Metric statements proved

.gitignore

@@ -120,3 +120,12 @@ logs/
 */mnist
 *.csv
 !.dvc
+
+*.aux
+*.bbl
+*.blg
+*.out
+*.gz
+*.nav
+*.snm
+*.toc

Divilkovskiy2024SourceSpace/paper/Divilkovskiy2024SourceSpace.tex

@@ -14,6 +14,8 @@
 \usepackage{natbib}
 \usepackage{doi}
 
+\pagestyle{fancy}
+
 
 
 \title{Восстановление прогноза, сделанного в метрическом вероятностном пространстве, в исходное пространство (временных рядов)}
@@ -75,7 +77,7 @@
 
 \keywords{Riemannian Space \and Trades \and Multidimensional Scaling \and Time Series}
 
-\section{Introduction}
+\section{Introduction TO BE REWRITTEN}
 	Временные ряды возникают во многих прикладных задачах, таких как анализ физической активности, мозговых волн или биржевых котировок. Цель данной работы заключается в представлении нового метода прогнозирования для конкретного типа временных рядов, характеризующихся высокой дисперсией и высокой попарной ковариацией. Задача разбивается на три этапа: сначала исходное пространство временных рядов трансформируется в метрическое пространство (по попарным расстояниям), затем в этом пространстве производится прогноз, после чего результат возвращается в исходное пространство. В данной статье исследуется восстановление ответа в пространство временных рядов, то есть третий этап задачи. Также проводится оценка качества прогноза.
 
 	Классические способы предсказания временных рядов, такие как LSTM \cite{LSTM}, SSA \cite{SSA} и многие другие \cite{Biosignals}, \cite{boyd2017multiperiod} основаны на предсказании значения одного ряда, тогда как в данной работе предлагается анализировать изменение набора временных рядов. Подобное исследование проводится в статье \cite{MulticorrelatedQuadratic}, однако в ней делается упор на задаче feature selection.
@@ -86,7 +88,7 @@ \section{Introduction}
 
 	Эксперимент проводится на биологических и финансовых данных. Цель эксперимента заключается в выборе наилучшего способа построения метрического пространства.
 
-\section{Problem Statement}
+\section{Problem Statement TO BE REWRITTEN}
 
 \subsection{Formal Problem}
 
@@ -164,82 +166,27 @@ \subsection{MSSA}
 
 MSSA (Multivariate Singular Spectrum Analysis) в отличие от других методов позволяет брать во внимание корреляцию между несколькими рядами и прогнозировать несколько.
 
-% \section{Headings: first level}
-% \label{sec:headings}
-
-% \lipsum[4] See Section \ref{sec:headings}.
-
-% \subsection{Headings: second level}
-% \lipsum[5]
-% \begin{equation}
-% 	\xi _{ij}(t)=P(x_{t}=i,x_{t+1}=j|y,v,w;\theta)= {\frac {\alpha _{i}(t)a^{w_t}_{ij}\beta _{j}(t+1)b^{v_{t+1}}_{j}(y_{t+1})}{\sum _{i=1}^{N} \sum _{j=1}^{N} \alpha _{i}(t)a^{w_t}_{ij}\beta _{j}(t+1)b^{v_{t+1}}_{j}(y_{t+1})}}
-% \end{equation}
-
-% \subsubsection{Headings: third level}
-% \lipsum[6]
-
-% \paragraph{Paragraph}
-% \lipsum[7]
-
-
-
-% \section{Examples of citations, figures, tables, references}
-% \label{sec:others}
-
-% \subsection{Citations}
-% Citations use \verb+natbib+. The documentation may be found at
-% \begin{center}
-% 	\url{http://mirrors.ctan.org/macros/latex/contrib/natbib/natnotes.pdf}
-% \end{center}
+\section{Метрика}
 
-% Here is an example usage of the two main commands (\verb+citet+ and \verb+citep+): Some people thought a thing \citep{kour2014real, hadash2018estimate} but other people thought something else \citep{kour2014fast}. Many people have speculated that if we knew exactly why \citet{kour2014fast} thought this\dots
+При условии высокой попарной корреляции входных рядов и постановке задачи о предсказании значения рядов в следующий момент времени необходимо определить достаточные данные для модели.
 
-% \subsection{Figures}
-% \lipsum0]
-% See Figure \ref{fig:fig1}. Here is how you add footnotes. \footnote{Sample of the first footnote.}
-% \lipsum[11]
+\paragraph{Недостаточность матрицы попарных расстояний}
 
-% \begin{figure}
-% 	\centering
-% 	\includegraphics[width=0.5\textwidth]{../figures/log_reg_cs_exp.eps}
-% 	\caption{Sample figure caption.}
-% 	\label{fig:fig1}
-% \end{figure}
+Пусть дана предсказанная матрица попарных расстояний $\Sigma$ размера $d \times d$ для многомерного временного ряда $\overline{X} \in \mathbb{R}^{d \times t}$. Предсказывается $y \in \mathbb{R}^d$. Так же, известна метрика $d : \mathbb{R}^{t+1} \times \mathbb{R}^{t+1} \rightarrow \mathbb{R}$, введённая на временных рядах, обладающая свойствами метрики. То есть, $\Sigma_{i,j} = d(X_i \circ y_i, X_j \circ y_j)$, где $\circ$ означает конкатенацию векторов.
 
-% \subsection{Tables}
-% See awesome Table~\ref{tab:table}.
+В качестве примера рассмотрим евклидову метрику: 
 
-% The documentation for \verb+booktabs+ (`Publication quality tables in LaTeX') is available from:
-% \begin{center}
-% 	\url{https://www.ctan.org/pkg/booktabs}
-% \end{center}
+$$d(p,q)=\sqrt{\sum_{k=1}^n (p_k-q_k)^2}.$$
 
+Использование данной метрики приводит к тому, что прибавление ко всем координатам $y$ некоторой константы $C$ не изменяет ответ. В случае задачи предсказывания временных рядов это свойство критично, поскольку даже в случае верного предсказания матрицы $\Sigma$ невозможно понять как себя поведут временные ряды в момент времени $t+1$.
 
-% \begin{table}
-% 	\caption{Sample table title}
-% 	\centering
-% 	\begin{tabular}{lll}
-% 		\toprule
-% 		\multicolumn{2}{c}{Part}                   \\
-% 		\cmidrule(r){1-2}
-% 		Name     & Description     & Size ($\mu$m) \\
-% 		\midrule
-% 		Dendrite & Input terminal  & $\sim$100     \\
-% 		Axon     & Output terminal & $\sim$10      \\
-% 		Soma     & Cell body       & up to $10^6$  \\
-% 		\bottomrule
-% 	\end{tabular}
-% 	\label{tab:table}
-% \end{table}
+Это приводит к невозможности использования алгоритма MDS для восстановления ответа в исходное пространство временных рядов.
 
-% \subsection{Lists}
-% \begin{itemize}
-% 	\item Lorem ipsum dolor sit amet
-% 	\item consectetur adipiscing elit.
-% 	\item Aliquam dignissim blandit est, in dictum tortor gravida eget. In ac rutrum magna.
-% \end{itemize}
+Однако, даже использование других метрик не позволяет избавиться от проблемы. Рассмотрим метрику $d(x, y)$ как функцию из $\mathbb{R}^{2t+2}$ в $\mathbb{R}$. Известно, что метрика не сюръективна, поскольку $d(x, x) = 0$. Из этого следует существование нескольких возможных ответов на задачу. \textbf{TODO: возможно стоит использовать теорему Рисса об эквивалентности норм в конечномерных пространствах.}
 
+Исходя из этих утверждений, использование только лишь матрицы расстояний не позволяет решить задачу прогнозирования.
 
+\section{
 
 \bibliography{references}
 \bibliographystyle{plain}

Divilkovskiy2024SourceSpace/paper/arxiv.sty

@@ -3,9 +3,6 @@
 \ProcessOptions\relax
 
 % fonts
-\renewcommand{\rmdefault}{ptm}
-\renewcommand{\sfdefault}{phv}
-
 % set page geometry
 \usepackage[verbose=true,letterpaper]{geometry}
 \AtBeginDocument{