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+# 神经网络简介。多层感知器
 
+在上一节中，我们学习了最简单的神经网络模型--单层感知器，这是一种线性两类分类模型。
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+在本节中，我们将把这一模型扩展到一个更灵活的框架中，使我们能够
+
+* 除两级分类外，还能进行**多级分类**。
+* 除了分类，还能解决**回归问题
+* 分离不可线性分离的类别
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+我们还将用 Python 开发自己的模块化框架，以便构建不同的神经网络架构。
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+## [Pre-lecture quiz](https://red-field-0a6ddfd03.1.azurestaticapps.net/quiz/104)
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+## 机器学习的形式化
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+让我们从机器学习问题的形式化开始。假设我们有一个标有**Y**的训练数据集**X**，我们需要建立一个能做出最准确预测的模型*f*。预测的质量由**损失函数** ℒ来衡量。通常会用到以下损失函数：
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+* 对于回归问题，当我们需要预测一个数字时，我们可以使用**绝对误差**。 &sum;<sub>i</sub>|f(x<sup>(i)</sup>)-y<sup>(i)</sup>|, 或**平方误差** &sum;<sub>i</sub>(f(x<sup>(i)</sup>)-y<sup>(i)</sup>)<sup>2</sup>
+* 对于分类，我们使用**0-1损失**（与模型的**准确率**基本相同）或**逻辑损失**。
+
+对于单级感知器，函数 *f* 被定义为线性函数 *f(x)=wx+b*（此处 *w* 为权重矩阵，*x* 为输入特征向量，*b* 为偏置向量）。对于不同的神经网络架构，该函数的形式可能更为复杂。
+
+> 在分类的情况下，通常希望得到相应类别的概率作为网络输出。为了将任意数字转换为概率（例如，对输出进行归一化处理），我们经常使用 **softmax**函数 &sigma;，函数 *f* 变为 *f(x)=&sigma;(wx+b)*
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+在上面*f*的定义中，*w*和*b*被称为**参数** &theta;=⟨*w,b*⟩。给定数据集⟨**X**,**Y**⟩，我们可以计算出整个数据集的总体误差作为参数 &theta; 的函数。
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+> ✅ **神经网络训练的目标是通过改变参数 &theta;** 使误差最小化。
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+## 梯度下降优化法
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+有一种众所周知的函数优化方法叫**梯度下降**。其原理是，我们可以计算损失函数相对于参数的导数（在多维情况下称为**梯度**），并通过改变参数来减少误差。具体方法如下
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+* 用一些随机值初始化参数 w<sup>(0)</sup>, b<sup>(0)</sup>
+* 重复以下步骤多次：
+    - w<sup>(i+1)</sup> = w<sup>(i)</sup>-&eta;&part;&lagran;/&part;w
+    - b<sup>(i+1)</sup> = b<sup>(i)</sup>-&eta;&part;&lagran;/&part;b
+
+在训练过程中，优化步骤的计算应该考虑整个数据集（请记住，损失的计算是所有训练样本的总和）。然而，在现实生活中，我们会从数据集中抽取一小部分数据，称为**小批量**，然后根据数据子集计算梯度。由于每次都是随机抽取子集，因此这种方法被称为随机梯度下降**（SGD）。
+
+## 多层感知器和反向传播
+
+如上所述，单层网络能够对线性可分离的类别进行分类。为了建立更丰富的模型，我们可以将多层网络结合起来。从数学上讲，这意味着函数 *f* 的形式将更加复杂，并将分几步进行计算：
+* z<sub>1</sub>=w<sub>1</sub>x+b<sub>1</sub>
+* z<sub>2</sub>=w<sub>2</sub>&alpha;(z<sub>1</sub>)+b<sub>2</sub>
+* f = &sigma;(z<sub>2</sub>)
+
+这里，&alpha;是一个**非线性激活函数**，&sigma;是一个软最大函数，参数为 &theta;=<*w<sub>1</sub>,b<sub>1</sub>,w<sub>2</sub>,b<sub>2</sub>*>.
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+梯度下降算法将保持不变，但计算梯度将更加困难。根据链微分法则，我们可以计算出导数：
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+* &part;&lagran;/&part;w<sub>2</sub> = (&part;&lagran;/&part;&sigma;)(&part;&sigma;/&part;z<sub>2</sub>)(&part;z<sub>2</sub>/&part;w<sub>2</sub>)
+* &part;&lagran;/&part;w<sub>1</sub> = (&part;&lagran;/&part;&sigma;)(&part;&sigma;/&part;z<sub>2</sub>)(&part;z<sub>2</sub>/&part;&alpha;)(&part;&alpha;/&part;z<sub>1</sub>)(&part;z<sub>1</sub>/&part;w<sub>1</sub>)
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+> ✅链微分法则用于计算损失函数相对于参数的导数。
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+请注意，所有这些表达式的最左侧部分都是相同的，因此我们可以有效地从损失函数开始计算导数，并在计算图中 "倒推"。因此，训练多层感知器的方法被称为**反向推导**，或 "反向推导"。
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+<img alt="compute graph" src="../images/ComputeGraphGrad.png"/>
+
+> ✅我们将在笔记本范例中更详细地介绍 backprop。 
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+## 结论
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+在本课中，我们建立了自己的神经网络库，并用它完成了一个简单的二维分类任务。
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+## 挑战
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+在随附的笔记本中，你将实现自己的多层感知器构建和训练框架。您将能够详细了解现代神经网络是如何运行的。
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+进入 [OwnFramework](OwnFramework.ipynb) 笔记本并完成它。
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+## [课后测验](https://red-field-0a6ddfd03.1.azurestaticapps.net/quiz/204)
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+## 复习与自学
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+反向传播是人工智能和 ML 中常用的算法，值得 [详细] 学习(https://wikipedia.org/wiki/Backpropagation)
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+## [Assignment](../lab/README.md)
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+本实验要求您使用本课构建的框架来解决 MNIST 手写数字分类问题。
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+* [说明](../lab/README.md)
+* [笔记](../lab/MyFW_MNIST.ipynb)