Diskretizace funkce

• rozdělení intervalu (0,1) na N podintervalů
• Thomasův algoritmus (LU rozklad pro tridiagonální matice, bez explicitního ukládání L a U)
• forward eliminace:
  • redukce dolní diagonály na nulu
  • úprava hlavní diagonály a pravé strany, aby mohla následovat zpětná substituce
• zpětná substituce:
  • poslední prvek je d[-1] / hlav_diag[-1]
  • ostatní dopočítá přes horní diagonálu a modifikovanou hlavní diagonálu
• nakonec se do řešení přidají okrajové podmínky

Iterační metody

Pro velké a řídké matice:

• Jacobiho metoda
  • používá pouze hodnoty z předchozí iterace

$$ u_i^{(k+1)} = \frac{1}{a_{ii}} \left( b_i - \sum_{j \neq i} a_{ij} u_j^{(k)} \right) $$

• Gauss-Seidelova metoda
  • okamžitě využívá již spočítané hodnoty

$$ u_i^{(k+1)} = \frac{1}{a_{ii}} \left( b_i - \sum_{j < i} a_{ij} u_j^{(k+1)} - \sum_{j > i} a_{ij} u_j^{(k)} \right) $$

Díky tomu Gauss-Seidel konverguje rychleji než Jacobi při stejné matici.

Vlastní čísla

• Používají se (v tomto repozitáři) při:

  • Výpočtu spektrálního poloměru $$(ρ(A) = max |λ_i|)$$
  • Výpočtu 2-normy matice $$(||A||_2 = sqrt(λ_max(A^T A)))$$

QR metoda

1. Provede se QR rozklad matice: A_k = Q_k R_k.
2. Vytvoří se nová matice: A_{k+1} = R_k Q_k.
3. Opakuje se iterace, dokud se matice nestane horní trojúhelníkovou.
4. Vlastní čísla matice A se získají z diagonály výsledné matice

Normy

Vektorové normy

• 1-norma: součet absolutních hodnot složek vektoru.
• 2-norma: odmocnina ze součtu čtverců složek vektoru (Eukleidovská norma).
• ∞-norma: největší absolutní hodnota ze složek vektoru.

Maticové normy

• 1-norma matice: největší součet absolutních hodnot ve sloupcích.
• ∞-norma matice: největší součet absolutních hodnot v řádcích.
• 2-norma matice: spektrální norma je založena na největším vlastním čísle matice (A^T * A).

V úloze QR_elipsoid se normy využily k výpočtu ...

Doplňkové kódy

• Newtonova metoda
  • pro výpočet kořenu funkce