\beta_x (x^\alpha \varphi(x))](p)$.
			\end{itemize}
		
		
			Sei noch $T$ in $S_n'$. Es gilt
			\begin{itemize}
				\item $D^\alpha \Fr(T) = \Fr\qty[(-ix)^\alpha T]$,
				\item $\Fr\qty[D^\alpha T] = (i\xi)^\alpha \Fr(T)(\xi)$,
				\item $D^\alpha \Fr^{-1}(T) = \Fr^{-1}\qty[(i)^\alpha T]$,
				\item $\Fr^{-1}\qty[D^\alpha T] = (-i\xi)^\alpha \Fr^{-1}(T)(\xi)$.
			\end{itemize}
		\end{field}
		\end{note}
		\begin{note}
			\xplain{63f4f833-aa94-4650-9ef8-d3f0efcb71fc}
			\tags{}
			
			\begin{field}  % Question
				Wie ist ein linearer Differential Operator $m$-ter Ordnung definiert(mit Multiindex)?
				Wie wendet man solchen Operator auf eine Distribution?
			\end{field}
			
			\begin{field}  % Answer
				$L(x,D) = \sum_{\abs{\alpha}=0}^m a_\alpha(x)D^\alpha, \quad a_\alpha \in C^\infty(\Rn), x\in\Rn$
					
				$\innerprod{L(x,D)(T), \varphi} \coloneqq \innerprod{T, L^*(x,D)(\varphi)}$
				
				$L^*(x,D) = \sum_{\abs{\alpha}=0}^m (-1)^\alpha a_\alpha(x)D^\alpha$
				
				$L^*$ Ist der zu $L$ adjungierte Operator. 
			\end{field}
			
		\begin{field}  % Question
			Definiere eine schwache L"osung einer PDGL.
		\end{field}
		
		\begin{field}  % Answer
			Betrachte $L(x,D)T =S$, mit $S in D'(\Rn)$. $T\in D'(\Rn)$ ist eine schwache L"osung dieser Gleichung, auf dem Gebiet $G\subseteq \Rn$ falls:
			\begin{equation*}
				\forall \varphi \in D(\Rn) \text{ mit } \text{supp}\varphi \subset G:
				\innerprod{L(x,D)T,\varphi} = S
			\end{equation*}
		\end{field}
			
		\begin{field}  % Question
			Wann ist eine Distribution eine \textit{Grundl"osung} bzw. eine \textit{Fundamentall"osung}?
		\end{field}
		
		\begin{field}  % Answer
			Sei $L(D)$ ein linearer Differentialoperator mit konstanten Koeffizienten.
			$T\in D'(\Rn)$ ist eine \textit{Grundl"osung} von $L(D)$ falls
			\begin{equation*}
				L(D)T = \delta
			\end{equation*}
		\end{field}
			
		\begin{field}  % Question
			Wie gelang man zur schwachen L"osung der inhomogen PDGL mit konstanten Koeffizienten, falls die Grundl"osung schon bekannt ist?
		\end{field}
		
		\begin{field}  % Answer
			Betrachte $L(D)T=S$ mit $S\in D'(\Rn)$. Ist $T \in D'(\Rn)$ eine Grundl"osung der PDGL, d.h. $L(D)T=\delta$, und $R\coloneqq T' * S'$ existiert, dann ist $R$ eine L"osung der inhomogenen PDGL.
		\end{field}
			
		\begin{field}  % Question
			Wie lautet der Satz von Satz Malgrange/Ehrenpreis?
		\end{field}
		
		\begin{field}  % Answer
			Jeder lineare Differentialoperator mit konstanten Koeffizienten besitzt eine Grundl"osung. 
		\end{field}
		\end{note}

\end{document}