23-dohyeondol1

[dohyeondol1]

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플로이드

✔️ 소요된 시간

20분

✨ 수도 코드

수도 코드

1. n(도시 수), m(버스 수) 입력받기

2. 거리 배열 dist[n+1][n+1]을 INF로 초기화
  - INF = 1e9 (무한대 값)

3. 자기 자신으로의 거리를 0으로 설정
  - for i = 1 to n:
      dist[i][i] = 0

4. m개의 버스 정보 입력받기
  - for i = 0 to m-1:
      a, b, c 입력 (출발, 도착, 비용)
      dist[a][b] = min(dist[a][b], c)  // 중복 간선 처리

5. 플로이드-워셜 알고리즘 수행
  - for k = 1 to n:           // 경유점
      for i = 1 to n:         // 시작점
          for j = 1 to n:     // 도착점
              if dist[i][k] != INF and dist[k][j] != INF:
                  dist[i][j] = min(dist[i][j], dist[i][k] + dist[k][j])

6. 결과 출력
  - for i = 1 to n:
      for j = 1 to n:
          if dist[i][j] == INF:
              출력 0
          else:
              출력 dist[i][j]

이번 문제는 모든 정점 쌍 간의 최단 거리를 구하는 플로이드-워셜(Floyd-Warshall) 알고리즘을 사용하는 대표적인 문제입니다.
우리가 가장 보편적으로 최단 거리를 구하는 방법하고 비슷하다고 생각합니다.

플로이드-워셜 알고리즘

다익스트라는 하나의 정점에서 다른 모든 정점까지의 최단 거리를 구하는 알고리즘이었다면, 플로이드-워셜 알고리즘은 한 번 실행하여 모든 노드 간 최단 경로를 구할 수 있습니다.
이는 플로이드-워셜 알고리즘이 동적 계획법을 기반으로 하는 최단 경로 알고리즘이기 때문입니다.

gif 출처 : [알고리즘] Floyd-Warshall Algorithm : 플로이드 워셜 알고리즘이란?

코드에서 쉽게 이 알고리즘을 바라볼 수 있습니다.

for(int k = 1; k <= n; k++)
    for(int i = 1; i <= n; i++)
        for(int j = 1; j <= n; j++)
            if(dist[i][k] != INF && dist[k][j] != INF)
                dist[i][j] = min(dist[i][j], dist[i][k] + dist[k][j]);

되게 직관적이죠?
"i에서 j로 직접 가는 것 vs k를 거쳐서 가는 것 중 더 짧은 경로로 업데이트" 하는 과정을 모든 가능한 경유점에 대해 반복하는 코드입니다.
삼중 반복문을 사용하기 때문에 시간복잡도가 커져서 큰 그래프에서는 사용하기 힘들다는 단점이 있기도 합니다.

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플로이드-워셜 알고리즘을 써봐라~! 하는 문제이기 때문에
알고리즘을 배운 코드를 거의 그대로 사용해도 문제를 해결할 수 있습니다.

📚 새롭게 알게된 내용

플로이드-워셜 vs 다익스트라:

• 다익스트라: 하나의 시작점 → 모든 점 $(O(n²log n))$
• 플로이드-워셜: 모든 점 → 모든 점 $(O(n³))$