11-froglike6

[froglike6]

🔗 문제 링크

High Towers

✔️ 소요된 시간

30분

✨ 수도 코드

수도코드

n을 입력받는다
결과 = (n * (n + 1) * (n + 2)) / 6
결과를 출력한다

이 문제는 높이가 $n$인 정삼각형에서, 다른 크기의 정삼각형을 몇 개나 찾을 수 있는지 출력하는 문제입니다.

$n=3$일 때, 가장 큰 삼각형 1개와 중간 삼각형 3개, 그리고 작은 삼각형 6개이므로 총 10개입니다.
이렇게 하다 보면 일반화를 할 수 있는데, 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.

$$ \text{total} = \sum_{size=1}^{n} \left( (n - size + 1) \times \left( (n - size + 1) - (size - 1) \right) \right) $$

이를 정리하면 $\frac{n(n+1)(n+2)}{6}$으로 나타낼 수 있어서, 이를 출력하도록 했습니다.

📚 새롭게 알게된 내용

[dohyeondol1]

허허 수학머리가 좀 딸려서 그냥 귀납적으로 추론해서 풀었습니다.
모르는 수학문제는 상당히 시간이 많이 쓰이네요...

그냥 위쪽을 바라보는 정삼각형을 하나 하나 세어보니,
작은 삼각형부터 큰 삼각형까지의 개수를 합으로 다음처럼 표현할 수 있더군요.
높이 n에 따라서,

$n = 2 : \quad 3+1 = 4$
$n = 3 : \quad 6+3+1 = 10$
$n = 4 : \quad 10+6+3+1 = 20$
$n = 5 : \quad 15+10+6+3+1 = 35$
$n = 6 : \quad 21+15+10+6+3+1 =56$

더해지는 각 수 $T_k$ 가 $n = k$ 일 때

$$ T_k = \frac{k(k+1)}{2} $$

이고, 그 수들의 누적 합 이므로

$$ \sum_{k=1}^{n} T_k = \sum_{k=1}^{n} \frac{k(k+1)}{2} = \frac{1}{2} \sum_{k=1}^{n} (k^2 + k) = \frac{1}{2} \left( \sum_{k=1}^{n} k^2 + \sum_{k=1}^{n} k \right) $$

이때 합 공식을 적용할 수 있습니다.

$$ \sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}, \quad \sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} $$

따라서 다음과 같이 공식을 구할 수 있습니다.

$$ = \frac{1}{2} \cdot \left( \frac{n(n+1)(2n+1 + 3)}{6} \right) = \frac{n(n+1)(2n+4)}{12} = \frac{n(n+1) \cdot 2(n+2)}{12} $$

$$ = \frac{n(n+1)(n+2)}{6} $$

같은 모양을 유지하면서 크기만 커지는지라 개수는 유지되는점이
푸는데 가장 큰 힌트가 되었던 것 같습니다.

C++

#include <iostream>
using namespace std;

int main() {
	cin.tie(nullptr)->sync_with_stdio(false);
	
	long long n;
	cin >> n;
	
	long long answer = n*(n+1)*(n+2)/6;
	cout << answer << '\n';
	
	return 0;
}

풀고 나서 보니 이게 "삼각수"라는 개념이 있더군요... 신기한 수학의 세계..!
제 풀이가 삼각수의 누적합으로 풀어내는 풀이였네요..

[hadongun]

저는 위에서 현석님이 언급하신 T(k)만 구하였습니다. 그래서 높이가 1 낮은 정삼각형에서 필요한 삼각형의 개수 + t(k-1)을 통해 현재 필요한 삼각형의 개수를 이중 for문으로 구하였는데
역시 시간 초과가 떳습니다..! 음 뭐지 하고 써주신 설명과 리뷰를 보니 T(k)의 합이더군요!
조금 더 생각을 깊이 할 필요가 있는 것 같습니답..

시간초과

n = int(input())
d = [0]*(n+1)
d[1] = 1
k = 0
for i in range(2, n+1):
    k = 0
    for j in range(1,i+1):
        k += j
    d[i] = d[i-1] + k
print(d[n])
    
    

[caucsejunseo]

그림 그려서 풀어보면 결국 1이 n만큼 반복되고 2는 n-1만큼, 그리고 3은 n-2만큼 반복해서 더해진다고 생각했습니다.

답은 예시로 똑같이 출력되는데 백준에 제출하면 틀렸다고 뜨네요;; 혹시 어디가 문제인지 아시면 알려주세요! 채찍피티한테 반례달라고 했더니 저렇게 뜨네요;

무언가틀린코드

#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <stdbool.h>
#include <string.h>




int main()
{
    int n = 0;
    scanf("%d", &n);
    long long answer = 0;
    int j = n;

    for (int i = 1; i < n + 1; i++)
    {
        answer += i * j;
        j--;
   }

    printf("%lld", answer);


    return 0;
}
    

[froglike6]

#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <stdbool.h>
#include <string.h>




int main()
{
    int n = 0;
    scanf("%d", &n);
    long long answer = 0;
    int j = n;

    for (int i = 1; i < n + 1; i++)
    {
        answer += i * j;
        j--;
   }

    printf("%lld", answer);


    return 0;
}
    

@caucsejunseo
i와 j에서 오버플로우가 발생합니다! 그래서 둘 다 long long int로 바꿔주면 정답이 나오네요 ㅎㅎ