6-froglike6

[froglike6]

🔗 문제 링크

N-Queen

✔️ 소요된 시간

약 40분

✨ 수도 코드

서로 공격하지 않는 N개의 퀸을 N×N 체스판 위에 놓을 수 있는 모든 경우의 수를 구하는 문제입니다.

퀸은 같은 행, 같은 열, 같은 대각선에 있는 말을 공격할 수 있으므로, 다음 제약을 만족하는지 확인하며 탐색합니다.

수도코드

1. 입력으로 n(체스판 크기)를 받는다.

2. 백트래킹 함수 dfs(row, cols, diag1, diag2)를 정의한다.
   - row: 현재 탐색 중인 행 번호
   - cols: 이미 퀸이 놓인 열 정보 (비트마스크)
   - diag1: "/" 방향 대각선 정보 (왼쪽 위 → 오른쪽 아래)
   - diag2: "\" 방향 대각선 정보 (오른쪽 위 → 왼쪽 아래)

3. dfs에서 다음을 수행한다.
   - row가 n이면 퀸을 모두 배치한 경우이므로 해 개수를 +1 한다.
   - 가능한 위치를 비트 연산으로 구한다.
     available = ~(cols | diag1 | diag2) & ((1 << n) - 1)
   - 가능한 모든 위치에 대해:
     - 하나의 위치 p를 선택 (가장 오른쪽 비트)
     - 해당 위치를 마스크에서 제거
     - 재귀 호출: 다음 행으로 이동하고, cols, diag1, diag2를 갱신하여 전달한다.

4. 결과값을 출력한다.

저는 비트마스크를 이용한 백트래킹 방식으로 해결했습니다.
예전에 어느 어려운 문제(아마도 루비 문제)에서 봤던 기억이 나서 사용해보았습니다.
이 방법은 열/대각선 제약 조건을 비트 연산으로 빠르게 검사할 수 있어 매우 효율적입니다.

비트마스크

비트마스크는 정수의 이진수 표현을 활용하여 여러 개의 상태를 하나의 숫자로 표현하는 기법입니다.
각 비트는 특정 조건의 충족 여부를 의미하며, 1이면 참(True), 0이면 거짓(False)을 나타냅니다.

예시

체스판이 n = 4일 때,
숫자 0b1010 (이진수)은 다음과 같은 상태를 뜻합니다:

• 0번 열: 없음 (0)
• 1번 열: 있음 (1)
• 2번 열: 없음 (0)
• 3번 열: 있음 (1)

즉, 퀸이 1번과 3번 열에 있다는 뜻입니다.

---

코드 설명

• cols: 특정 열에 퀸이 이미 배치되었는지 여부
• diag1: ↘ 방향 대각선 (row + col이 같은 위치)
• diag2: ↙ 방향 대각선 (row - col이 같은 위치)

비트 연산을 통해 충돌 여부를 O(1)로 판단할 수 있습니다.

available = ~(cols | diag1 | diag2) & ((1 << n) - 1)

이 코드는 "현재 행에서 퀸을 놓을 수 있는 위치"를 계산합니다.
한 줄씩 쉽게 설명해보면:

1. cols | diag1 | diag2

   지금까지 퀸이 놓인 열, ↘ 방향 대각선, ↙ 방향 대각선 정보를 모두 합칩니다.

   • | 연산은 "또는"이므로, 어느 한 곳이라도 퀸이 있으면 1이 됩니다.

2. ~(cols | diag1 | diag2)

   위에서 1이 된 부분(퀸이 있거나 공격받는 자리)을 반전시켜
   → 퀸을 놓을 수 있는 자리만 1로 만듭니다.

3. & ((1 << n) - 1)

   예: n = 4라면 1 << 4 = 16 = 0b10000
((1 << n) - 1) → 0b1111 (하위 n비트만 1)
   이것을 & 연산해서 n x n 체스판 이외의 상위 비트를 제거합니다.

이 계산의 결과인 available은
현재 행에서 퀸을 놓을 수 있는 열을 1로 표시한 비트마스크입니다.

---

다음 코드

position = available & -available

• 현재 가능한 자리 중에서 가장 오른쪽에 있는 1비트 하나만 추출합니다.
• 예: available = 0b10100 → position = 0b00100

available &= available - 1

• 방금 선택한 자리(position)를 available에서 제거합니다.
• 다음 반복에서는 나머지 가능한 자리들만 탐색하게 됩니다.

백트래킹

백트래킹은 가능한 해를 찾기 위해 모든 후보를 탐색하되, 유효하지 않은 경우 더 깊은 탐색을 하지 않고 즉시 되돌아가는 탐색 기법입니다.

이 문제에서는 다음과 같은 조건에서 백트래킹이 적용됩니다:

• 현재 위치에 퀸을 놓았을 때, 열/대각선 중 하나라도 이미 사용 중이면 즉시 가지치기
• 그렇지 않으면 재귀적으로 다음 행에 대해 반복
• 퀸을 N개 전부 배치하면 해의 수를 증가시킴

📚 새롭게 알게된 내용

• 비트 연산을 활용하면 열, 대각선 충돌 여부를 매우 빠르게 판단할 수 있어 성능이 크게 향상됨
• x & -x를 이용해 가장 오른쪽 1비트를 빠르게 추출할 수 있음 (대표적인 비트마스크 트릭)
• 백트래킹에 비트마스크를 결합하면 효율성과 단순성을 동시에 얻을 수 있음
• OEIS A000170 수열을 통해 N-Queens 문제의 해 개수를 사전에 참고할 수 있음

참고: OEIS A000170

[hadongun]

오.. 비트 연산을 통해 충돌 여부를 판단 할 수 있군요..!
저는 for문을 통해 row행에 퀸을 놓고 같은 열에 퀸이 있는지(col[row]), 대각선 방향에 퀸이 있는지 확인하는 방법을 생각해봤어욥

        if col[i] == col[row] or abs(col[row] - col[i]) == row - i:

[caucsejunseo]

영상과 코드 한줄 한줄 설명을 달아주셔서 이해하기 너무 좋았습니다!

처음 문제 봤을 때 이차원 배열을 생각했는데 비트 연산으로 해결하신 점이 흥미로웠습니다

백트레킹에 대해서도 새로 접하게 되서 유익했던 거 같아요

[dohyeondol1]

와우...저는 이거 수도 코드 없었으면 못 읽을뻔 했네요...
백트래킹에 대해서 공부도 같이하는겸 문제를 풀어보려고 했는데,
접근은 쉬웠는데 구현 능력이 아쉬워서,, 문제를 맞출 때 까지 시간이 오래 걸렸습니다..

저는 비트마스킹에 대한 개념을 몰라서 그냥 백트래킹으로만 풀었씁니닷.
인덱스를 행으로, 값을 열로 설정한 배열을 사용했습니다.
처음에 그냥 행 열 둘 다 인덱스로 써보려다가 값을 넣을게 없더라구요.

같은 열에 위치하는지, 같은 대각선에 위치하는지 검사해서 부딪히지 않게 조건문을 짰습니다.

백트래킹 자체도 오늘 찾아보고 배우기 시작한거라 스스로 풀어내에는 데에만 2시간은 쓴 것 같습니다.. promising을 검사하는 부분에서 꽤나 애를 먹었네요..

C++ 코드

#include <iostream>
using namespace std;

int N;
int result = 0;
int column[15];

bool isPromising(int currentRow) {
    for(int prevRow = 0; prevRow < currentRow; prevRow++) {
        if(column[prevRow] == column[currentRow] || abs(column[currentRow] - column[prevRow]) == currentRow - prevRow) {
            return false;
        }
    }
    return true;
}

void NQueens(int row) {
    if(row == N) {
        result++;
        return;
    }
    
    for(int i = 0; i < N; i++) {
        column[row] = i;
        if(isPromising(row)) {
            NQueens(row + 1);
        }
    }
}

int main() {
    cin >> N;
    NQueens(0);
    cout << result << endl;
    return 0;
}

번외로 이런 하드코딩도 정답으로 쳐주더군요...허허

입력대로 정해진 정답을 출력하는 코드

#include <iostream>
using namespace std;

int main() {
    int N;
    cin >> N;

    if (N == 1) cout << 1 << endl;
    else if (N == 2) cout << 0 << endl;
    else if (N == 3) cout << 0 << endl;
    else if (N == 4) cout << 2 << endl;
    else if (N == 5) cout << 10 << endl;
    else if (N == 6) cout << 4 << endl;
    else if (N == 7) cout << 40 << endl;
    else if (N == 8) cout << 92 << endl;
    else if (N == 9) cout << 352 << endl;
    else if (N == 10) cout << 724 << endl;
    else if (N == 11) cout << 2680 << endl;
    else if (N == 12) cout << 14200 << endl;
    else if (N == 13) cout << 73712 << endl;
    else if (N == 14) cout << 365596 << endl;

    return 0;
}

비트마스킹 개념이 흥미로운데 이것까지 공부하기에는 무리가 있어보이네요 허헣
주에 거의 새로운 개념을 2,3개씩 공부하는 것 같아요..

조만간 복습 차원에서 한바퀴 싹 돌려야겠습니다..